考场仿真卷04-2021年高考数学（理）模拟考场仿真演练卷(新课标Ⅰ卷)（解析版）

绝密★启用前

2021年高考数学（理）模拟考场仿真演练卷

第四模拟

本试卷共23题（含选考题）.全卷满分15（）分.考试用时120分钟.

注意事项：

I.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净

后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时，洛答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题.每小题5分洪60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

A.2B.-2C.2iD.-2i

【答案】D

,MW.n.Ueizz-2i(1+z)(l—Z)—2Z2—2/—2i(l+i).,

(解析】因为z=1+z,所以------=--------------=------=----;----=-2i.故选D.

z1+Z1+Z1+i

2.已知全集U={T,0J2,3},集合A={0J2},B={-l,0,l},则(g知()

A.{-1}B.{0,1}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}

【答案】D

【解析】易知6I={T3},则⑹⑷u8={T(H3}.故选D.

3.已知等差数列{4}满足4%=3々，贝］{q}中一定为零的项是()

A.%B.a-）C.例D.%

【答案】A

【解析】设等差数列｛q｝的公差为d，由4a3=3/得4=一51,，。6=4+54=0，故选A.

4.A,B两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量叱（。，吗（。与时间f（天）的关系如图所示,

则一定有（)

A.两机关单位节能效果一样好

B.A机关单位比8机关单位节能效果好

C.4机关单位的用电量在［0"。］上的平均变化率比4机关单位的用电量在［0,70］上的平均变化率大

D.A机关单位与B机关单位自节能以来用电量总是一样大

【答案】B

【解析】由图可知，活动开始后两机关的用电量变化率不同，节能效果也就大同，故A错；在相同的时间

内，A机关单位比8机关单位用电量减少的多，故B对；在［0/。］上两机关的用电量都在减少，所以变化

率都为负值，A机关单位的用电量变化的嗝度更大，所以变化率反而更小，故C错；自节能以来，A机关单

位比8机关单位用电量大，在4天时用电量相等，故D错.故选B.

5.世界著名的数学杂志《美国数学月刊》于1989年曾刊登过一个红极一时的棋盘问题.题中的正六边形棋

盘，用三种全等（仅朝向和颜色不同）的菱形图案全部填满（如下图），若在棋盘内随机取一点，则此点取

自白色区域的概率为（）

【答案】B

【解析】直接数出正六边形共包含菱形48个，其中白色16个，则此点此点取自白色区域的概率

白色区域面积=16二1

正六边形面积一48一十

6.在平行四边形ABC。中，AB=2，AD=J^，点F为边CD的中点、,若而.而=0,则丽.亚

（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【解析】：丽.丽=0，・•・WA8,如图建立平面直角坐标系，F（0,2）,C（l,2）,B（2,0）,

・••衣=（1,2）,旃=（-2,2）,・••旃./=-2+4=2,故选C

7.已知边长为3的正UA6c的顶点和点D都在球。的球面上.若A0=6,且AD_L平面A3C,则球。的

表面积为（）

A.32岳B.484C.24万D.12"

【答案】B

【解析】由题意知：球。为三棱锥。一ABC的外接球，・.・LJ4BC为边长为3的正三角形，・比48c的外接

圆半径r=2x/9—2=6,又ADJ_平面ABC，AO=6,•.•球O的半径

3V4

/?=Jr+f-AD>I=石3二2退，・二球O的表面积S=4万R2=48万.故选B.

\（2）

8.执行如图所示的程序框图，若输出的S=0,则空白判断框中可填入的条件是（)

A./?>3?B.n>4?C.〃>5?D.〃>6?

【答案】C

【解析】模拟执行程序框图，

输入5=160，〃=1,不满足SW10,则S=80，〃=2,需不满足判断框，循环：

不满足SW10,则S=40,〃=3,需不满足判断框，循环；

不满足SW10,则S=20，〃=4,需不满足判断框，循环；

不满足SW10,则S=10,〃=5,需不满足判断框，循环；

满足5<10,则5=0，〃=6,需满足判断框，输出5=0；

••・判断框中的条件应为：〃>5?.故选C.

