第24讲新信息背景下的数列问题

第24讲新信息背景下的数列问题方法总结：解决此类问题的一些技巧：（1）此类问题在设立问题中通常具有“环环相扣，层层递进”的特点，第（1）问让你熟悉所创设的定义与背景，第（2），（3）问便进行进一步的应用，那么在解题的过程中要注意解决前面一问中的过程与结论，因为这本身就是对“新信息”的诠释与应用。（2）尽管此类题目与传统的数列“求通项，求和”的风格不同，但其根基也是我们所学的一些基础知识与方法。（3）在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则，以相对简单的情况入手，可能在解决的过程中会发现复杂情况与该情况的联系，或者发现一些通用的做法与思路，使得复杂情况也有章可循。典型例题：例1．（2022·全国·高三专题练习）对于数列，规定数列△为数列的一阶差分数列，其中△；一般地，规定△为的阶差分数列，其中△△△，且，．(1)已知数列的通项公式．试证明△是等差数列；(2)若数列的首项，且满足△△，，求数列及的通项公式；(3)在（2）的条件下，判断是否存在最小值，若存在求出其最小值，若不存在说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)，(3)存在，28【解析】【分析】（1）根据定义可得，然后可证明；（2）由条件可得，然后可得，然后利用累加法可求出，然后可得答案；（3）令，然后利用函数的单调性可得答案.(1)证明：依题意，△，，△△，△，△是首项为1，公差为5的等差数列．(2)△△，，△△△，△，，，，当时，，，当时，也满足上式，．(3)，，令，则，则当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，而，，即时，存在最小值，其最小值为．例2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的首项，前项和为．设与是常数，若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列．(1)若等差数列是“”数列，求的值；(2)若数列是“”数列，且，求数列的通项公式．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）根据定义得，化简得，进而得出对一切正整数均成立，从而可求出的值；（2）由题可知，根据定义得，根据平方差公式化简得，求得，最后根据，即可求出数列的通项公式.(1)解：因为等差数列是“”数列，则，即，也即，此式对一切正整数均成立，若，则恒成立，故，而，这与是等差数列矛盾，所以．（此时，任意首项为1的等差数列都是“1～1”数列）(2)解：因为数列是“”数列，则，所以，而，，，，，，，，.例3．（2022·北京海淀·高三期末）已知行列的数表中，对任意的，，都有.若当时，总有，则称数表A为典型表，此时记.(1)若数表，，请直接写出B，C是否是典型表；(2)当时，是否存在典型表A使得，若存在，请写出一个A；若不存在，请说明理由；(3)求的最小值.【答案】(1)B不是典型表，C是典型表；(2)不存在；(3)为偶数时，为奇数时.【解析】【分析】（1）由题设典型表的定义，结合给定的数表判断即可.（2）根据题设分析知：数值分配时有即可，结合典型表的定义及数表的对称性确定最小时在数表上的分布情况，即可判断是否存在.（3）结合（2）的分析，讨论为偶数、奇数情况下的最小值.(1)对于数表B有，而不成立，故数表B不是典型表；对于数表C，当时总有成立，故数表C是典型表.(2)由题设知：当要存在典型表A使得，则需.∵要使最小，即典型表A中的“1”最少，又时总有，∴让尽量多的横列和，故将表分成4个数表，对角的两个数表数值相同，但上下、左右对称的数表数值不同，此时可保证最小.∴如典型表，有.∴不存在典型表A使得.(3)要使最小，需让尽量多的横列和或典型表中“1”尽量少，当为偶数时，由（2）知：；当为奇数时，在偶数的数表中间加一行一列，并在新增行列中添加个“1”，即可满足典型数列，此时；【点睛】关键点点睛：第二问，通过，结合数表的对称性确定最小时的数值分布情况，即可判断存在性，第三问，由第二问情况归纳为偶数时，进而推广到为奇数时.例4．（2022·北京房山·高三期末）若数列满足，则称为数列．记．