圆锥曲线-高考剖析及2022年高考数学备考指南原卷版

2021年高考“圆锥曲线”分析及2022年备考建议目录TOC\o"13"\h\z\u一、考查内容分析 21、考查特点分析 22、试题的三大变化 3二、命题思路分析 31.“低起点”考查基础性，突出圆锥曲线的几何本质 32.“多层次”考查综合性，突出圆锥曲线的多元联系 53.“多模型”考查应用性，突出圆锥曲线的育人价值 74.“高落差”考查创新性，突出圆锥曲线的丰富内涵 10复习备考建议 121、深化特征，注重回归教材内容的教学 122、类化解法，注重建构知识体系的引导. 12

2021年高考概率与统计试题分析及备考建议2021年高考数学圆锥曲线部分以标准方程和几何性质为载体,贯彻“低起点、宽入口、多层次、高落差”的命题原则,突出对学生必备知识、关键能力和学科素养的全面考查,对今后的课堂教学和复习备考都起到了积极的引导作用.本文通过对2021年圆锥曲线真题分析,总结考查特点,为今后的高考复习备考提出建议。一、考查内容分析2021年各份高考数学试卷均重视数学的本质，突出了对必备知识、关键能力和学科素养的考查.各份试卷中涉及圆锥曲线的试题，题型结构稳定，命题立意鲜明，主要考查基础题和中档题，综合考查直线与圆锥曲线的位置关系，以及位置关系下对有关几何性质的研究，涉及距离问题、范围问题、面积问题、最值问题、定点定值问题等，通常是与平面向量、数列、函数与方程等知识的综合应用.1、考查特点分析2021年各份高考数学试卷中涉及圆锥曲线内容的试题，与往年相比，在题型、题量和分值比例上差距不大，体现了对主干内容考查的稳定性、统一性和连贯性。高考试卷考查结构命题方式试卷名称题号题量分值比例统一命题全国甲卷（文）5,16,2132214.7%全国甲卷（理）5,15,2032214.7%全国乙卷（文）11,14,2032214.7%全国乙卷（理）11,13,2132214.7%全国新高考I卷5,14,2132214.7%全国新高考n卷3,13,2032214.7%自主命题浙江卷9,16,2132516.7%北京卷5,12,2032416.0%上海卷11,2022013.3%天津卷8,1822013.3%从表中可以看出：2021年高考数学对圆锥曲线的考查呈现如下三个特点.①题型结构相对稳定.从题型、题量和分值比例方面来看，各份试卷均采用兼顾客观题和主观题的做法，分值在20~25分之间.其中，题量与分值最少的上海卷和天津卷，都是一道客观题和一道主观题，分值为20分，占全卷总分值的13.3%；分值最高的是浙江卷，为25分，占全卷总分值的16.7%，其次是北京卷，为24分，占全卷总分值的16.0%；6份全国卷均为两道客观题加一道主观题的组合形式，分值均为22分，占全卷总分值的14.7%.②几何直观相对突出.2021年各份高考数学试卷的考查仍以数形结合的思想方法、直观想象素养和数学运算素养为主，以函数与方程、转化与化归、分类讨论和从特殊到一般的思想方法，以及逻辑推理素养等为辅.而数形结合思想主要体现在如何把圆锥曲线的几何特征简化为代数运算上。③试题难度相对提升.2021年高考数学试题在整体难度稳中有降的前提下，适当提升了对圆锥曲线内容的考查难度.与往年相比，2021年高考数学试卷中，将涉及圆锥曲线与方程的试题作为压轴题的有两份，其余8份试卷中，圆锥曲线与方程试题均出现在解答题倒数第2题或第3题的位置上.试题位置的后移，体现了圆锥曲线与方程试题难度的相对提升.2、试题的三大变化1°考点、题型常规变化.一般是两道客观题和一道主观题，题型相对稳定、分值相对固定，变化的主要是命题素材、核心考点，以及对思想方法和学科素养的考查方式，主要以曲线方程、几何性质和位置关系为载体，基本上是在距离问题、范围问题、面积问题、最值问题、定点定值问题等典型问题情境上做文章.2°曲线类型交替变化.通常是椭圆、双曲线、抛物线三类曲线轮转变化、交替出现.3°问题情境动态变化.往往是利用一般问题特殊化、动态问题静态化等方式，通过定点、定值等问题展现解析几何动静相宜的本质特征.二、命题思路分析2021年高考圆锥曲线试题，紧扣《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》的要求，全面考查圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质，充分体现对基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，有效发挥了圆锥曲线与方程试题的甄别功能.具体命题思路和命题意图主要表现在如下“四个突出”上.1.“低起点”考查基础性，突出圆锥曲线的几何本质根据前面的统计数据分析，2021年的大多数高考数学试卷都在选择题1~5题和填空题11~15题的位置上设计圆锥曲线与方程的相关试题，并且都采用“起点低、宽入口”的命题策略，着重考查解析几何的基础知识和基本方法，面向全体学生，让不同层次的学生都有获得感.例1、(全国新高考卷)已知是椭圆:的两个焦点,点在上,则的最大值为().(A)13 (B)12 (C)9 (D)6 改编题：已知椭圆的上、下两个焦点为，．是椭圆上任意一点，已知椭圆的上顶点为,下顶点为．左顶点为．右顶点为．若点为的中点．则的最大值A． B． C． D．例2、(全国新高考II卷13)已知双曲线的离心率,则双曲线的渐近线方程为。改编题：已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为A． B． C． D．例3、(全国甲卷文理15)已知为椭圆的两个焦点,为上关于坐标原点对称的两点,且,则四边形的面积为。改编题：过椭圆左焦点作轴的垂线，交椭圆于，两点，是椭圆与轴正半轴的交点，且，则该椭圆的离心率是A． B． C． D．2.“多层次”考查综合性，突出圆锥曲线的多元联系从圆锥曲线内容选择的角度来看，综合性要求以定义、方程和性质相互关联的活动组成的复杂情境为载体，能够反映圆锥曲线核心知识和关键能力的整合及其综合运用.“多层次”体现为既在试题的难度设计上有层次性，又在思维的灵活性和深刻性上发挥区分功能.特别是由于圆锥曲线数与形结合的独特性和广泛的应用性，使其与其他数学知识和跨学科知识形成了多元联系.例4、（2021•浙江）已知椭圆，焦点，，．若过的直线和圆相切，与椭圆的第一象限交于点，且轴，则该直线的斜率是，椭圆的离心率是．改编题：已知椭圆的左，右焦点分别为，，以为圆心，，为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点，且直线的斜率为，则椭圆的离心率为．例5、(全国新高考II卷)已知椭圆,右焦点为,且离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)设是椭圆上的两点,直线与曲线相切.证明:三点共线的充要条件是.

