2024-2025学年新教材高中数学第五章计数原理3第1课时组合组合数及其性质学案北师大版选择性必修第一册

PAGE§3组合第1课时组合、组合数及其性质新课程标准学业水平要求通过实例，理解组合的概念，能利用计数原理推导组合数公式1.理解组合与组合数的概念，正确相识组合与排列的区分与联系．(数学抽象)2．会推导组合数公式，并会应用公式进行计算．(数学运算)3．理解组合数的两特性质，并会求值、化简和证明．(逻辑推理)必备学问·自主学习1．组合的定义从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(1)组合对元素有何要求？提示：组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的．(2)组合是有放回抽取还是无放回抽取？提示：无放回抽取，即从n个不同的元素中进行m次不放回取出．2．组合数的概念、公式、性质组合数的两特性质在计算组合数时有何作用？提示：第一特性质中，若m>eq\f(n,2)，通常不干脆计算Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))，而改为计算Ceq\o\al(\s\up1(n－m),\s\do1(n))，这样可以削减计算量；其次特性质是依据须要将一个组合数拆解成两个组合数或者把两个组合数合成一个组合数，在解题中要留意敏捷运用．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)从3，5，7，11中任取两个数相除属于组合问题．()(2)由于组合数的两个公式都是分式，所以结果不肯定是整数．()(3)区分组合与排列的关键是看问题对象是否与依次有关．()提示：(1)×.由于两个数相除与依次有关，所以是排列问题．(2)×.Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))是从n个对象中取m个对象的状况的种数，故Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))肯定是正整数．(3)√.组合与排列不同之处是组合选出的对象没有依次而排列有依次．关键实力·合作学习类型一组合的概念(数学抽象)1．给出下列问题：(1)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？(2)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？(3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环竞赛，共需赛多少场？(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？在上述问题中，________是组合问题，________是排列问题．2．推断下列各事务是排列问题还是组合问题．(1)8个挚友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？(2)8个挚友相互各写一封信，一共写了多少封信？(3)从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(4)从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个集合，这样的集合有多少个？【解析】1.(1)2名学生完成的是同一件工作，没有依次，是组合问题．(2)2名学生完成两件不同的工作，有依次，是排列问题．(3)单循环竞赛要求每两支球队之间只打一场竞赛，没有依次，是组合问题．(4)冠亚军是有依次的，是排列问题．答案：(1)(3)(2)(4)2．(1)每两人握手一次，无依次之分，是组合问题．(2)每两人相互写一封信，是排列问题，因为发信人与收信人是有依次区分的．(3)是排列问题，因为取出3个数字后，假如变更这3个数字的依次，便会得到不同的三位数．(4)是组合问题，因为取出3个数字后，无论怎样变更这3个数字的依次，其构成的集合都不变．排列、组合问题的区分方法(1)区分排列与组合的方法是首先弄清晰事务是什么，区分的标记是有无依次．(2)区分有无依次的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中随意两个对象的位置，看是否会产生新的变更，若有新变更，即说明有依次，是排列问题；若无新变更，即说明无依次，是组合问题．【补偿训练】推断下列各事务是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数．(1)10人规定相互通一次电话，共通多少次电话？(2)10支球队以单循环进行竞赛(每两队竞赛一次)，共进行多少场次？(3)10支球队以单循环进行竞赛，这次竞赛冠、亚军获得者有多少种可能？(4)从10个人中选出3个代表去开会，有多少种选法？(5)从10个人中选出3个不同学科的科代表，有多少种选法？【解析】(1)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有依次的区分，组合数为Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10))＝45.(2)是组合问题，因为每两个队竞赛一次，并不须要考虑谁先谁后，没有依次的区分，组合数为Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10))＝45.(3)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有依次区分的，排列数为Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10))＝90.(4)是组合问题，因为三个代表之间没有依次的区分，组合数为Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10))＝120.(5)是排列问题，因为三个人中，担当哪一科的科代表是有依次区分的，排列数为Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10))＝720.类型二组合数公式及其应用(逻辑推理、数学运算)角度1组合的列举问题【典例】1.从5个不同的对象a，b，c，d，e中取出2个，列出全部的组合为________．2．写出从A，B，C，D，E5个对象中，依次取3个对象的全部组合．【思路导引】1．依据组合的定义即可将组合一一列出．2．选出一个抽取对象的方向将组合一一列出，要做到不重不漏．【解析】1.要想列出全部组合，做到不重不漏，先将对象依据肯定依次排好，然后按依次用图示的方法将各个组合逐个地标示出来．如图所示．答案：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de2．全部组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.把本例1中的a，b，c，d，e看作铁路途上的5个车站，则这条线上共需打算多少种车票？多少种票价？【解析】因为“a站到b站”与“b站到a站”车票是不同的，故是排列问题，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＝20种；但票价与依次无关，“a站到b站”与“b站到a站”是同一种票价，故是组合问题，因为“a站到b站”与“b站到a站”车票是不同的，但票价一样，所以票价的种数是车票种数的一半，故共有eq\f(1,2)×20＝10种不同的票价．角度2与组合数有关的计算【典例】1.计算Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(10))－Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7))·Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝________．2．计算Ceq\o\al(\s\up1(5－n),\s\do1(n))＋Ceq\o\al(\s\up1(9－n),\s\do1(n＋1))的结果为________．