(1)写出一个满足，且的数列；(2)若，证明数列是递减数列的充要条件是；(3)对任意给定的整数，是否存在首项为的数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由.【答案】(1)（或）(2)证明见解析(3)不存在，理由见解析【解析】【分析】(1)根据与和可考虑写出交替的数列.(2)先证必要性，根据数列是递减数列，可得，进而求得.再证明充分性，因为，故，再累加可得证明即可.(3)设,则，再累加求得，再分析的奇偶，根据整除的性质，先假设存在再证明矛盾即可.(1)（或）(2)必要性：因为数列是递减数列，所以，所以是首项为，公差为的等差数列，所以；充分性：由于，，…，，所以，即，因为，所以，所以数列是递减数列.综上，结论得证．(3)令，则．因为，，……,，所以因为，所以为偶数，所以为偶数．所以要使，必须使为偶数，即整除，亦即或．当时，数列的项满足，，时，有，；当时，数列的项满足，，，时，有，．当，时，不能被整除，所以对任意给定的整数,不存在数列使得，．【点睛】在解数列新定义的问题,需要根据题意去绝对值分析,并根据整除的性质推理证明.例5．（2022·北京东城·高三期末）对于给定的正整数和实数，若数列满足如下两个性质：①；②对，，则称数列具有性质.(1)若数列具有性质，求数列的前项和；(2)对于给定的正奇数，若数列同时具有性质和，求数列的通项公式；(3)若数列具有性质，求证：存在自然数，对任意的正整数，不等式均成立.【答案】(1)5(2)(3)证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意得到当为奇数时，，当为偶数时，，从而；（2）根据题干条件得到，故为常数列，结合求出；（3）对要证明的不等式变形，构造，研究其性质，证明出结论.(1)由题意得：，，则当为奇数时，，当为偶数时，，所以数列的前项和；(2)由题意得：，，对于给定的正奇数，，对，，则令，，得：，，综上：为常数列，由可得：(3)要证，只需证，即证，令数列，由于具有性质，即，对，，则，对，，所以具有性质，令，设的最小值为，对，令，，由于具有性质，则有，所以，所以，所以成立【点睛】本题数列不等式证明题目，要根据题干中条件对数列进行变形，用到了构造新数列，数论的基础知识，对学生的逻辑思维能力要求较高.例6．（2022·全国·高三专题练习）设数列的前项和为.若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”.(1)若数列的前n项和，证明：是“数列”；(2)设是等差数列，其首项，公差.若是“数列”，求的值；【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）由，再根据数列是“数列”的概念即可证明结果．（2）依题意，，根据是“数列”，可知则，可得，由此能求出的值，再进行检验，即可求出结果．(1)解：因为，当时，，显然满足题意，当时，，（且）若，，所以，满足题意，综上，则为“H数列”；(2)解：由题意，，所以，所以又，若是“H数列”，则由得所以，因，则对任意的n为整数，，则或，验证：时，，因恒为偶数，所以m恒为整数，成立.时，，不恒为整数，不成立.综上所述，.例7．（2022·全国·高三专题练习）若实数数列满足，则称数列为“P数列”．(1)若数列是P数列，且，，求，的值；(2)求证：若数列是P数列，则的项不可能全是正数，也不可能全是负数；(3)若数列是P数列，且中不含值为零的项，记的前2025项中值为负数的项的个数为m，求m的所有可能取值．【答案】(1)(2)见解析(3)【解析】【分析】（1）推导出，，由此能求出，的值；（2）假设数列的项都是正数，则，，与假设矛盾；假设数列的项都是负数，则，与假设矛盾，由此能证明的项不可能全是正数，也不可能全是负数；（3）存在最小的正整数满足，，数列是周期为9的数列，由此能求出结果．(1)解：因为是数列，且，所以，所以，所以，解得，所以；(2)证明：假设数列的项都是正数，即，，，所以，，与假设矛盾，故数列的项不可能全是正数，假设数列的项都是负数，则，而，与假设矛盾，故数列的项不可能全是负数，所以的项不可能全是正数，也不可能全是负数；(3)解：由（2）可知数列中项既有负数也有正数，且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数．因此存在最小的正整数满足，．设，，则ak+2=b+a，ak+3=a，ak+4=-b，ak+5=b-a．