19-20版第1章8第2课时函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质

第2课时函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质学习目标核心素养1.掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期、单调性及最值的求法．(重点)2．理解函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性．(难点)1.通过求函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及最值，体会数学运算素养．2．通过理解函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性，体会直观想象素养.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质定义域R值域[－A，A]周期T＝eq\f(2π,ω)奇偶性φ＝kπ，k∈Z时，y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数，φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z时，y＝Asin(ωx＋φ)是偶函数对称轴方程由ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)求得对称中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得单调性递增区间由2kπ－eq\f(π,2)≤ωx＋φ≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)求得；递减区间由2kπ＋eq\f(π,2)≤ωx＋φ≤2kπ＋eq\f(3,2)π(k∈Z)求得思考：求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间应注意什么？[提示]对于y＝Asin(ωx＋φ)的单调性而言，A与ω的正负影响单调性，如果ω<0，可以利用诱导公式sin(－α)＝－sinα将负号转化到函数符号外，再求相应单调区间．1．函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋1的最大值是()A．1 B．2C．3 D．4C[当2x＋eq\f(π,6)＝2kπ＋eq\f(π,2)时，即x＝kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)时最大值为3.]2．函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的最小正周期是()A．eq\f(π,2) B．πC．2π D．4πB[由T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,2)＝π.故选B.]3．在下列区间中，使y＝sinx为增函数的是()A．[0，π] B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) D．[π，2π]C[因为函数y＝sinx的单调递增区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))，k∈Z，故当k＝0时，即为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，故选C.]4．函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的图像的对称轴方程是_______________．x＝kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z[由x－eq\f(π,4)＝kπ＋eq\f(π,2)解得x＝kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z.]函数y＝Asin(ωx＋φ)的最值问题【例1】求下列函数的最大值、最小值，以及取得最大值、最小值时相应x的集合．(1)y＝－3sin2x；(2)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))－3(ω＞0)，最小正周期是π.[解](1)函数y＝－3sin2x，x∈R的最大值是3，最小值是－3.令z＝2x，使函数y＝－3sinz，z∈R取得最大值的z的集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(z\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(z＝－\f(π,2)＋2kπ，k∈Z))))，则2x＝－eq\f(π,2)＋2kπ，解得x＝－eq\f(π,4)＋kπ，k∈Z.因此使函数y＝－3sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(π,4)＋kπ，k∈Z)))).同理，使函数y＝－3sin2x，x∈R取得最小值的x的集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(π,4)＋kπ，k∈Z)))).(2)由T＝eq\f(2π,ω)＝π，得ω＝2，所以f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))－3，则函数f(x)的最大值为2－3＝－1，此时2x＋eq\f(π,6)＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，则x＝kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，即自变量x的取值集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝kπ＋\f(π,6)，k∈Z))))；函数f(x)的最小值为－2－3＝－5，此时2x＋eq\f(π,6)＝2kπ－eq\f(π,2)，k∈Z，则x＝kπ－eq\f(π,3)，k∈Z，即自变量x的取值集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝kπ－\f(π,3)，k∈Z)))).求函数y＝Asinωx＋φ，x∈[m，n]的值域的步骤：1换元，u＝ωx＋φ，并求u的取值范围；2作出y＝sinu注意u的取值范围的图像；3结合图像求出值域.1．求函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)≤x≤\f(π,6)))的最大值和最小值．[解]∵－eq\f(π,6)≤x≤eq\f(π,6)，∴0≤2x＋eq\f(π,3)≤eq\f(2π,3)，∴0≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))≤1.∴当sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝1时，ymax＝2；当sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝0时，ymin＝0.函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性【例2】求函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))的递增区间．[解]∵y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))，∴函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))的递增区间就是函数u＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的递减区间．∴2kπ＋eq\f(π,2)≤x－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)．得2kπ＋eq\f(3π,4)≤x≤2kπ＋eq\f(7π,4)(k∈Z)，∴函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))的递增区间为：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(3π,4)，2kπ＋\f(7π,4)))(k∈Z)．1．