专题03大题专攻（二）（数列大题的思维建模）（原卷版）2022年高考数学二轮提素养高分进阶新方案（新高考专版）

专题03大题专攻（二）（数列大题的思维建模）目录一宏观掌握解题通路：数列问题重在“归”——“化归”二微观优化解题细节：数列的“模型化”命题解题应用体验精选好题做一当十一宏观掌握解题通路：数列问题重在“归”——“化归”等差数列与等比数列是我们最熟悉的两个基本数列,在高中阶段它们是一切数列问题的出发点与落脚点.首项与公差(比)称为等差(比)数列的基本量,大凡涉及这两个数列的问题我们总希望把已知条件化归为等差或等比数列的基本量间的关系,从而达到解决问题的目的.这种化归为基本量处理的方法是解决等差或等比数列问题特有的方法.对于不是等差或等比的数列,可通过转化化归,转化为等差(比)数列问题或相关问题求解由于数列是一种特殊的函数,也可根据题目特点,将数列问题化归为函数问题来解决.1．（2021·河南南阳·高三期中（理））已知数列是正项等差数列，，且.数列满足，数列前项和记为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，其前项和记为，试比较与的大小.应用体验1．（江苏省苏州市20212022学年高二上学期期中数学试题）在①，②，，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答.问题：已知数列的前项和为，且满足___________.（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入个数，使得这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在三项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）2．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高二月考（理））已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.二微观优化解题细节：数列的“模型化”命题解题在高中阶段,数列是自变量为正整数的一类特殊函数,高考强调对数列从方程和函数的视角进行研究,其中方程的视角主要体现基础性,即运用等差,等比数列的公式来获得首项、通项公式、公差(比)、前项和等基本量；函数的视角则体现综合性,主要突出等差数列与一次函数,等比数列与指数函数的关系,高考命题中则强调二次型与等差数列的联系,一次型与等比数列的联系.类型一：二次型与等差数列（1）若，则①。事实上，记，，则。是的前项和，对于，当且仅当时，是等差数列。（2）若，则②。利用上述①②来构造关系是高考命题的常用手法。1．（2021·山西省新绛中学校高三月考（理））已知数列前项和为（1）求.（2）若数列，求前项和.类型二：一次型与等比数列对于等比数列，。若令，则。这表明，若果数列是等比数列，则是的一次型。1．（2021·江苏·苏州中学高二月考）已知数列的各项均为正数，记数列的前项和为，数列的前项和为，且，．（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）若，且，，成等比数列，求和的值．应用体验精选好题做一当十1．（2021·北京·首都师范大学附属中学高三期中）已知数列的前项和为，满足（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．2．（2021·江苏·南京航空航天大学附属高级中学高三月考）已知等比数列中，，数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列为等差数列，并求前项和的最大值3．（2021·浙江·高三开学考试）已知数列中，，.（1）求证：是等比数列，并求数列的通项公式；（2）已知数列满足.①求数列的前项和；②若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.4．（2021·全国·模拟预测（理））已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.5．（2021·江西赣州·高三期中（文））已知数列的前n项和为，，，设．（1）证明数列是等比数列并求数列的通项：（2）数列满足，设，求．6．（2021·江西柴桑·高三月考（文））已知数列为等差数列，是数列的前项和，且，，数列满足：，当时，.（1）求数列，的通项公式；（2）令，证明：.7．（2021·湖南·高三月考）在数列中，已知，.等比数列的首项为，且.（1）求数列、的通项公式；（2）求数列的前项和.8．（2021·云南·峨山彝族自治县第一中学高三月考（理））已知数列为等比数列，公比，是数列的前项和，且，．数列满足．（1）求数列，的通项公式；（2）令，证明：．9．（2021·福建·高三月考）等差数列中，，．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如，．10．（2021·重庆·高三月考）已知数列的前项和，且，正项等比数列满足：，.（1）求数列和的通项公式；（2）若，求数列的前项和.11．（2021·全国·高三专题练习）在①；②；③是与的等比中项，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题：已知为公差不为零的等差数列，其前项和为为等比数列，其前项和为常数，，（1）求数列的通项公式；（2）令其中表示不超过的最大整数，求的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.12．（2021·全国·高三专题练习）已知各项均为正数的数列的前n项和满足，且.（1）求的通