312椭圆性质（精讲）

3.1.2椭圆性质（精讲）考点一点与椭圆的位置关系【例1】（2022·四川省资中县第二中学）点在椭圆的外部，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为点在椭圆的外部，所以,解得,故选：B.【一隅三反】1．（2021·江西）连续掷两次股子，以先后得到的点数为点的坐标，那么点在椭圆内部的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】连续掷两次骰子，构成的点的坐标有个，满足的有，共2个，∴概率为：.故选：B.2．（2021·全国·高二课时练习）点P(4cosα，2sinα)(α∈R)与椭圆C：＋＝1的位置关系是（

）A．点P在椭圆C上 B．点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关C．点P在椭圆C内 D．点P在椭圆C外【答案】D【解析】将P的坐标代入到椭圆方程的左边，结合同角三角函数的基本关系即可判断点和椭圆的位置关系.把点P(2cosα，sinα)(α∈R)代入椭圆方程的左边为＋＝4（cos2α＋sin2α）＝4>1，因此点P在椭圆外．故选:D.3．（2022·云南）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根据点与椭圆的位置关系即可求解.，所以故选：B.考点二直线与椭圆的位置关系【例21】（2022·全国·高二课时练习）设直线，椭圆．（1）直线与椭圆有一个公共点，则m满足的条件是______．（2）直线与椭圆有两个公共点，则m满足的条件是______．（3）直线与椭圆没有公共点，则m满足的条件是______．【答案】（1）

（2）

（3）或【解析】由消去并化简得，.（1）当，即时，直线与椭圆有一个公共点.（2）当，即时，直线与椭圆有两个公共点.（3）当，即或时，直线与椭圆没有公共点.故答案为：；；或【例22】（2022·全国·高二课时练习）若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（

）A．0个 B．至多有一个 C．1个 D．2个【答案】D【解析】因为直线和圆没有交点，可得，即，所以点是以原点为圆心，为半径的圆及其内部的点，又因为椭圆，可得，所以圆内切于椭圆，即点是椭圆内的点，所以点的一条直线与椭圆的公共点的个数为.故选：D.【例23】（2022·全国·高二课时练习）已知是椭圆：，直线l：，点P是椭圆上一点，则使得点P到直线l的距离为的点P的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】设直线：与椭圆相切，联立，得，整理得，则该方程有且只有一个解，由，得或，所以的方程为或，易知直线与直线l的距离为，直线与直线l的距离为，所以在直线l的右侧有两个符合条件的P点，在直线l的左侧不存在符合条件的P点，故符合条件的点P有2个．故选：C．【一隅三反】1．（2022·全国·高二课时练习）已知，则直线与椭圆的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种情况均有可能【答案】A【解析】因为，所以直线可化为，所以，直线过定点，因为点在椭圆内部，所以，直线与椭圆的位置关系是相交.故选：A2．（2022·全国·高二课时练习）如果过的任意直线与椭圆恒有公共点，那么实数m的取值范围是______．【答案】【解析】要使过的任意直线与椭圆恒有公共点，则必在椭圆内或椭圆上，即①，又为椭圆方程，则且②，有①②可得，.故答案为：3．（2022·全国·高二课时练习）曲线上点到直线距离的最小值为______．【答案】【解析】令与相切，联立整理可得，所以，可得，当，此时与的距离，当，此时与的距离，所以曲线到直线距离的最小值为.故答案为：4．（2022·全国·高二专题练习）直线和曲线的位置关系为_____.【答案】相交【解析】曲线为：可得直线恒过，由知定点在椭圆内部，所以直线与椭圆的位置关系为相交.故答案为：相交.考点三直线与椭圆的弦长【例31】（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设直线AB方程为，联立椭圆方程整理可得：，设，则，，根据弦长公式有：=．故B，C，D错误.故选：A.【例32】（2022·全国·高二课时练习）若过原点的直线与椭圆交于A、B两点，则的最大值为______．【答案】【解析】若过原点的直线斜率不存在时，则直线为，将代入椭圆得，此时；若过原点的直线斜率存在时，设直线的斜率为，方程可设为，联立直线与椭圆方程：化简得：，设，则，因为，所以，所以，所以，综上所述，的最大值为，故答案为：【一隅三反】1．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆：的离心率为是椭圆的焦点，点，直线的斜率为为坐标原点．(1)求椭圆的方程；(2)设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程．【答案】(1)(2)【解析】（1）设，由题意又离心率，，椭圆的方程为；（2）由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为，方程可设为，联立直线与椭圆方程：化简得：，由设，则坐标原点到直线的距离为令，则当且仅当即时等号成立，，故当，即时，的面积最大，此时直线的方程为：．2．（2022·贵州遵义·高二期末（理））椭圆C：左右焦点为，，离心率为，点在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)经过点，倾斜角为直线l与椭圆交于B，C两点，求．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：由题意得，解得，又因为点在椭圆C上，带入得，所以椭圆的标准方程为.（2）解：易得直线l的解析式为，设，联立椭圆的方程得，所以．3．（2022·内蒙古赤峰·高二期末（理））设椭圆的左、右焦点分别为、，点P，Q为椭圆C上任意两点，且，若的周长为8，面积的最大值为2．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C内切于矩形ABCD（椭圆与矩形四条边均相切），求矩形ABCD面积的最大值．【答案】(1)(2)12【解析】(1)解：由得P、、Q三点共线，因为三角形的周长为8，即，所以，则．当P点为椭圆上或下顶点时的面积最大，即，由，解得，所以椭圆C的方程为．(2)解：当矩形ABCD中有一条边与坐标轴平行时，则另外三条边也与坐标轴平行，矩形ABCD的两条边长分别为，，此时．当矩形ABCD的边都不与坐标轴平行时，由对称性，不妨设直线AB的方程为：，则CD的方程为：，AD的方程为：，BC的方程为：．由，得，令得，同理得，矩形ABCD的边长分别为，，∴，，当且仅当时取等号，所以矩形ABCD面积的最大值是12．综上所述，矩形ABCD面积的最大值是12．考点四中点弦【例41】（2021·全国·高二课时练习）已知椭圆，则以点为中点的弦所在的直线方程为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】设弦的两个端点分别为，，则，①﹣②得：，即，所以．故以点为中点的弦所在的直线方程为y，整理得：.故选：C.【例42】．（2022·四川南充·高二期末（文））过椭圆：右焦点的直线：交于，两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依题意，焦点，即椭圆C的半焦距，设，，则有，两式相减得：，而，且，即有，又直线的斜率，因此有，而，解得，经验证符合题意，所以椭圆的方程为.故选：A【例43】．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设点，依题意，，相减得，因直线AB的倾斜角为，即直线AB的斜率为，又为线段的中点，则，，因此有，即，所以椭圆的离心率.故选：A【一隅三反】1．（2022·四川·棠湖中学高二阶段练习（文））椭圆内有一点，过点的弦恰好以为中点，那么这条弦所在的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，即，设弦为，，则，两式相减并化简得，，所以弦所在直线方程为.故选：B2．（2021·安徽·淮北师范大学附属实验中学高二期中）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过点的直线交于、两点，若的中点坐标为，则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设、，若轴，则、关于轴对称，不合乎题意，将、的坐标代入椭圆方程得，两式相减得，可得，因为线段的中点坐标为，所以，，，因为抛物线的焦点为，所以，又直线过点，因此，所以，，整理得，又，解得，，因此，椭圆的方程为，故选：D.3．（2022·陕西西安·高二期末（文））直线过椭圆内一点，若点为弦的中点，设为直线的斜率，为直线的斜率，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设点与，则，，所以，，又点与在椭圆上，所以，，作差可得，即，所以，故选：A.4．（2022·吉林·长春市实验中学高二期末）已知直线与椭圆：（）相交于，两点，且线段的中点在直线：上，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】将直线代入椭圆方程得，，即，设，，，，则，即中点的横坐标是，纵坐标是，由于线段的中点在直线上，则，又，则，，即椭圆的离心率为.故选：A考点五椭圆的综合运用【例51】（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点（为坐标原点），且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（