9.如图，点M、N分别是正四面体ABCO棱48、8上的点，设直线MN与直线3C所成

的角为J，则（）

A.当ND=2CN时,。随着x的增大而增大

B.当ND=2CN时,。随着工的增大而减小

C.当CN=2ND时,。随着x的增大而减小

D.当CN=2ND时,。随着x的增大而增大

【答案】D

【解析】当NZ)=2CN时，如下图作NF〃BC交3。于尸点，所以直线MN与直线BC所成的角即为直线

MV与直线N尸所成的角，即NMNr=。，设正四面体的棱长为3,则CN=BF=1,FN=2,

可求得M尸—x+l,MN=/?—3/+7，所以在UFNM中,有

cos6>=.=-I1+--__-(XG[0,3]),令~则

2VX2-3X+72Vx~-3x+7x2-3x+7

/(x)=—5—7，X£[0,3]时，/(x)=—5”■有正有负，函数有增有减，

(x-3x+7)~(x-3x+7)~

所以故A与B错误；

当CV=2NO时，如下图作NE〃8C交B。于E点，所以直线MN与直线BC所成的角即为直线MV与

直线NE所成的角，即NMVE=6>.同样设正四面体的棱长为3,则CN=BF=2,FN=2,

,---------广/…，9+7-73

可求得ME=Jf_2x+4，AN=BN=近，在壮ABN中,有cosNA5N二或不二万=,

23

所以MN?=x+7-2xxx>/7x-3x+7,即MN=y/£-3x+7,

2yfl~

4-r19-5r

所以在UMNE中，有cos夕=/'=-Jl+2(xe[0,3]),

2x/x2-3x+72、k-3x+7

9-5x5X2-18X-8

令fM=，则小)=<0

X2-3X+7(X2-3X+7)2

所以/(X)在定义域内单调递减，即X增大，f(x)减小，即cos。减小，从而6增大，故D正确，C错误.故

选D.