由已知条件确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式时，应注意利用函数的性质确定它的参数．2．求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，常视ωx＋φ为一个整体，通过y＝sinx的单调区间，求得函数的单调区间．当x的系数为负时，可用诱导公式将其化为正，再求单调区间．2．求函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))的单调区间．[解]y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))，由kπ－eq\f(π,2)＜eq\f(1,2)x－eq\f(π,4)＜kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得2kπ－eq\f(π,2)＜x＜2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)，∴函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))的单调递减区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)，无单调递增区间．函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用[探究问题]1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心和对称轴各有什么特点？[提示]对称中心为图像与x轴的交点；对称轴为过其图像最高点或最低点与x轴垂直的直线．2．已知f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω是常数，且ω>0)，若f(x)是偶函数，则φ等于什么？若f(x)是奇函数，则φ等于什么？[提示]f(x)是偶函数⇒f(0)＝±1⇒φ＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，f(x)是奇函数⇒f(0)＝0⇒φ＝kπ，k∈Z.3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像关于点(x0,0)成中心对称意味着什么？[提示]意味着图像过点(x0,0)，即Asin(ωx0＋φ)＝0.【例3】已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图像关于点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，0))对称，且在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是单调函数，求φ和ω的值．[思路探究]根据对称轴，对称中心的特征建立方程求解．[解]由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图像关于y轴对称，∴f(x)在x＝0时取得最值，即sinφ＝±1.依题知0≤φ≤π，解得φ＝eq\f(π,2).由f(x)的图像关于点M对称，可知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)ω＋\f(π,2)))＝0，即eq\f(3π,4)ω＋eq\f(π,2)＝kπ，k∈Z，解得ω＝eq\f(4k,3)－eq\f(2,3)，k∈Z.又f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是单调函数，∴T≥π，即eq\f(2π,ω)≥π，∴ω≤2.又ω>0，∴当k＝1时，ω＝eq\f(2,3)；当k＝2时，ω＝2，∴φ＝eq\f(π,2)，ω＝2或ω＝eq\f(2,3).1．若将例3中的条件变为“函数y＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，0<φ<\f(π,2)))的最大值为2，相邻的最高点与最底点的横坐标之差为3π，且过点(0，eq\r(2))”，试求函数的解析式及单调增区间．[解]∵函数y＝Asin(ωx＋φ)的最大值为2，其相邻的最高点与最低点横坐标之差为3π，∴A＝2，eq\f(T,2)＝3π，∴eq\f(2π,ω)＝6π，∴ω＝eq\f(1,3)，∴y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋φ)).又∵函数图像过点(0，eq\r(2))，0<φ<eq\f(π,2)，∴2sinφ＝eq\r(2)，∴φ＝eq\f(π,4)，∴函数解析式为y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋\f(π,4))).由－eq\f(π,2)＋2kπ≤eq\f(1,3)x＋eq\f(π,4)≤eq\f(π,2)＋2kπ，得－eq\f(9,4)π＋6kπ≤x≤eq\f(3,4)π＋6kπ(k∈Z)，∴单调增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,4)π＋6kπ，\f(3,4)π＋6kπ)).2．将例3中的条件变为“函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)满足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝f(x)”，试求φ的值并求出函数的单调增区间．[解](1)∵x＝eq\f(π,8)是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一条对称轴，∴2×eq\f(π,8)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.∵－π<φ<0，由此可得φ＝－eq\f(3π,4).(2)由题意，得2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(3π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，解得kπ＋eq\f(π,8)≤x≤kπ＋eq\f(5π,8)，k∈Z，∴函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3π,4)))的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,8)，kπ＋\f(5π,8)))，k∈Z.函数y＝Asinωx＋φ＋b的性质的应用1应用范围：函数的单调性、最值、奇偶性、图像的对称性等方面.2解决的方法：求函数y＝Asinωx＋φ＋b的周期、单调区间、最值、对称轴或对称中心问题，都可令ωx＋φ＝u，套用y＝sinu的相应性质顺利解决.1．对于y＝Asin(ωx＋φ)，其奇偶性可由φ决定，φ取不同值可得不同的奇偶性．2．求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意ω的正负．3．y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心实质上是其图像与x轴的交点，对称轴即过最高点或最低点且与x轴垂直的直线.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，x∈R的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))).()(2)函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x－\f(1,12)))的周期为4π.()(3)函数y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))，x∈R是偶函数．()(4)函数y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，x∈R的一条对称轴为x＝eq\f(π,6).()[答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的最小正周期是π，且f(0)＝eq\r(3)，则()A．ω＝eq\f(1,2)，φ＝eq\f(π,6)B．ω＝eq\f(1,2)，φ＝eq\f(π,3)C．ω＝2，φ＝eq\f(π,6)D．ω＝2，φ＝eq\f(π,3)D[因为函数f(x)的最小正周期是π，所以T＝eq\f(2π,ω)＝π，所以ω＝2.因为f(0)＝2sinφ＝eq\r(3)，所以sinφ＝eq\f(\r(3),2).又因为|φ|＜