2024初中数学竞赛七年级竞赛辅导讲义专题10 多变的行程问题含答案

2024初中数学竞赛七年级竞赛辅导讲义专题10多变的行程问题

阅读与思考

行程问题的三要素是：距离（5）、速度（I，）、时间（f）,基本关系是：S=Vt,V=-,t=~.

tV

行程问题按运动方向可分为相遇问题、追及问题；按运动路线可分为直线形问题、环形句题等.其

中相遇问题、追及问题是最基本的类型，它们的特点与常用的等量关系如下：

1.相遇问题

其特点是：两人（或物）从两地沿同一路线相向而行，而最终相遇，一般地，甲行的路程十乙行的

路程=两地之间的距离.

2.追及问题

其特点是：两人（或物）沿同一路线、同一方向运动，由于位置或者出发时间不同，造成一前一后，

又因为速度的差异使得后者最终能追及前者.一般地快者行的路程一慢者行的路程=两地之间的距离.

例题与求解

【例1】在公路上，汽车A、B、C分别以80千米/时，70千米/时，50千米/时的速度匀速行驶，

4从甲站开往乙站，同时，8、C从乙站开往甲站.A在与B相遇后两小时又与C相遇，则甲、乙两

站相距千米.

（“希望杯”竞赛试题）

解题思路：本例为直线上的相遇问题，可依据时间关系列方程.

【例2】如图，某人沿着边长为90来的正方形，按A-B-C-O-A…方向，甲从4以65

米/分的速度，乙从B以72米/分的速度行走，当乙第一次追上甲时在正方形的（）.

A.A3边上B.D4边上C.BC边上D.CO边上

（安徽省竞赛试题）

解题思路：本例是一个特殊的环形追及问题，注意甲实际在乙的前面3x90=270（米）处.

【例3】亚州铁人三项赛在徐州市风光秀丽的云龙湖畔举行.比赛程序是：运动员先同时下水游泳

15千米到第一换顶点，在第一换顶点整理服装后，接着骑自行车40千米到第二换项点，再跑步10千

米到终点.下表是亚洲铁人三项赛女子组（19岁以下）三名运动员在比赛中的成绩（游泳成绩即游泳所

用时间，其他类推，表内时间单位为秒）.

第一换项点第二换项点

运动员号码游泳成绩白行车成绩长跑成绩

所用时间所用时间

1911997754927403220

19415031105686573652

1951354745351443195

（1）填空（精确到0.01）：

第191号运动员骑自行车的平均速度是__________米/秒；

第194号运动员骑自行车的平均速度是米/秒：

第195号运动员骑自行车的平均速摩是__________米/秒；

（2）如果运动员骑自行车都是匀速的，那么在骑自行车的途中，191号运动员会追上195号或194

号吗？如果会，那么追上时离第一换项点有多少米（精确到001）?如果不会，为什么？

（3）如果运动员长跑也都是匀速的，那么在长跑途中这三名运动员有可能某人追上某人吗？为什

么？

（江苏省徐州市中考试题）

解题思路：从表格中获取信息，注意速度、时间的比较是解本例的关键.

【例4】一小船由A港到B港顺流需行6小时，由B港到A港逆流需行8小时.一天，小船从早

晨6点由A港出发顺流行至B港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，1小时后找到救生圈，

问：

（1）若小船按水流速度由A港漂流到B港时需多少小时？

（2）救生圈是何时掠人水中的？

（天津市中考试题）

解题思路：要求小船按水流速度由A港漂流到8港时所需时间，需求两港间的距离及水流速度，考

虑增设辅助未知数.

【例5】某乡镇小学到县城参观，规定汽车从县城出发于上午7时到达学校后，接参观的师生立即

HI发去县城，由于汽车在赴校的途中发生故障，不得不停车修理，学校师生等到7时10分，仍未见汽

车来接，就步行走向县城.在行进途中遇到了已经修理好的汽车，立即上车赶赴县城，结果比预定到达

县城的时间晚了半小时，如果汽车的速度是步行速度的6倍，汽车在途中排除故障花了多少时间？

（山东省中考试题）

解题思路：从题中比原定时间晚到半小时入手，选好未知量，找出汽车所用时间与师生步赶所用时

间之间的关系.依时间、速度和路程之间的关系列出方程.

【例6】甲、乙两人分别从A,8两地同时出发，在距离8地6千米处相遇，相遇后两人又继续

按原方向、原速度前进，当他们分别到达8地、A地后，立刻返回，又在距A地4千米处相遇，求4,

8两地相距多少千米？

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

解题思路：本例有多种解法，可借助图形辅助分析.