B

3x+l,x<1,/

10.已知函数/*）={2..，若〃〉加，且/（"）=/（用），设，=〃一机，则（）

x--l,x>l

A.，没有最小值B./的最小值为逐-1

417

C.f的最小值为；D.，的最小值为二

312

【答案】B

【解析】如图，作出函数/（幻的图象，•・•/（〃）=/（加）且〃〉机，则加£1,且九>1，

〃2_2〃>1L

.\3w4-l=/i2-1»即/n=----•由〈八21,J解得

3[0<n-l<4

if-21,2,413、217

:.n—m=n------=——(〃—3n—2)=——(zn—)+—,

333212

又•.”〈〃工百，当〃=石时，（〃一加）而n=石一1・故选

2,〃为偶数

11.已知数列｛%｝与也｝满足%+ba=(―3)"+1weN*»且4=2,下列

nn+l为奇数

正确的是（）

A.《一4二8B.a4-a2=18

C.{%+2-％“}是等差数列D.｛4向-4〃-J是等比数列

【答案】D

1

【解析】因为数列｛%｝与他｝满足%%+=(一3)"+1,令〃=1,b2at+"%=(-3)+1=-2,

2

由q=2,4=1,打=2,所以。2=_6,令〃=2,b3a2+b2ay=(-3)+1=10,tha2=-6,Z?3=l,b2=2,

3*9

所以%=8,所以q-q=6,故A错误；令〃=3,b4a3+b3a4=(-3)+1=-26,由4=8也=1,"=2,

所以《=-42,所以4一4=-42+6=-36,故B错误；由已知得①+%•+%A”+i=(-3产+1,即

2M2

生,+2a2向=3+1，%*+%3(―3)21+1,即202tl+%=(-3产+1=-3^+b

两式相减得。2〃+1_%1

所以｛々"1—电1｝是以6为首项，9为公比的等比数列，故D正确；

由生e—%"T=6x9'i得

a2fl-I=4+（4-4）+（々5-4）+一.+（4”-1-42”-3）=2+6><（1+9+92+-+9”-2）

=2+6x-----

1a

2n,

由2%z+。2+«2„=-3-+l,得生“=—_X9"_2,

22

I7I1

所以42=-5'9向一日一-5x9〃-弓=—4x9”,

%向一？“+2-（%计2-4〃）=Mx9〃"+4x9〃不是常数，

｛%+「％｝不是等差数列，故C错误.故选D.

12.第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行.这

是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克

运动会的城市.同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬

残奥会）国家.根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场"鸟巢”的钢

结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点5

9

分别向内层椭圆引切线4C,BD（如图），且两切线斜率之积等于一二，则椭圆的离心率为（）

D,正

2

【答案】B

【解析】若内层椭圆方程为J由离心率相同，可设外层椭圆方程为

「，+/:、2=1(团>1)，,4一〃肛0),8(0,mb),设切线AC为y=勺(X+rna),切线BD为

(may(mb)

y=k、(x+ma)

y=kx+i?ib,/.v2，整理得(/%；+b2)x2+2m/k*+m2a"k；-a2b2=0,由△=0知:

2b+F=1

⑵也3K2）2_4（〃2K2./）（苏/好一々2加）=0,整理得林=与―二

a"1-m

y=kox+mb

-h2A49A2Q

同理,x2y2，可得公=—y"(52—1)，J(A/,)?===(一启)2，即一7=77，故

2242

—+V=1aa16a16

a~b-

二、填空题：本题共4小题、每小题5分，共20分.

13.在一组样本数据为（西,凹）,32,%），…，（天,券）（〃之2，x，w，…，Z不全相等）的散点图中，若所有

样本点（%,丫）（，=1,2「・,〃）都在直线〉=-3工一3上，则这组样本数据的相关系数r=

【答案】-1

【解析】因为-1<0,所以这两个变量成负相关，故这组样本数据的相关系数为负值，又所有样本点

2

（4》改=1,2「一,〃）都在直线丁=一*一3上，则上|=1,所以r=—1.

14.设双曲线C=\{a>0,b>0）的左、右焦点分别为Fi,尸2,离心率为君.P是C上一点,且KP_LF2P.

a2tr

若△尸Fi尸2的面积为4,则。=

【答案】I

【详解】法一：设|「月|=枷，仍后|=〃，尸为双曲线右支上一点,

2

则SjjP-FqrFj=-2inn=A,m-n=2a,n^+n=4c\

从而修=4+4,又。=3=区,从而4=1.

a

.2

法二：由题意得，SPFF=-^—=4,得。2=4,

-12tan45

又e=£=逐，且廿=标+方2,所以a=i.

a

15.已知函数/（%）=2sin（s+”）（G>0,|。|<］）与函数y=g（幻的部分图像如图所示，且函数的

图像可由函数的图像向右平衅个单位长度得到，则。，函数/*）在区间

7TJT

【解析】由题意可知将函数y=g（x）的图像上的点（一一,0）向右平移一个单位长度,

34

可得了（此的图像在五点法作图时的第一个点，坐标为（一2+（,0）,即（-芸,0），

由/（1）的部分图像可知五点法作图时的第二个点坐标为（学,0），

12

71.八

---0+0=0co=2

J2,解得•/./(x)=2sin(2x+-),由一卫得0《2工+工4生,

则

5,71(b=—6121263

——co+(p=乃

112甲6

则当2x+5=3,工=5时，sin(2x+?)11m=1,当2x+£=?,x=得时,sin(2x+=-^-»

o2ooo31262

故函数/（功在区间［—菅,£］的值域为［-石,2］.故答案为：2：［-石,2］

16.已知函数的定义域为(0,+8),其导函数为了'(刈，且满足〃x)>0,/(x)+/\x)<0,若

0<X,<l<^,且%々=1•给出以下不等式：

①〃再)>e»㈤；

②七/(工2)〈工2/(41)；

③%/(内)>//(%)；

④/(%)>(1-石)/(西).