【思路导引】1.依据组合数公式进行计算．2．求出n的值，再由组合数公式进行计算．【解析】1.原式＝Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(10))－Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7))＝eq\f(10×9×8×7,4×3×2×1)－7×6×5＝210－210＝0.答案：02.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5－n≤n，,5－n≥0，,9－n≤n＋1，,9－n≥0，))解得4≤n≤5.又因为n∈N*，所以n＝4或n＝5.当n＝4时，原式＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))＝5.当n＝5时，原式＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(6))＝16.答案：5或16巧用组合数公式解题(1)涉及详细数字的可以干脆用Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n)),Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(m)))＝eq\f(n（n－1）（n－2）·…·（n－m＋1）,m！)进行计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝eq\f(n！,m！（n－m）！)计算．(3)计算时应留意利用组合数的性质Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝Ceq\o\al(\s\up1(n－m),\s\do1(n))简化运算．【拓展延长】1.在计算与组合数有关的问题时，一般依据所要计算的组合数的特点，若含有详细数字应选用乘积式；若含有字母则选用阶乘式．2．在组合数的计算过程中要留意题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))的隐含条件为m≤n，且m，n∈N＋.【拓展训练】计算Ceq\o\al(\s\up1(38－n),\s\do1(3n))＋Ceq\o\al(\s\up1(3n),\s\do1(21＋n))的值．【解析】因为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(38－n≤3n，,3n≤21＋n，))所以9.5≤n≤10.5.因为n∈N＋，所以n＝10，所以Ceq\o\al(\s\up1(38－n),\s\do1(3n))＋Ceq\o\al(\s\up1(3n),\s\do1(21＋n))＝Ceq\o\al(\s\up1(28),\s\do1(30))＋Ceq\o\al(\s\up1(30),\s\do1(31))＝eq\f(30！,28！×2！)＋eq\f(31！,30！)＝466.1．若3Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(n))－6Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＝4Ceq\o\al(\s\up1(n－1),\s\do1(n＋1))，则n＝()A．8B．7C．6D．5【解析】选D.由题意知，3n(n－1)(n－2)－6n(n－1)＝4×eq\f(（n＋1）n,2×1)，解得n＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＝\f(2,3)舍去)).2．(2024·青岛高二检测)eq\f(10×9×8×…×4,1×2×3×…×7)可表示为()A．Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(10))B．Aeq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(10))C．Ceq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(10))D．Ceq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(10))【解析】选D.eq\f(10×9×8×…×4,1×2×3×…×7)＝eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(10)),Aeq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(7)))＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(10))Aeq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(7)),Aeq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(7)))＝Ceq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(10)).3．某人设计一项单人嬉戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD(边长为2个单位)的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的距离，假如掷出的点数为i(i＝1，2，…，6)，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，始终循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的全部不同走法共有()A．22种B．24种C．25种D．27种【解析】选D.依据题意，正方形ABCD的边长为2个单位，则其周长是8个单位，若抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处，则三次骰子的点数之和是8或16，若三次骰子的点数之和是8，有①1，1，6；②1，2，5；③1，3，4；④2，2，4；⑤2，3，3，共5种组合，若三次骰子的点数之和是16，有⑥4，6，6；⑦5，5，6，共2种组合，其中①④⑤⑥⑦，这5种组合有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＝3种依次，②③这2种组合有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝6种依次，则抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的全部不同走法共3×5＋2×6＝27种．类型三组合数性质的应用(数学运算)1．计算Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(2020))的值为()A．Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(2020))B．Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(2020))C．Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(2021))－1D．Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(2020))－12．(多选题)Ceq\o\al(\s\up1(90),\s\do1(99))＋Ceq\o\al(\s\up1(89),\s\do1(99))等于()A．Ceq\o\al(\s\up1(89),\s\do1(100))B．Ceq\o\al(\s\up1(10),\s\do1(100))C．Ceq\o\al(\s\up1(91),\s\do1(99))D．Ceq\o\al(\s\up1(90),\s\do1(100))3．