数学-甘肃省永昌县第一高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试试题和答案

考生注意:1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分,考试时间120分钟。2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3.考生作答时,请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效。4.本卷命题范围:湘教版选择性必修第一册第1章~第3章第1节。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.直线l:2父—3y十1=0和直线m:3父十2y—1=0的位置关系为A.垂直B.平行C.重合D.相交但不垂直2.已知a是4与6的等差中项'b是—1与—64的等比中项'则a十b=A.13B.—3C.3或—13D.—3或133.两平行直线l1:2父十4y十1=0'l2:父十2y—2=0之间的距离为 4.已知圆C1:(父—2)2十(y十3)2=16与圆C2:父2十(y—2)2=10相交于A'B两点'则直线AB的方程为5.若曲线十表示椭圆'则实数t的取值范围是A.(2'4)B.(2'3)U(3'4)C.(—∞'2)U(4'十∞)D.(4'十∞)6.已知点P是圆C:父2十y2—4父十6y十12=0上的动点'则点P到直线4父—3y—2=0距离的最小值是A.4B.3C.2D.1【高二期中考试卷●数学第1页(共4页)】25—T—267B7.已知等比数列{an}的前n项和为Sn'若S3=4'则S9的最小值为A.6B.5C.4D.38.某市举办青少年机器人大赛'组委会设计了一个正方形场地ABCD(边长为8米)如图所示'E'F'G分别是AB'BC'CD的中点'在场地ABCD中设置了一个半径为米的圆H'圆H与直线AB相切于点E.比赛中'机器人从F点出发'经过线段AG上一点'然后再到达圆H'则机器人走过的最短路程是二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得。分。9.已知直线l:2父—3Y十1=0'则A.l不过原点B.l在父轴上的截距为C.l的斜率为D.l与坐标轴围成的三角形的面积为310.已知F1'F2分别是椭圆十的左、右焦点'点P在M上'且PF1=4'sin上F1PF2=的值可能为A.\5B.2C.\3D.\211.已知圆C:(父—2)2十(Y十4)2=9'过点P(—1'5)作圆C的两条切线PA'PB'切点分别是A'B'则A.|PA|=9B.直线PA'PB的方程为4父十3Y—11=0和4父—3Y十16=0C.四边形PACB的面积为27三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.以点(—1'1)为圆心'且经过点A(3'4)的圆的方程是.13.已知数列{an}的首项为14'且an十1=an十2n十5(n∈N十)'则的最小值为.14.设F1'F2分别为椭圆十的左、右焦点'过点F1且倾斜角为60。的直线与椭圆C交于A'B两点'若AB=3F1B'则椭圆C的离心率为.【高二期中考试卷●数学第2页(共4页)】25—T—267B四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(本小题满分13分)已知数列{an}是首项为1的等差数列'数列{bn}是公比为3的等比数列'且a2十b3=30'b2=a4十2.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)求数列{an十bn}的前n项和Tn.16.(本小题满分15分)已知A(1'6)'B(—4'7)'C(0'1)'△ABC的外接圆为圆M.(1)求圆M的方程;(2)已知直线l:\3父—y十2\3=0与圆M交于E'F两点'求△AEF的面积.17.(本小题满分15分)已知数列{an}的首项且满足an十1=(1)求数列{an}的通项公式;记'求的前n项和sn.【高二期中考试卷.数学第3页(共4页)】25—T—267B18.(本小题满分17分)已知圆C过M(—1'3)'N(1'1)两点'且圆心C在直线2父十Y—5=0上.(1)求圆C的方程;(2)设直线Y=k父十3与圆C交于A'B两点'在直线Y=3上是否存在定点D'使得直线AD'BD的倾斜角互补?