ak+6故有ak=ak+9，即数列是周期为由上可知，ak+1，，ak+8这9项中，，ak+4为负数，ak+5，a因为2025=9×225，所以当k=1时，m=225×3=675；当2⩽k⩽5时，，，，ak-1这k-1项中至多有一项为负数，而且负数项只能是ak-1，记，ak+1，，a2025这2016-k项中负数项的个数为，当，3，4时，若ak-1<0，则b=ak+1此时t=674，m=674+1=675；若ak-1>0，则b=a此时t=675，m=675，当k=5时，ak-1必须为负数，t=674，m=675综上可知的取值集合为．【点睛】本题考查了利用数列的递推公式求数列中的项，考查数列中的项不可能全是正数，也不可能全是负数的证明，考查实数的集合的求法，难度较大，解题时要认真审题，注意数列性质的合理运用．过关练习：一、单选题1．（2022·山西运城·高三期末（理））在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取该数列的项：第一次取1；第二次取2个连续的偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续的偶数10，12，14，16；第五次取5个连续的奇数17，19，21，23，25；按此规律取下去，得到一个数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，则这个数列中第2022个数是（

）A．3974 B．3976 C．3978 D．3980【答案】D【解析】【分析】由题意可得，找出取数的规律为：奇数次取奇数个奇数，偶数次取偶数个偶数，前次总共取的数各数量可以通过等差数列求和得到，且第次的最后一个数为，据此即可求解.【详解】由题意可得，奇数次取奇数个奇数，偶数次取偶数个偶数，前次共取了个数，且第次的最后一个数为，当时，，故到第63次取时取了63个奇数，且前63次共取了2016个数，即第2016个数为，∴时，依次为3970，3972，3974，3976，3978，3980，...，∴第2022个数为3980.故选：D.2．（2022·河南驻马店·高三期末（文））对于正整数，设最接近的正整数为（如，），记，从全体正整数中除去所有，余下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列，则数列的前5项和为（

）A．55 B．65 C．70 D．75【答案】A【解析】【分析】依题意对于给定的，存在唯一确定的，使得．再对与分类讨论，即可得到，从得到求出数列的前5项和；【详解】解：对于给定的，存在唯一确定的，使得．①当时，即，记，，此时，即，；②当时，即，记，，此时，即，．所以，恰好跳过，即，故数列的前5项和为．故选：A3．（2022·全国·高三专题练习）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数到与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列、这样的数列称为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前7项分别为2，3，5，8，12，17，23则该数列的第100项为（

）A．4862 B．4962 C．4852 D．4952【答案】D【解析】【分析】根据题意可得数列2，3，5，8，12，17，23，，满足：，，从而利用累加法即可求出，进一步即可得到的值．【详解】2，3，5，8，12，17，23，后项减前项可得1，2，3，4，5，6，所以，所以.所以.故选：D4．（2022·浙江·高三专题练习）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，数列的前项和为，则下列结论错误的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】利用“斐波那契数列”的定义及数列的性质对选项A、B、C、D逐一分析即可得答案．【详解】解：对A：，故选项A正确；对B：由“斐波那契数列”的定义有，因为，所以，故选项B正确；对C：由“斐波那契数列”的定义有，因为，所以，故选项C正确；对D：，故选项D错误．故选：D．5．（2022·浙江杭州·高三期末）若数列满足，则下列说法错误的是（