若Ceq\o\al(\s\up1(2x－1),\s\do1(8))＝Ceq\o\al(\s\up1(x＋3),\s\do1(8))，则x的值为________．4．求证：Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(m＋2))＝Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(m))＋2Ceq\o\al(\s\up1(n－1),\s\do1(m))＋Ceq\o\al(\s\up1(n－2),\s\do1(m)).【解析】1.选C.Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(2020))＝Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(2020))－Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(2020))－1＝…＝Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(2020))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(2020))－1＝Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(2021))－1.2．选BD.由组合数的性质，得Ceq\o\al(\s\up1(90),\s\do1(99))＋Ceq\o\al(\s\up1(89),\s\do1(99))＝Ceq\o\al(\s\up1(90),\s\do1(100))＝Ceq\o\al(\s\up1(10),\s\do1(100)).3．由Ceq\o\al(\s\up1(2x－1),\s\do1(8))＝Ceq\o\al(\s\up1(x＋3),\s\do1(8))得2x－1＝x＋3或2x－1＋x＋3＝8，解得x＝4或x＝2.答案：2或44．由组合数的性质Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n＋1))＝Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＋Ceq\o\al(\s\up1(m－1),\s\do1(n))可知，右边＝(Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(m))＋Ceq\o\al(\s\up1(n－1),\s\do1(m)))＋(Ceq\o\al(\s\up1(n－1),\s\do1(m))＋Ceq\o\al(\s\up1(n－2),\s\do1(m)))＝Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(m＋1))＋Ceq\o\al(\s\up1(n－1),\s\do1(m＋1))＝Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(m＋2))＝左边，右边＝左边，所以原式成立．性质“Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝Ceq\o\al(\s\up1(n－m),\s\do1(n))”的意义及作用【补偿训练】1.方程Ceq\o\al(\s\up1(x),\s\do1(14))＝Ceq\o\al(\s\up1(2x－4),\s\do1(14))的解集为()A．{4}B．{14}C．{4，6}D．{14，2}【解析】选C.因为Ceq\o\al(\s\up1(x),\s\do1(14))＝Ceq\o\al(\s\up1(2x－4),\s\do1(14))，所以x＝2x－4或x＋2x－4＝14，所以x＝4或x＝6.经检验知x＝4或x＝6符合题意，故方程Ceq\o\al(\s\up1(x),\s\do1(14))＝Ceq\o\al(\s\up1(2x－4),\s\do1(14))的解集为{4，6}．2．若1<k<n，那么与Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(n))不相等的是()A．eq\f(k＋1,n＋1)Ceq\o\al(\s\up1(k＋1),\s\do1(n＋1)) B．eq\f(n,k)Ceq\o\al(\s\up1(k－1),\s\do1(n－1))C．eq\f(n,n－k)Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(n－1)) D．eq\f(k－1,n－1)Ceq\o\al(\s\up1(k－1),\s\do1(n－1))【解析】选D.Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(n))＝eq\f(n！,（n－k）！k！)，A中，eq\f(k＋1,n＋1)Ceq\o\al(\s\up1(k＋1),\s\do1(n＋1))＝eq\f(k＋1,n＋1)eq\f(（n＋1）！,（n－k）！（k＋1）！)＝eq\f(n！,（n－k）！k！)，B中，eq\f(n,k)Ceq\o\al(\s\up1(k－1),\s\do1(n－1))＝eq\f(n,k)eq\f(（n－1）！,（n－k）！（k－1）！)＝eq\f(n！,（n－k）！k！)，C中，eq\f(n,n－k)Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(n－1))＝eq\f(n（n－1）！,（n－k）（n－k－1）！k！)＝eq\f(n！,（n－k）！k！)，D中，eq\f(k－1,n－1)Ceq\o\al(\s\up1(k－1),\s\do1(n－1))＝eq\f(k－1,n－1)eq\f(（n－1）！,（n－k）！（k－1）！)＝eq\f(（n－2）！,（n－k）！（k－2）！)，故D与Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(n))不相等．3．Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(17),\s\do1(20))的值为________．【解析】原式可变为Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(17),\s\do1(20))，由Ceq\o\al(\s\up1(r),\s\do1(n))＋Ceq\o\al(\s\up1(r－1),\s\do1(n))＝Ceq\o\al(\s\up1(r),\s\do1(n＋1))，得Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))，Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))，…，所以Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(17),\s\do1(20))＝Ceq\o\al(\s\up1(17),\s\do1(21))＝5985.答案：5985课堂检测·素养达标1．Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))－Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝()A．9B．12C．15D．3【解析】选A.由题意得Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))－Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝4×3－eq\f(3×2,2)＝12－3＝9.2．若Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(m))＝6Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(m))，则m等于()A．9B．8C．7D．6