改编题：已知椭圆经过点，，且离心率为．（1）求椭圆的方程：（2）设椭圆的左、右焦点分别为、，抛物线的顶点为坐标原点、焦点为，过点的直线与交于，两点，点关于轴的对称点为，证明：，，三点共线．例6、(上海卷20)如图1,已知椭圆是其左、右焦点,直线过点交椭圆于两点,且在轴上方,点在线段上.(1)若是上顶点,,求的值;(2)若,且原点到直线的距离为,求直线的方程;(3)求证：对于任意,使得的直线有且仅有一条.

改编题：已知椭圆过点，离心率为，抛物线的准线交轴于点，过点作直线交椭圆于，．（1）求椭圆的标准方程和点的坐标；（2）若是线段的中点，求直线的方程；（3）设，是直线上关于轴对称的两点，问：直线与的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由．3.“多模型”考查应用性，突出圆锥曲线的育人价值圆锥曲线的图形美、对称美和简洁美无处不在，其内容中蕴含着丰富的数学文化素材，因此教学时要充分挖掘这些数学文化元素，引导学生弘扬中华优秀传统文化，真正做到以史育人、以美化人.2021年高考涉及圆锥曲线与方程的试题，多处体现图形之美，以及试题背后深刻的文化背景.例如，全国新高考Ⅰ卷第21题考查的实质为四点共圆的结论，全国乙卷理科第21题的图形来源于“阿基米德三角形”，全国甲卷理科第20题则以“彭赛列闭合定理”为背景展开研究，这些都充分体现了圆锥曲线的育人价值.例7、(全国乙卷理21)已知抛物线的焦点为,且与圆均与圆相切.(1)求;2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值.改编题：设斜率不为零的直线与抛物线相交于，两点，与圆相切于点，且为线段的中点．（1）求的取值范围；（2）求的面积的最大值．例8、(全国甲卷文理20）抛物线的顶点为坐标原点,焦点在轴上,直线交于两点,且.已知点,且圆与相切.(1)求,圆的方程;(2)设是上的三个点,直线判断直线与圆的位置关系,并上点的距离的最小值为.说明理由.