）A．存在数列使得对任意正整数p，q都满足B．存在数列使得对任意正整数p，q都满足C．存在数列使得对任意正整数p，q都满足D．存在数列使得对任意正整数p，q部满足【答案】C【解析】【分析】根据题意，找到合适的数列满足递推关系，或举反例否定.对选项，找到，且满足题意；对选项，找到，且满足题意；对选项，找到与题设矛盾；对选项，找到满足题意；【详解】对选项，令，且，则有：，故选项正确；对选项，由，得：令，则当时，数列满足题设，所以B正确；对选项，由，令，得，，，，令，得，，，则，，从而，与矛盾，所以错误；对选项，存在数列，比如，则有：，故选项正确；故选：【点睛】需要熟悉常见函数的运算规则，比如对数运算、指数运算等，注意类比常见函数的运算性质，寻找恰当的数列；否定命题，赋值举反例，发现矛盾.6．（2022·浙江·高三学业考试）通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2，3之间插入2与3的积6，得到数列2，6，3；第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类似地，第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11次后，得到的数列记为，则的值是（

）A．6 B．12 C．18 D．108【答案】A【解析】【分析】设数列经过第次拓展后的项数为，因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则经过第次拓展后增加的项数为，从而可得，从而可求出，从而可知经过11次拓展后在与6之间增加的数为，由此可得出经过11次拓展后6所在的位置，即可得出答案.【详解】解：设数列经过第次拓展后的项数为，因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则经过第次拓展后增加的项数为，所以，即，即，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，是以，所以，则经过11次拓展后在与6之间增加的数为，所以经过11次拓展后6所在的位置为第，所以.故选：A.7．（2022·全国·高三专题练习（理））对于数列{an}，若存在正整数k(k≥2)，使得，，则称是数列{an}的“谷值”，k是数列{an}的“谷值点”.在数列{an}中，若an＝，则数列{an}的“谷值点”为（

）A．2 B．7 C．2，7 D．2，3，7【答案】C【解析】【分析】由数列通项公式写出前n项，结合数列“谷值点”的定义判断{an}的“谷值点”.【详解】由an＝，则，，，当n≥7，n∈N*时恒有>0，∴an＝＝，此时数列{an}递增，综上，a2<a1，a2<a3，a7<a6，a7<a8，∴数列{an}的“谷值点”为2，7.故选：C.8．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且，，若，则称项为“和谐项"，则数列的所有“和谐项”的平方和为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据，得到，两式相减得到，从而得到数列的通项公式，根据“和谐项"的定义可得，再利用等比数列的前项和可得答案.【详解】①，②，①②得，即，，，故，，所以数列的所有“和谐项”的平方和为.故选：D.二、多选题9．（2022·全国·模拟预测）观察下面一组等式：记表示第i个等式中等号右边第j个数，如，，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】【分析】根据所给数据，归纳总结可得第n行，规律为，逐一分析各个选项，结合裂项相消求和法，即可得答案.【详解】根据所给数据，归纳总结可得第n行，等号右边每一个式子，第一项为，最后一项均为，故B错误；所以对于A：当时，等号右边第一个数为1981，最后一个数为2069，所以2021在第45行内，故A正确；对于C：第n行，右边第二项为，所以，所以，故C错误；对于D：因为，且，所以或或或，又，，，，所以，故D正确.故选：AD【点睛】解题的关键是根据所给图示，归纳总结出第n行的规律，并结合不等式的性质，裂项相消求和法进行计算，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.10．（2022·山东青岛·高三期末）在数列中，若，(为常数)，则称为“等方差数列”，p称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（