若存在'求出点D的坐标;若不存在'说明理由.19.(本小题满分17分)已知椭圆十的左顶点、上顶点分别为A'B'离心率为'△oAB(o为坐标原点)的面积为1.(1)求椭圆E的方程;(2)已知过点C(3'0)的直线l交椭圆E于P'Q两点(点P'Q不在Y轴上)'直线BP'BQ分别交父轴于点M'N'若'且m十n=求直线l的方程.【高二期中考试卷●数学第4页(共4页)】25—T—267B1.A直线l:2父—3y十1=0和直线m:3父十2y—1=0的斜率分别为'—'因为×(—=—1'所以l丄m.故选A.'8'所以a十b=—3或a十b=13.故选D.3.B由题意可知l2:父十2y—2=0可以化为2父十4y—4=0'所以两平行直线l1'l2之间的距离d=|1—(—4)|\22十424.A圆C1'圆C2的方程可以化为父2十y2—4父十6y—3=0'父2十y2—4y—6=0'将两圆方程相减'得4父—10y—3=0'即直线AB的方程为4父—10y—3=0.故选A.5.B若曲线t22十=1表示椭圆'则t'解得2<t<4且t≠3'所以实数t的取值范围是(2'3)U(3'4).故选B.6.C因为圆C:父2十y2—4父十6y十12=0可化为(父—2)2十(y十3)2=1'所以圆心坐标为C(2'—3)'半径r=1'因为圆心C到直线4父—3y—2=0的距离d=|4×2—3×(—3)—2|=3>1'所以直线4父—3y—2=0与圆C\42十(—3)2相离'所以点P到直线4父—3y—2=0距离的最小值是3—1=2.故选C.7.D由题意知S3'S6—S3'S9—S6成等比数列'所以(S6—S3)2=S3(S9—S6)'即(S6—4)2=4(S9—S6)'所以S9=(S—4S6十16)=[(S6—2)2十12]'当S6=2时'S9取得最小值3.故选D.8.A如图'以点A为原点'以AB'AD分别为父轴'y轴建立平面直角坐标系'则由题意'得A(0'0)'E(4'0)'F(8'4)'G(4'8)'所以AG:y=2父'因为圆H与直线AB相切于点E且半径为'所以圆H的方程为(父—4)2十(y—2='设点F关于直线AG的对称点为'则'解得'连接F’H'线段F’H分别与AG'圆H交于点M'N'当机器人走过的路线是线段FM'MN时'路程最短'又|FM|十|MN|=|F’N|=|F’H|—所以机器人走过的最短路程是7\—9米.故选A.9.AC因为2×0—3×0十1≠0'所以l不过原点'所以A正确;令y=0'得父=—'所以l在父轴上的截距为—'所以B错误;把2父—3y十1=0化为y=父十'所以l的斜率为'所以C正确;把2父—3y十1=0化为—父1十=1'所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为×—×='所以D错误.23【高二期中考试卷.数学参考答案第1页(共4页)】25—T—267B故选AC.10.AC由PF1十PF2=2a=6'PF1=4'得PF2=2.F1F22=4c2= 4(a2—b2)=4(9—b2)'由Sin上F1PF2=\5'得cOS上F1PF2=±.在△F1PF2中'由余弦定理得F1F22=PF12十PF22—2PF1PF2cOS上F1PF2'得b2=5或b2=3'所以b=\或\.故选AC. 11.ACD圆C的圆心为C(2'—4)'半径为r=3'因为PA丄AC'|PC|=\(—1—2)2十(5十4)2=3\'所以 |PA|=\|PC|2—r2=\=9'故A正确;过P(—1'5)且斜率不存在的直线方程为l1:父=—1'圆心C到直线l1的距离d=3=r'故l1与圆C相切'设过点P(—1'5)且斜率存在的直线方程为l2:y—5=k(父十1)'即k父y十5十k=0'若l2与圆C相切'则d=|2k2k|=r=3'即k=—'即l2:4父十3y—11=0'所以直线PA'PB的方程为父=—1和4父十3y—11=0'故B错误;因为△PAC与△PBC是全等的直角三角形'所以四边形PACB的面积为2S△PAC=2×|PA|.|AC|=9×3=27'故C正确;因为PC丄AB'所以四边形PACB的面积为|PC|.|AB|=3\210|AB|=27'解得|AB|=9\510'故D正确.故选ACD. 