其中正确的有.(填写所有正确的不等式的序号)

【答案】①②③

【解析】设F(x)=e"(x),则/'*)=1[/'(%)+/(%)]v0,由此可得F(x)单调递减，所以

炉/(%)>俨/(9),即故①正确；

因为73>0，(幻+/'3<0,所以ra)<o,所以/(%)单调递减，所以〃々)<〃内)<?〃百)，

所以4/(w)〈w/(x)，故②正确；

对于③,由①分析可知/(%)>©、2一百/(巧)，欲使芭/(%)>巧/(9)，旦X/2=l，即/(5)>/2/(W)

成立，只需满足/即可，即证七——>2\nx2(x2>\)t设m(6=x-2-21n%,则

e>XV7

2X2x

z(X1)

/n(x)=14-4r--=->0,则皿上)单调递增，所以加(巧)>〃2(1)=0,故③正确；

XXX

对于④，假设/(电)>(1_玉)/(西)成立，因为炉/(xj>e“2/(w),所以「・：/(3)>/(修)，所以

e"F〉i_%，®X,=-,则e2>],所以丁<2,矛盾，故④不正确•故答案为：①②③.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必

须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.(12分)在DABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c.C=y,A8边上的高为JJ.

=25求DAbC的周长;

（1）若sABC

（2）求2+!的最大值.

ab

【解析】（1）依题意%耻=5。以m。=一。・6=26，可得。=4,（2分）

TT

因为C=-,所以"=8.由余弦定理得。2+从一〃6=。2,

3

因此（4+份2=。2+3。〃=40,即a+力=2函.（5分）

故□力NC的周长为2如+4.（6分）

（2）由（1）及正弦定理可得，

212b+a2b+a2sinB+sinA2sin|--A|+sinA

"sin（A+6）,（其中。为锐角，

abab2c5/3=---------T=-------------

忑

且tan6=1^）（10分）

2

由题意可知0<A<生，因此，当A+6>=工时，2+!取得最大值

"2分）

32ab

18.（12分）如图，三棱锥A—88中，CD_L平面ABC,AC=CB=-CD,ZACB=90°,点E,F分

别是A8，A£>的中点.

（1）求证：AC_L平面BCO；

（2）求直线A。与平面C斯所成角的正弦值.

【解析】（1）因为DCJ■平面A8C，ACu平面ABC,

所以AC_LCD.

因为NAC8=90。.

所以AC_LC8.（3分）

因为CDcCB=C,

所以AC_L平面BCD.（5分）

（2）因为COJ_平面ABC,

所以C8J_CD.（6分）

以点C为坐标原点，分别以直线C8,CD，C4为x,y,z轴建立空间宜角坐标系C一孙z.

设AC=8C=2,则。C=4.

因为点E，尸分别是AB，A。的中点，

所以A(0,0,2),8(2,0,0),C(0,0,0),0(0,4,0),E(l,0,l),尸(0,2,1).

所以Ab=（0,4,-2），&=（1,0,1），CF=（0,2,l）•（8分）

设平面CEF的法向量为„=J,y,z)，

iiCE=0,x+z=0,

则〈一即《

«CF=0,2y+z=0.

令y=1，则z=—2，x=2.

所以1=（2,1,-2）•（10分）

设直线AD与平面C即所成角为3.