）A．是等方差数列B．若数列既是等方差数列，又是等差数列，该数列必为常数列C．正项等方差数列的首项，且是等比数列，则D．若等方差数列的首项为2，公方差为2，若将，…这种顺序排列的10个数作为某种密码，则可以表示512种不同密码【答案】ABD【解析】【分析】选项A.由题意可判断；选项B.由题意有，分和两种情况可判断；选项C.当时可判断；选项D.由题意，，从而可判断.【详解】选项A.若，则，则，所以是等方差数列，故正确.选项B.由数列是等差数列，则由数列既是等方差数列,则，则即当时，数列为常数列当时，，结合，可得，所以数列为常数列故数列为常数列，所以选项B正确.选项C.由题意，则，由等比数列，则，即，解得或当时，，满足题意，故选项C不正确.选项D.数列是首项为2，公方差为2的等方差数列，则由题意，所以中的每一项，可能取正或负，有2种取法.所以，…有种不同的排法结果；所以选项D正确故选：ABD11．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）对于数列，若存在正整数，使得，，则称是数列的“谷值”，是数列的“谷值点”.在数列中，若，则数列的“谷值点”为（

）A．2 B．7 C．3 D．8【答案】AB【解析】【分析】结合“谷值”和“谷值点”定义，可依次求出前8项，当时，结合对勾函数性质可判断，进而判断出“谷值点”.【详解】因为，所以，，，，，，，，当，，，∴，此时数列单调递增，，，，，所以数列的“谷值点”为2，7.故选：AB12．（2022·全国·模拟预测）记数列的前项和为，数列为，….其构造方法是:首先给出，接着复制该项后，再添加其后继数，于是，得;然后再复制前面所有的项，再添加的后继数于是，得;接下来再复制前面所有的项，再添加的后继数于是，得前项为.如此继续下去，则使不等式成立的的值不可能为（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】【分析】根据题意可得，然后采用错位相减法求得，进而求得答案.【详解】由的构造方法﹐易知，，…，一般地﹐有，即数首次出现于第项﹐由的构造方法知，数列的前各项中，恰有个个个，…，个，…，个.所以，，①故，②根据式①②得，因为所以的最小的值为.故选：AB.13．（2022·全国·高三专题练习）对于首项为负数的无穷等比数列，若对任意的n，，，则称为“M数列”；若对任意的，存在，使得，则称为“L数列”.若数列的公比为q，则（

）A．当q<0时，是“M数列”B．当q<0时，不是“L数列”C．当q>0时，为“L数列”，则一定为“M数列”D．当q>0时，为“M数列”，则一定为“L数列”【答案】BC【解析】【分析】根据“M数列”和“L数列”的定义逐一对各选项分析判断即可.【详解】选项A，当时，取，则，不成立，这与对任意的n，，，相矛盾，故不是“M数列”，故A不正确；选项B，假设为“L数列”，则对任意的，存在，使得，由，得，所以，即，所以，但此时，与对任意的，存在，使得相矛盾，所以假设不成立，所以当q<0时，不是“L数列”，故B正确；选项C，当时，为“L数列”，则对任意的，存在，使得，即，又，所以，所以，所以，而对任意的n，，，因为，所以，，所以，即对任意的n，，，所以为“M数列”，故C正确；选项D，当q>0时，为“M数列”，取，则不存在，使得成立，故不为“L数列”，故D不正确.故选：BC14．（2022·全国·高三专题练习）设数列满足，其中为实数，数列的前n项和是，下列说法不正确的是（

）A．当时，一定是递减数列B．当时，不存在使是周期数列C．当时，D．当时，【答案】ACD【解析】【分析】当时，设单调递增，由可得依次递推可得可判断A；求出，，因为，若存在实数使得则可判断B，利用数学归纳法证明可判断C和D；【详解】对于A：当时，设单调递增，因为，，所以，，，依次类推可得，所以当时，一定是递减数列，故选项A正确；对于B：当时，，，，由可得，设，因为，，由零点存在性定理可知存在常数使，则可得，，存在使是周期数列，故选项B不正确；对于C：当，，，假设当时，，则当时，，所以当时，成立，故选项C正确；对于D：①首先证明,时，,：设,，对用数学归纳法证明,，当时，,．