能力训练

A级

1.某人以4千米/小时的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米/小时的速度从乙地返回甲地，那

么某人往返一次的平均速度是千米/小时.

2.汽车以每小时72千米的速度笔直地开向寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，4秒后听到回响，已

知声音的速度是每秒340米，听到回响时汽车离山谷的距离是__________米.

（江苏省竞赛试题）

3.甲、乙两地相距70千米，有两辆汽车同时从两地相向出发，并连续往返于甲、乙两地，从甲地

开出的为第一•辆汽车，每小时行30千米，从乙地开出的为第二辆汽车，每小时行40千米.当从甲地开

出的第一辆汽车第二次从甲地出发后与第二辆汽车相遇，这两辆汽车分别行驶了千米和

__________千米.

（武汉市选拔赛试题）

4.上午9时整，时计与分针成直角，那么下一次时针与分针成直角的时间是（）.

58

A.9时30分B.10时5分C.10时5—分D.9时32—分

1111

（“希望杯”竞赛试题）

5.甲、乙两人同时从4地到8地，如果乙的速度y保持不变，而甲先用2u的速度到达中点，再用

1

7u的速度到达B地，则下列结论中正确的是（).

A.甲、乙同时到达B地B.甲先到8地

C.乙先到8地D.无法确定谁先到

6.甲与乙比赛登楼，他俩从36层的长江大厦底层出发，当甲到达6楼时，乙刚到达5楼，按此速

度，当甲到达顶层时，乙可到达（）.

A.31层B.30层C.29层D.28层

7.如图，甲、乙两动点分别从正方形A3CO的顶点A,C同时沿正方形的边开始移动.甲点依顺

时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们的第2007次相遇在边

（）上.

A.ABB.BCC.CDD.DA

（湖北省黄冈市竞赛试题）

8.甲、乙两列火车同时从相距120千米的两地相向行驶，甲速为每小时84千米，乙速为每小时60

千米，则当两车相距24千米时行驶的时间为（）.

A.40分钟B.1小时C.1小时或20分钟D.40分钟或1小时

9.有一个只允许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过9人，一天王老师到达道口时，

发现由于拥挤，每分钟只能有3人通过道口，此时自己前面还有36人等待通过（假定先到的先过，王

老师过道口的时间忽略不计）.通过道口后，还需7分钟到达学校：

（1）此时，若绕道而行，要15分钟到达学校，从节省时间考虑，王老师应绕道去学校，还是选择

通过拥挤的道口去学校？

（2）若在王老师等人的维持下，几分钟后，秩序恢复正常（维持秩序期间，每分钟仍有3人通过

道口），结果王老师比拥挤的情况下提前了6分钟通过进口，求维持秩序的时间.

（江西省中考试题）

6.某商场有一部自动扶梯匀速由下而_L运动，甲、乙二人都急于，楼办事，囚此在乘扶梯的同时

匀速登梯，甲登了55级后到达楼上，乙登梯速度是甲的2倍（单位时间内乙登楼级数是甲的2倍），他

登了60级后到达楼上，那么，由楼下到楼上的自动扶梯级数为.

（北京市竞赛试题）

7.甲、乙两同学从400米的环形跑道上的某一点背向出发，分别以每秒2米和每秒3米的速度慢

跑.6秒钟后，一只小狗从甲处以每秒6米的速度向乙跑，遇到乙后，又从乙处以每秒6米的速度向甲

跑，如此往返直至甲、乙第一次相遇，那么小狗共跑了米.

8.某风景区的旅游线路如右图所示，其中A为入口处，B,C,。为风景点，E为三岔路的交汇

点，图中所给的数据为相应两点间的路程（单位：千米）.某游客从A处出发，以每小时2千米的速度

步行游览，每到一个景点逗留的时间均为半小时.

（1）若该游客沿跨线“A-。一。一E-A”游览回到A处，共用去3小时，求C,E两点间

的路程.

（2）若该游客从A处出发，打算在最短时间内游完三个景点并返回A处（仍按上述步行速度和在

景点的逗留时间，不考虑其他因素），请你为他设计一个步行路线，并对路线设计的合理性予以说明.