所以4110=105(万,而“=竺|=—•

1'71\n\\AD\3x2行15

所以直线与平面CE尸所成角的正弦值延.(12分)

15

19.(12分)单板滑雪型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的名运动员按照预赛成绩由低到高

的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分，最终取单

次最高分作为比赛成绩.现有运动员甲、乙二人在2021赛季单板滑雪U型池世界杯分站比赛成绩如下表：

运动员甲的三次滑行成绩运动员乙的三次滑行成绩

分站

第1次第2次第3次第1次第2次第3次

第1站80.2086.2084.0380.1188.400

第2站92.8082.1386.3179.3281.2288.60

第3站79.10087.5089.1075.3687.10

第4站84.0289.5086.7175.1388.2081.01

第5站80.0279.3686.0085.4087.0487.70

假设甲、乙二人每次比赛成绩相互独立.

（1）从上表5站中随机选取1站，求在该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概率；

（2）从上表5站中任意选取2站，用X表示这2站中甲的成绩高于乙的成绩的站数，求X的分布列和数

学期望；

（3）假如从甲、乙2人中推荐1人参加2022年北京冬奥会单板滑雪U型池比赛，根据以上数据信息，你推

荐谁参加，并说明理由.

（注：方差『=，［（为一工）~+■2—1）+…+（七,一，［，其中［为士，工2，…，血的平均数）

【解析】（1）设“该站运动员甲的成绩高于该站运动员乙的成绩”为事件A;

运动员乙第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成绩分别为：

88.40、88.60、8910、88.20、87.70,（1

运动员甲第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成绩分别为：86.20、92.80、87.50、89.50、86.00,

其中第2站和第4站甲的成绩高于乙的成绩

「.P（A）=|,（3分）

（2）X的可能取的值为04,2,则

p（X=0）=-^-=—

c~10

C2co1

P(X=2)=里支=—(5分)

C；10

所以X的分布列为

X012

331

P

lo510

3314

E(X)=0x—+lx-+2x—=-(7分)

105105

(3)推荐乙.

甲5站的平均成绩为：焉=1(86.20+92.80+87.50+89.50+86,00)=88.40

乙5站的平均成绩为：£=1(88.40+88.60+89.10+88.20+87.70)=88.40(9分)

甲5站成绩方差为：

[(88.40-86.20)2+(88.40-92.80)2+(88.40-87.50)2+(88.40-89.50)2+(88.40-86.(X))2]=6.396

乙5站成绩方差为：

[(88.40-88.40)2+(88.40-88.60)2+(88.40-89.10)2+(88.40-88.20)2+(88.40-87.70)2]=0.212

(11分)

高乙说明甲乙二人水平相当，*表明乙的发挥比甲的更稳定

所以预测乙的成绩会更好.(12分)

20.(12分)已知焦点为尸的抛物线C:y2=2px(p>。)经过圆。：(]一4)2+(丁一4)2=产(r>0)的圆心，

点E是抛物线C与圆。在第一象限的一个公共点且|斯|=2.

(1)分别求。与r的值；

(2)直线/：丁=履+2交。于A,8两点，点G与点A关于1轴对称，直线AG分别与直线OD,OB交

于点M，N(O为坐标原点)，求证：=

【解析】（1）由已知得抛物线。过点。（4,4）,所以16=2px4,所以，=2.（1分）

即抛物线C的方程为丁=4x.（2分）

设点E（%,%）（%>0），则但尸|=飞+1=2,所以-=1,于是得%=匹=2,即£（1,2）,（3分）

将点芯的坐标代入圆。的方程，得产=0-41+（2-4『=13,所以r=

所以p=2,/*=旧；（5分）

（2）设A（x，yJ,B（X2，y2）,则G（%,-yj,显然，入,多均不为0.

y=kx+2

联立《消去y，得出2f+（水-4）x+4=0.

y2=4x

4一4左4

则X+/=①，=—②。

KK

由题意得AwO,且A=(4攵-4)2-16^=16—32女>0,即左<g,(7分)

因为。（4,4）,所以直线。。的方程为y=x,故M（x，xJ.