假设,，则，且，,．由数学归纳法知,对所有成立．∴当c＝时，,，②再证明：≥1－：，当c＝时，由得，∵,，∴，∴≤，∴≤≤≤…≤＝，∴≥1－，③最后证明：，当时，结论成立，当时，∵，，，又∵，∴．故D正确.故选：ACD.【点睛】本题考查对数列和函数性质的综合应用，考查数学归纳法的使用，解题的过程中还需对式子进行适当的放缩，属于难题.15．（2022·全国·高三专题练习）Look—and—say数列是数学中的一种数列，它的名字就是它的推导方式：给定第一项之后，后一项是前一项的发音，例如第一项为3，第二项是读前一个数“1个3”，记作13，第三项是读前一个数“1个1，1个3”，记作1113，按此方法，第四项为3113，第五项为132113，….若Look—and—say数列第一项为11，依次取每一项的最右端两个数组成新数列，则下列说法正确的是（

）A．数列的第四项为111221B．数列中每项个位上的数字不都是1C．数列是等差数列D．数列前10项的和为160【答案】AD【解析】【分析】A.列举前四项可得答案；B.根据数列中最后读的数字是1可得答案；C.列举前四项可得答案；D.列举可得数列中数的规律，进而可求和.【详解】，，，，A正确；数列中最后读的数字总是1，故数列中每项个位上的数字都是1，B错误；数列：11，21，11，21，…，不是等差数列，C错误；通过列举发现数列的第一，三，五，七，九项都为11，第二，四，六，八，十项为21，故前10项的和为，D正确．故选：AD．三、双空题16．（2022·福建泉州·模拟预测）已知数列的通项公式是，记为在区间内项的个数，则___________，不等式成立的的最小值为___________.【答案】

12【解析】【分析】①根据，得，代入即可得解；②根据，得，对分奇偶讨论即可得解.【详解】令，得，当为奇数时，，当为偶数时，，所以.当为奇数时，，即，因为，所以，即，因为为奇数，所以的最小值为13；当为偶数时，，因为，所以，，所以的最小值为12.综上所述，的最小值为12.故答案为：；12四、填空题17．（2022·广东·模拟预测）已知表示不小于x的最小整数，表示不大于x的最大整数，如，，数列满足，且对，有，若为递增数列，则整数b的最小值为______．【答案】0【解析】【分析】根据题意得，，有，进而得，故，再根据分和讨论求解得，进而得答案.【详解】解：∵数列满足，且对，有，∴，∵可得，∴，有，∴当时，，即，，∴，∴，∵为递增数列，则，当时，，解得，当时，，即，解得：，∴，又，则，∴整数b的最小值为0．故答案为：18．（2022·全国·高三专题练习）已知，函数在有极值，设，其中为不大于的最大整数，记数列的前项和为，则___________.【答案】615【解析】【分析】根据给定条件探求出，再借助的意义分析的前100项的各个值，再求和作答.【详解】函数，求导得：，因，函数在有极值，则存在，有，解得，于是得，即，而，因此，数列的前100项中有1个0，3个1，5个2，7个3，9个4，11个5，13个6，15个7，17个8，19个9，而，所以.故答案为：615【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.19．（2022·江苏海门·高三期末）数列：1，1，2，3，5，8，…，称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家菜昂纳多·斐波那契(LeonardoFibonacci)从观察兔子繁殖而引入，故又称为“兔子数列”．数学上，该数列可表述为，．对此数列有很多研究成果，如：该数列项的个位数是以60为周期变化的，通项公式等．借助数学家对人类的此项贡献，我们不难得到，从而易得＋＋＋…＋值的个位数为__________．【答案】4【解析】【分析】先根据将式子化简，进而根据该数列项的个位数是以60为周期变化求得答案.【详解】因为，所以.又该数列项的个位数是以60为周期变化，所以的个位数字相同，的个位数字相同，易知，则，所以的个位数字为4.故答案为：4.20．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，若（为常数），则称为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断：①不可能为0；②等差数列一定是“等差比数列”；③等比数列一定是“等差比数列”；④“等差比数列”中可以有无数项为0.