（江苏省竞赛试题）

9.某人沿电车路行走，每12分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来，假定此

人和电车都是匀速前进，则电车是每隔多少分钟从起点站开出一辆？

（湖北省黄冈市竞赛试题）

10.如图，甲、乙两人分别在A,8两地同时相向而行，于E1处相遇后，甲继续向3地行走，乙

则休息了14分钟，再继续向A地行走，甲和乙到达B和A后立即折返，仍在E处相遇，己如甲每分钟

行走60米，乙每分钟行走80米，则A和8两地相距多少千米？

AEB

।__________।_______________।

甲一一乙

（“华罗庚金杯”竞赛试题）专题10多变的行程问题

例11950提示:设甲乙两站相距S千米，则=一+2=——，解得S=1950千米

80+7080+50

例2B提示:乙第一次追上甲用了」分钟.72x4"=7x36（）+2?x9（）

777

例3⑴8.127.037.48

（2）191号能追上194号,这时离第一换项点有24037.96米⑼号不会追上195号

（3）从笫二换项点出发时,195号比191号提前216秒,口长跑速度比191号快，所以195号在长跑

时始终在191号前面，而191号在长跑时始终在194前面，故在长跑时，谁也追不上谁.

例4⑴设小船在静水中的速度为a,水流的速度为力,由题意，得6m+〃尸8小”解得a=7A.故小船按水流

速度由

“6（67+/?）6（7Z?+Z?）48b/cIQ

A港漂流到B港所需的时间为二-----=---------=——=48小时

hhb

（2）设小船行驶x小时后救生圈掉入水中，则小船找到救生圈即小船与救生圈相遇，他们行驶的路

程如图所示：

.

:效明■j---------------61小船J

（il）XA，--------

rfr）XI

由题意得（67+1）匕+小6冈=（6/）（白+〃）,将〃=7〃代入上式，解得x=5故救生圈是在上午II点掉入水中的.

例5如图，设点A为县城所在地，点B为学校所在地，但C为师生途中与汽车相遇之处.汽车晚到的的半

小时一方面是因晚出发了10分钟,另一方面是从B到C由于步行代替乘车而多花了20分钟.若设汽车从

C到B需要X分钟，则师生从B到C应花（卢20）分钟，由于汽车日C到B与师生从B到C的路程相等由时

间与速度成反比可得」一=」解得I

x+206

♦♦B

C

故排除故障花的时间为4x2+30=38分钟

例6解法一:第一次相遇时，甲乙两人所走的路程之和，正好是A4两地相距的路程，即当甲乙合走完44

间的全部路程

（甲M四（乙）

时，乙走了6千米.第二次相遇时，两人合走的路程恰为两地间距离的3倍（如图，图中实线表示甲走的

路程，虚线表示乙走的路程），因此，这时乙走的路程应为6x3=18千米.考虑到乙从B地走到A地后

又返回了4千米，所以A,B两地间的距离为18-4=14千米.

解法二:甲、乙两人同时出发，相向而行，到相遇时两人所走时间相等，又因为两人都做匀速运动，应有:

两人速度之比等于他们所走路程之比，且相同时间走过的路程亦成正比例.到第一次相遇，甲走了（全程

-6）千米，乙走了6千米;到第二次相遇，甲走了（2x全程-4）千米，乙走了（全程+4）千米.

设全程为S,则可列方程无9二兰二士.

6S+4

解得加=14,S2=0（舍去）.

故A,B两地相距14千米.

解法三:设全程为S千米，甲、乙两人速度分别为h为v,

工色①

则1%%

J2s-4S+4小

------=------②

匕打

①・②得-9=)一,解得S=14或5=0(舍去)

2S-4S+4

故A.B两地相距14千米.

A级

1.4.82.640

3.150200提示：设第一辆车行驶了(140十X)千米，则第二辆车行驶了

(l40+x)xg=140+(46|+qJ千米，由题意得

A+f46-+-x|=70,解得x=10.

I33J

4D提示:因为分针每分钟转6°,时针每分钟转(g),设两针从上午9时开始，工分钟后两针成直角，

由题意知61+90+(90-，二|二360解得工=32色.

I2)11

QVs

5C6.C提示：-=—=7.C8.D

S乙V乙4

9.(1)因至+7=19>15，故王老师应选择绕道去学校.

3

⑵设维持秩序时间为t,则+葛3)=6,解得t=3(分钟).

10.设此人从家里出发到火车开车的时间为X小时，由题意得30(x15、(15、

--=18x+—,解得x=l.

60)(60)

'15](15)

30xx----30x1--

、60；160J

此人打算在火车前10分钟到达火车站，骑摩托车的速度应为——_10=_10=271

X

.60—60

时.

11.设火车的速度为X米/秒，由题意得(・1)x22=(x-3)x26,解得k14.

故火车的车身长为(14-1)x22=286米.

B级

b+a

1------

b-a

27.5提示：先求出甲、乙两车速度和为料=20米/秒.