改编题：已知椭圆的两焦点，分别为，椭圆上的动点满足，，分别为椭圆的左、右顶点，为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；（Ⅱ）若直线与交于点，与轴交于点，与的交点为，求证：，，，四点共圆．例9、（浙江卷·21）如图3，已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且|MF|=2.（1）求抛物线的方程；（2）设过点F的直线交抛物线于A，B两点，若斜率为2的直线l与直线MA，MB，AB，x轴依次交于点P，Q，R，N，且满足|RN|2=|PN||QN|，求直线l在x轴上截距的范围

改编题：已知圆，点是圆上的动点，过点作轴的垂线，垂足为．（1）若点满足，求点的轨迹方程；（2）若过点且斜率分别为，的两条直线与（1）中的轨迹分别交于点、，、，并满足，求的值．4.“高落差”考查创新性，突出圆锥曲线的丰富内涵本专题试题在解答题的设计上重视了难度和思维的层次性，体现了解题方法的多样性，给学生提供了多种分析问题和解决问题的途径.同时，命题注重挖掘圆锥曲线的深刻背景和丰富内涵，在设问方式上坚持开放创新，考查学生即学、知学和善学的创新能力.例10、（全国新高考I卷）在平面直角坐标系中,已知点,点满足.记点的轨迹为.(1)求的方程;(2)设点在直线上,过点的两条直线分别交于两点和两点,且.,求直线的斜率与直线的斜率之和.

改编题：在平面直角坐标系中，已知点，，，，点满足．记的轨迹为．（1）求的方程；（2）点在直线上，过的两条直线分别交于，两点和，两点，且，求证：为定值．改编题：在平面直角坐标系中，是坐标原点，已知点，点在直线上运动，过点作垂直于的直线，线段的垂直平分线交于点，记点的轨迹为．（1）求的方程；（2）若直线的倾斜角为，过作两条直线分别交于，和，两点，且平分，求证：为定值．

复习备考建议根据以上对2021年圆锥曲线和方程相关试题的命题分析，针对解析几何实际教学和高考数学评卷过程中普遍存在的问题，现对本专题教学，给出如下“四化、四重”的复习备考建议.1、深化特征，注重回归教材内容的教学在教学中，尊重学生思维的发展规律，摆脱概念的死记硬背、题型的机械训练，让学生在尝试和体验中加深领会.不能舍本逐末，需要端正态度，回归教材内容，认真研究教材中涉及的概念、定理、基本思想和基本方法，注意深入挖掘题目隐含的几何特征，遵循从教材中来到高考中去的原则，打通教材与高考的通道.正如前面对全国新高考Ⅰ卷第21题的分析，如果学生把教材上的例题学懂、弄通，对问题的本质进行探究，高考面对此类问题时就会水到渠成.2、类化解法，注重建构知识体系的引导.在高三第一轮复习中，一般都是先进行基础知识和基本方法的梳理，然后回顾几道典型的例题，接着就是题型套路的训练.这样单调乏味的知识罗列和例题讲解容易导致学生兴趣不浓、激情不高.因此，在注重几何本质的基础上，要加强数形结合的思维训练，促使学生养成一题多解、多法归一和类化解法的习惯；尤其要注意增强解一题、会一类、通一片的类化意识.要以问题情境为载体，将学生探究活动线、知识网络建构线、思想方法蕴含线有机融为一体，在精心设计的问题串的有效驱动下，让学生在问题探究与解决的过程中实现知识的归纳与概括、思想方法的总结与提炼、知识脉络的连接与梳理，进而形成较为完备的知识网络，实现真正意义上知识体系的有效建构，使学生达到“会当凌绝顶，一览众山小”的境界.强化运算，注重运算求解能力的提升运算是解析几何的基本功.圆锥曲线的教学，首先，要掌握好解决各种典型问题（如线段长、面积法、弦中点、三点共线、直线与圆锥曲线的位置关系等）的通性、通法，特别是要善于挖掘坐标法解题的几何特征与代数特征.其次，要逐步提升学生的运算求解能力，要在明晰圆锥曲线运算特点的基础上，依据合理设点、恰当设线