其中所有正确的序号是________．【答案】①④【解析】【分析】根据得到k不为0，①正确，考虑常数列得到②③错误，数列0，1，0，1，…是等差比数列，得到④正确，得到答案.【详解】由等差比数列的定义可知，，故，故k不为0，所以①正确；当等差数列的公差为0，即等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列，所以②错误；当是等比数列，且公比q＝1时，不是等差比数列，所以③错误；数列0，1，0，1，…是等差比数列，该数列中有无数多个0，所以④正确．故答案为：①④.21．（2022·全国·高三专题练习）对任一实数序列A＝(a1，a2，a3，…)，定义新序列ΔA＝(a2－a1，a3－a2，a4－a3，…)，它的第n项为an＋1－an.假定序列Δ(ΔA)的所有项都是1，且a12＝a22＝0，则a2＝________．【答案】100【解析】【分析】结合新定义，令bn＝an＋1－an，由题可知{bn}为公差为1的等差数列，求得，列式得a1＝a1，a2－a1＝b1，…，an－an－1＝bn－1，叠加得an＝a1＋b1＋…＋bn－1，结合等差数列前项和公式化简可得an＝(n－1)a2－(n－2)a1＋，令n＝12，n＝22解方程可求.【详解】令bn＝an＋1－an，依题意知数列{bn}为等差数列，且公差为1，所以bn＝b1＋(n－1)×1，a1＝a1，a2－a1＝b1，a3－a2＝b2，…an－an－1＝bn－1，累加得an＝a1＋b1＋…＋bn－1＝a1＋(n－1)b1＋，＝(n－1)a2－(n－2)a1＋，分别令n＝12，n＝22，得解得a1＝，a2＝100.故答案为：100五、解答题22．（2022·福建三明·高三期末）定义为数列的“匀称值”，若数列的“匀称值”为.(1)求数列的通项公式；(2)设，的前项和为，求．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由已知可得出，由可求得的值，由，可得出，两式作差可得出的表达式，然后就是否满足在时的表达式进行检验，综合可得出数列的通项公式；（2）求得数列的通项公式，利用分组求和法结合裂项相消法可求得的值.(1)解：因为，所以.当时，．当时，由得．上述两个等式作差得，即，又因为满足，所以.(2)解：因为，所以.所以，所以．所以，即．23．（2022·北京通州·高三期末）已知数列满足以下条件：①，且；②共有100项，且各项互不相等．定义数列为数列的一个“10阶连续子列”．(1)若的通项公式为，写出的一个“10阶连续子列”，并求其各项和；(2)求证：对于每个，都至少有一个10阶连续子列的各项和不小于505；(3)若对于每个，都至少有一个10阶连续子列的各项和不小于正整数，求的最大值．【答案】(1)，其和为55（答案不唯一）(2)证明过程见解析(3)505【解析】【分析】（1）列举出一个即可；（2）根据数列的总和为5050进行证明；（3）反证法进行证明，结合第二问结论进行求解.(1)，各项和为（答案不唯一）；(2)令，取，则，即，所以对于每个，都至少有一个10阶连续子列的各项和不小于505；(3)假设，即对于任意的，存在，使得，考察数列：，其中各项满足，，，于是有：，，当为奇数时，，当为偶数时，，即存在，，使得，这与假设矛盾，所以，结合第二问结论可知：的最大值为505.【点睛】针对于定义新数列的题目，要结合题干中信息，选择合适的方法进行求解，常用到列举法，反证法等方法.24．（2022·山东青岛·高三期末）给定数列，若满足，对于任意的，都有，则称为“指数型数列”.(1)已知数列的通项公式为，证明：为“指数型数列”；(2)若数列满足：；（I）判断是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；(Ⅱ)若，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)（I）是，证明见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（1）由新定义直接验证即可证明（2）（I）由题意可得，先求出的通项公式，再由新定义直接验证即可.(Ⅱ)由题意可得，由分组求和即可得出答案.(1)