直线。8的方程为丁=M％,故N百，垩

x?I%

若要证14M=|MN|,只需证2%=%+后，即证铝+X=2%，即证4%+冗2凹=2卬L

X2

x=g+2,

将代入上式，即证（仇+2）%+（依+2区=2%W，即证（2攵-2）苔9+2（%+/）=0

yz=kx2+2

③，（10分）

将①②代入③得（2左一2）x，+沿^=0,此等式显然成立.

KK

所以2yM=乃+丁川恒成立，故|人根=|用'卜（12分）

21.(12分)已知函数/(x)=sinx+-T.

（1）求函数/（幻在；,24的最大值;

4

（2）证明：函数g（x）=gx+2eT-/（R）在（0,2幻有两个极值点m,超,并判断办+看与2万的大小关系.

【解析】(1)f,(x)=cosx-e~x,f"(x)=-sinx+e~x

当—,2TT时，—sinxNO,"',。，则故f(x)在上单调递增,

又技)=%)二1一夕2">0,所以/'(幻在(募，2乃)有唯一的零点九(2分)

当(与J时，f\x)<0；当xe(1,2;r)时，f(x)>0.

手，，上单调递减，在(八2万)上单调递增,

故fJ)在

3尸

-y

且f-l+e<0,/(2幻=42”>0,所以/(%)在弓-，2万的最大值为"2”.(5分)

(2)g\x)=--cosx-e~x,

①当xw0,/J时,

y=-cos/,y=-夕"均单调递增，所以g'(x)单调递增,

又喈1&I_£

=------------。，峭--e2>0,

22J2

所以g'(x)在o,g有唯一的零点工G

\L)

此时当x«(V[)时，g'(x)<0：xe时，g'(x)>0,

VL)

7171

所以4是极小值点，不妨让X］一11G.(7分)

4,2

(兀3^r।x

②当-y,I0't,COSJCVO，单调递增，所以g'(x)=■!■-COSX-［一」一e亍>0;

、Z2)222

故g(.r)在上单调递增，没有极值点；(8分)

③当KC>^■,2%),gff(x)=sinx+e~x=f(x).由(1)知，/")在(与，，上单调递减，在。,2乃)上单调

递增,

3冗仔，2乃）,

且/＜0,/（2乃）＞0,故/*）有唯一的零点

（3兀1

则工£15"”时，g〃⑴即g'。）单调递减;工£«0,2乃）时，g"（x）＞0,即g'（x）单调递增,

又g传卜。送，田=——^~—e4<0,gr(2;r)=~^~e2，T,

I4)

与,2期）有唯一的零点与e3乃7乃

所以g'（x）在XE,(10分)

24J

此时时,g'（X）＞0；x£(q,2万)时，g'(x)<0,

3万In

所以乃是极大值点，即“2=芍右万’4

（71力■）（3万7万、

所以g（x）在（0,2l）有两个极值点演,与，其中-

1

——cosx=e

且；x

,由于＞6』，所以8sxV8SW=以为（2万一工2）.

rx2

--cosx2=e

nn冗71

因为X］G，2-2寸，方，且丁=。^工在上单调递减,

79~24,2,

所以4>2乃一w,即X+w>2万.

冗713乃51

也对.）分）

（判断极值点的时候玉e~3,2（12

（-）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.［选修JI：坐标系与参数方程］（10分）

在直角坐标系X0X中，点A是曲线G：（x-2『+y2=4上的动点，满足2砺二方的点8的轨迹是。2・

（1）以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线G，G的极坐标方程;

x=-l+Zcosa/、

（2）直线/的参数方程是《0为参数），点P的直角坐标是（一1,0）,若直线/与曲线。2交于

y=tsma

M，N两点，当求cosa的值.

【解析】（1）把r+y2=02,x=pcos夕代入f-4x+4+y2=4,

化简得曲线G的极坐标方程为夕=4cos8.（2分）

设动点8极坐标为（夕,。），则由2砺=35可知，点A的极坐标为（22,8）,

代入曲线G的极坐标方