）A．直线AB与OM垂直B．若点M的坐标为，则直线AB的方程为C．若直线AB的方程为，则点M的坐标为D．若直线AB的方程为，则【答案】BD【解析】对于A，根据椭圆的中点弦的性质知，，所以A不正确；对于B，，根据，知，所以直线AB的方程为，即，所以B正确；对于C，，由，得，所以C不正确；对于D，若直线AB的方程为，与椭圆方程联立，得，整理得，解得或，所以，所以D正确．故选：BD．椭圆的中点弦的性质总结：设为椭圆弦AB（AB不平行于y轴）的中点，O为坐标原点，则．证明：设，，则，且，，两式相减得，，整理得，因为是弦AB的中点，所以，所以．【例52】（2021·江西·金溪一中高二阶段练习（文））已知椭圆经过点，离心率为，过点的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线AM和直线AN的斜率分别为和，求证：为定值【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）由题意椭圆经过点，离心率为，可得，解得，故椭圆C的方程为（2）由题意可知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为，由，可得，由于直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，则，解得，设,则，，故，即为定值.【一隅三反】1．（2022·江苏·高二专题练习）（多选）已知为坐标原点，椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，点，均在椭圆上，则（

）A．椭圆的离心率为B．椭圆的短轴长为C．直线与椭圆相交D．若点在椭圆上，中点坐标为，则直线的方程为【答案】BCD【解析】设椭圆的方程为：，将点，代入椭圆的方程，得，解得，所以椭圆的方程为：，所以椭圆的离心率为，故A错误；椭圆的短轴长为，故B正确；由于直线，过定点，点在椭圆的内部，所以直线与椭圆相交，故C正确；设，所以，所以，即，又中点坐标为，所以，即，所以直线的方程为，即，故D正确.故选：BCD.2．（2022·贵州·黔西南州金成实验学校高二期末（理））已知椭圆的离心率为，、分别是椭圆的右顶点和上顶点，的面积为1．(1)求椭圆的方程；(2)设的椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点．求证：为定值．【答案】(1)(2)见解析【解析】（1）依题意，又，解得，所以椭圆的方程为.（2）设点，而，且，，当时，直线AP：，点，，直线BP：，点，，，当时，，，，所以所以是定值.3．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是椭圆