为“指数型数列”(2)（I）将两边同除得：，是以为首项，公比为的等比数列是“指数型数列”（Ⅱ）因为，则25．（2022·重庆·一模）学习资料：有一正项数列，若作商，则当时，当时，.这是一种数列放缩的方法.现有一等差数列的前项和为的前项和为.(1)求；(2)求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）设公差，根据可得首项和公差，利用等差数列前n项公式可得答案；（2）求出，计算出，根据单调性再计算出当时，可得，利用等比数列求和公式可得答案.(1)设公差，，解得，，.(2)（随递减），当时，，即（，仅时相等），（从开始放缩），.26．（2022·江苏苏州·高三期末）若数列满足（，是不等于的常数）对任意恒成立，则称是周期为，周期公差为的“类周期等差数列”．已知在数列中，，．(1)求证：是周期为的“类周期等差数列”，并求的值；(2)若数列满足，求的前项和．【答案】(1)证明见解析；；(2)【解析】【分析】（1）由，，相减得，即可得到答案；（2）对当分为偶数和奇数进行讨论，进行并求和，即可得到答案；(1)由，，相减得，所以周期为，周期公差为的“类周期等差数列”，由，，得，所以．(2)由，，得，当为偶数时，；当为奇数时，．综上所述，27．（2022·北京丰台·高三期末）若有穷数列且满足，则称为M数列．(1)判断下列数列是否为M数列，并说明理由；①1，2，4，3．②4，2，8，1．(2)已知M数列中各项互不相同．令，求证：数列是等差数列的充分必要条件是数列是常数列；(3)已知M数列是且个连续正整数的一个排列．若，求的所有取值．【答案】(1)①数列不是M数列；②数列是M数列；理由见解析(2)证明见解析(3)的所有取值为4或5【解析】【分析】（1）直接根据条件检验即可；（2）先判断必要性，若数列是等差数列，设公差为，可得数列是常数列．再判断充分性，若数列是常数列，可得，进而可得是等差数列；（3）先判断不符合题意，，符合题意，进而证明不符合题意，令，可得有三种可能：①；②；③．当，根据（2）的结论排除这3种可能性，则可得答案.(1)①因为，所以该数列不是M数列；②因为，所以该数列是M数列．(2)必要性：若数列是等差数列，设公差为，则．所以数列是常数列．充分性：若数列是常数列，则，即．所以或．因为数列的各项互不相同，所以．所以数列是等差数列．(3)当时，因为，所以，不符合题意；当时，数列为．此时，符合题意；当时，数列为．此时，符合题意；下证当时，不存在满足题意．令，则，且，所以有以下三种可能：①；②；③．当时，因为，由（2）知：是公差为1（或−1）的等差数列．当公差为1时，由得或，所以或，与已知矛盾．当公差为−1时，同理得出与已知矛盾．所以当时，不存在满足题意．其它情况同理可得．综上可知，的所有取值为4或5．【点睛】方法点睛：1、对于数列种的新定义问题，一定要理解新数列的性质后才能解题，充分利用新数列的定义去解答问题.2、对于第三问，可能的取值必然不多，那么可以通过尝试取值，然后找到规律和方法来解决问题.28．（2022·北京·高三期末）已知数列，其中，且.若数列满足，，当时，或，则称为数列A的“紧数列”.例如，数列A：2，4，6，8的所有“紧数列”为2，3，5，8；2，3，7，8；2，5，5，8；2，5，7，8.(1)直接写出数列A：1，3，6，7，8的所有“紧数列”；(2)已知数列A满足：，，若数列A的所有“紧数列”均为递增数列，求证：所有符合条件的数列A的个数为；(3)已知数列A满足：，，对于数列A的一个“紧数列”，定义集合，如果对任意，都有，那么称为数列A的“强紧数列”.若数列A存在“强紧数列”，求的最小值.（用关于N的代数式表示）【答案】(1)；；；(2)证明见解析(3)【解析】【分析】（1）利用“紧数列”的定义求解；（2）由均为递增数列，得到，进而转化为证明：①，②，③，④即可；（3）记，且根据“强紧数列”的定义求解.(1)解：；；；.(2)依题意，对任意，有或，或，因为均为递增数列，所以有，即同时满足：①，②，③，④.因为为递增数列，因此①和②恒成立.又因为为整数数列，对于③，也恒成立.对于④，一方面，由，得，即.另一方面，，所以，即从第项到第项是连续的正整数，所以，，因此，故共有种不同取值，即所有符合条件的数列共有个.(3)记，依题意，对任意，有或，注意到，即对任意，有，若，则，即；若，则，即，即对任意，或者，或者.所以，所以不能成立.记，，则，且.注意到：若存在且，即，则.否则，若，则，不合题意.因此集合有以