10

9()

3.20或3

3

4.D提示:设三个等长路段的路程均为S,则平均速度为

3S

SSS

——F---1----

H%匕

5D提示:考虑两船同时先顺水航行的情形，设想乙船在静水中的速度接近水流的速度，则它将迟迟难以

返航.而甲先返回A港，类似的可考虑两船同时先逆水航行的情形.

6667.444

8(l)CE=0.6千米.(2)基本的行走路线有两条:一是A—D—C—B—ETA(或A—E-B—C-D—A)，总时

间为4小时;二是A—D—C—ETB—E—A(或E-C-D-A),总时间为3.9小时.

9设电车速度为九人速为X,目车每隔，分钟开出一辆，则每两辆电车之间的距离W，对于迎面来的电

车，这个距离是人与电车共同走4分钟完成的，对于后面追上的电车，两辆电车之间的距离是电车在12

分钟追上起始时的距离，由题意得4u+4x=i〃=12u-12x,解得仁6分钟.

+4x7Y

10.AE:BE=60:80=3:4,设AE=3乂BE=4x,从而AB=7x(米).由题意得一----=—~~—+14,解得

6080

x=240,故AB=7户7x240=1680米.

专题11设元的技巧

阅读与思考

应用数学知识和方法解决实际问题是学习数学的重要目的之一.应用题联系实际，

反映现实生活中的数量关系，通过解应用题可以培养运用数学知识去分析和解决问题的能

力.

列方程解应用题，一般有审题、设元、布列方程、解方程、作答等几个步骤.恰当

地设元是列方程解应用题的关键步骤之一，常见的设元技巧有：

1.直接设元

题目要求什么量，就设什么量为未知数，或有几个要求的量，而设其中的某一个量

为未知数.

2.间接设元

即所没的不是所求的，适当地选择与题目要求的未知数有关的某个量为未知数，则

易找出符合题意的数量关系，从而列出方程.

3.辅助设元

有些应用题中隐含一些未知的常量，这些量对于求解无直接联系，但如果不指明这

些量的存在，则难求其解，因而需把这些未知的常量设为参数，作为桥梁帮助思考，这就

是辅助设元.

4.整体设元

有些应用题未知量太多而已知关系又少，如果在未知数的某一部分存在一个整体

关系，可设这一部分为一个未知数，这样就减少了设元的个数，这就是整体设元.

例题与求解

［例1］某编辑用0〜9这10个数字给一本书的各页标上页码，若共写了636个数

字，则该书有一页.

解题思路：依题意可知该书页码的数字组成有三种：一个数字、两个数字、三个

数字.一共有636个数字，可设直接未知数，列方程求解.

找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系是列方程解应用题又一关键.寻找

相等关系常用方法有：

①从关键词中寻找相等关系；

②利用基本公式寻找相等关系；

③利用不变量寻找相等关系；

④对一种“量”，从不同的角度进行表述（即计算两次），形成一种相等关系.

行程问题、工程问题、劳力分配问题、浓度问题、数字问题等是列方程解应用题

的基本类型，此外，还有趣味问题（如年龄、时钟等）、经济问题（如银行存款、销售利润

等），尽管形式多变，但是解题实质未变，需要我们用数学观点，理清数量关系，恰当设未

知数，准确列方程.

【例2】某服装厂生产某种定型冬装，9月份销售冬装的利润（每件冬装的利润=

出厂价一成本）是出厂价的25%,10月份将每件冬装的出厂价调低10%（每件冬装的成本

不变），销售件数比9月份增加80%,那么该厂10月份销售这种冬装的利润总额比9月份

的利润总额增长（）。

A.2%B.8%C.40.0%D.62%

（江苏省竞赛试题）

解题思路：设出与总额相关的量：出厂价、销售件数.

解决以实际生活为情景的应用题时，需要具备一定的优化意识和估算决策能力.

［例3］某音乐厅决定月初在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票

和零售票，其中团体票占总票数的二，若提前购票，则给予不同程度的优惠，在五月份内，

3

团体票每张12元，共售出团体票数的|；零售票每张16元，共售出零售票数的一半，如

果在六月份内，团体票按每张16元出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售票应

按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？

（北京市东城区中考试题）

解题思路：票款与票数、票价有关，故既要用字母表示六月份零售价，乂要用字

母表示总票数.

与商品利润相关的基本知识：

①利润率=X100%；

进货价

②利润=售出价一进货价；

③售出价=利润+进货价=进贷价X（1+利涧率）.

［例4］为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到

节水的目的，该市自来水收费价格见价目表.

价目表

每月用水量单价

不超过6/的部分2元//

超过3—不超出10—的部

4元/背

分

超出10万的部分8元//

注：水费按月结算.