2十(y—1)2=25由题意'知所求圆的圆心是(—1'1)'半径为r=\(—13)2十(14)2=5'故所求圆的方程为(父十1)2十(y—1)2=25.13.10当n≥2时'由an十1=an十2n十5'得a2—a1=7'a3—a2=9'…'an—an—1=2n十3'将以上各式左右分别相加'得an—a1=7十9十…十2n十3=(n—1)(十2n十3)=n2十4n—5'所以an=n2十4n十9(n≥2)'又a1=14满足上式'所以an=n2十4n十9'=n十十4≥2\十4=10'当且仅当n='即n=3时等号成立'故的最小值为10.14.设F1B=m'由|AB|=3|F1B|'得AF1=2m'由椭圆的定义知BF2=2a—m'AF2=2a—2m'在△AF1F2中'(2a—2m)2=(2m)2十(2c)2—2×2m×2c×'整理得c2—mc=a2—2am①'在△BF1F2中'(2a—m)2=m2十(2c)2—2×m×2c×(—'整理得c2十mc=a2—am②'由②—①'得mc=am'则='故椭圆C的离心率为.15.解:(1)由题意'设等差数列{an}的公差为d'由a2十b3=30'b2=a4十2'得1十d十b1×32=30'b1×3=1十3d十2'解得d=2'b1=3.………………3分所以an=1十2(n—1)=2n—1'bn=3×3n—1=3n.…………6分(2)由(1)知an十bn=2n—1十3n'设数列{an}的前n项和为An'则An=(1十2—1)n=n2;…………………9分设数列{bn}的前n项和为Bn'则Bn==(3n—1).…………12分所以数列{an十bn}的前n项和Tn=An十Bn=n2十(3n—1).…………13分【高二期中考试卷.数学参考答案第2页(共4页)】25—T—267B(12十62十D十6E十F=0'16.解:(1)设圆M的方程为父2十y2十D父十Ey十F=0'则〈(—4)2十72十(—4)D十7E十F=0'……………3分(02十12十E十F=0'(D=4'解得〈E=—8'所以圆M的方程为父2十y2十4父—8y十7=0.……………6分(F=7'(2)由父2十y2十4父—8y十7=0'得(父十2)2十(y—4)2=13'所以圆M的圆心为M(—2'4)'半径r=\'……………………………8分\(\3)2十(—1)2\(\3)十(—1)圆心M到直线l的距离为d1=|—2\3—4十2\3|\(\3)2十(—1)2\(\3)十(—1)又点A到直线l的距离为d2=|\3—十2\3|2=6—\3'……………13分所以△AEF的面积为|EF|.d2=×6×6—\3=18—29\3.……15分17.解:(1)由题意知an≠0'所以由an十1=1an'得a1=1an=十5'所以a1—=5'…………2分又=3'所以是首项为3'公差为5的等差数列'…………………4分所以=3十5(n—1)=5n—2'即an=2.………………6分(2)由(1)'得bn==(5n—2).2n'………………………8分所以sn=3×21十8×22十13×23十…十(5n—2).2n①'2sn=3×22十8×23十13×24十…十(5n—2).2n十1②'①—②'得—sn=3×21十5(22十23十…十2n)—(5n—2).2n十1=6十5×—(5n—2).2n十1=(7—5n).2n十1—14'……………13分所以sn=(5n—7).2n十1十14.……………15分18.解:(1)由题意得MN的中点E的坐标为(0'2)'直线MN的斜率为—1'………………1分因为CE丄MN'所以直线CE的斜率为1'所以直线CE的方程为y—2=父'即y=父十2'……………3分解方程组y=父十2'y=父十2'2父十y—5=0父=1'故C(1'3)'y=3'…………5分 所以圆C的半径r=CM=\(1十1)2十(3—3)2=2'所以圆C的方程为(父—1)2十(y—3)2=4.…………………7分(2)由y=K父十3'(父1)2十(y—3)2消去y整理得(1十K2)父2—2父—3=0.……9分=4设D(t'3)'则KAD=—'KBD=—(KAD'KBD分别为直线AD'BD的斜率).【高二期中考试卷.数学参考答案第3页(共4页)】25—T—267B因为直线AD'BD的倾斜角互补'…………13分所以kAD十kBD=0'即—十—=0'即(y1—3)(父2—t)十(y2—3)(父1—t)=0'十父2)=0'将(*)式代入得—12—12=0'k1(2)=0对任意实数k恒成立'故t十3=0'解得t=—3'故点D的坐标为(—3'3).所以在直线y=3上存在定点D(—3'3)满足条件.………17分19.解:(1)因为椭圆E的离心率为\'所以=\'c=\a'b=\=a'………