若某居民1月份用水8人则应收水费2X6+4X（8-6）=20（元）.

（1）若该户居民2月份用水12.5则应收水费元.

（2）若该户居民3,4月份共用水15/6月份用水量超过3月份），共交水费44元，

则该居民3,4月份各用水多少立方米？

（江苏省扬州市中考试题）

解题思路：第（1）问须分段计费；第⑵问设3月扮用水量为x/,则4月份用水量为

（15-x）/,分两种情况进行讨论.

【例5】4属。三个微型机器人围绕一个圆形轨道高速运动，它们顺时针同时同

地出发后，力在2秒钟时追上8,2.5秒钟时追上C,当。追上8时，C和8的运动路程之

匕是3：2,问第1分钟时，力围绕这个圆形轨道运动了多少圈？

（“华罗庚金杯”竞赛试题）

解题思路：要充分运用问题中的等量关系，需设出48C三个微型机器人的速

度、圆形轨道长等多个未知数.

【例6】有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等），如果放

牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则B天吃完牧草.设每头牛每天吃草的

星是相等的，问：

（1）如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？

（2）要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？

（全国数学通讯赛试题）

解题思路：此题可采取设定多个间接未知数的解决方法.

能力训练

A组

1.光明中学七年级一、二、三班，向希望学校共捐书385本，一班与二班捐书的本数

之比为4：3,一班与三班捐书的本数之比为6：7,那么二班捐书______本.

（北京市“迎春杯”竞赛试题）

2.一个六位数1abcde的3倍等于abedel,则这个六位数为.

（黑龙江省竞赛试题）

3.某种电器产品，每件若以原定价的9.5折销售，可获利150元，若以原定价的7.5

折销售，则亏损50元.该种商品每件的进价为元.

（“希望杯”竞赛试题）

4.某出租汽车的车费是这样计算的：路程在4公里以内（含4公里）为10.40元；达

到4公里以后，每增加1公里加1.60元；达到15公里后，每增加1公里加2.40元.增

加不足1公里时按四舍五人计算.则乘坐15公里该种出租车应交车费一元.某乘客乘坐

该种出租车交了车费95.20元，则这个乘客乘该出租车行驶的路程为公里.（精确

到两位小数）

（“希望杯”邀请赛试题）

5.甲、乙两种茶叶，以（重量比）相混合制成一种混合茶，甲种茶叶的价格每千

克50元，乙种茶叶的价格每千克40元，现在甲种茶叶的价格上调了10版乙种茶叶的价

格下调了10%,但混合茶的价格不变，则等于（）.

A.1:1B.5:4C.4:5D.5:6

（北京市竞赛试题）

6.某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米.按每立方米0.8

元收费；如果超过60立方米，超过部分接每立方米1.2元收费.己知某用户4月份的煤气

费平均每立方米0.88元，那么，4月份这用户应交煤气费（）.

A.60元B.66元C.75元D.78元

（全国初中数学联赛试题）

7.植树节时，某班平均每人植树6棵，如果只由女同学完成，每人应植树15棵；如

果只由男同学完成，每人应植树（）棵.

A.9B.10C.12D.14

（四川省竞赛试题）

8.某服装商贩同时卖出两套服装，每套均卖168元，以成本计算，其中一套盈利20%,

另一套亏本20%则这次出售中商贩（）.

A.不赚不赔B.赚37.2元C.赚14元D.赔14元

9.从两块重量分别为6千克和4千克且含银的百分数不同的合金上切下重量相等的两

块，把所切下的每块分别和另一块切剩的合金放在一起，熔炼后，两块合金的含银的百分

数相同，求所切下的合金的重量是多少？

10.陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处王老师交账说：“我买了两种

书，共105本，单价分别为8元和12元，买书前我领了15。。元，现在还余418元，”王老

师算了一下，说：“你肯定弄错了

（1）王老师为什么说他弄错了？试用方程的知识加以解释；

（2）陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本，但笔记本

的单价已模糊不清，只能辨认出应是小于10的整数，笔记本的单价可能为多少元？

（四川省资阳市中考试题）

B级

1.一幢楼房内住有6家住户，分别姓赵、钱、孙、李、周、吴，这幢楼住户共订有人

B,C,D,E,尸六种报纸，每户至少订了一种报纸，已知赵、钱、孙、李、周分别订了其

中2,2,4,3,5种报纸.而4B,QD,£五种报纸在这幢楼里分别有1,4,2,2,2家

订户，那么吴姓住户订有一种报纸，报纸产在这幢楼里有一家订户.

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

2.某人购买钢笔和圆珠笔各若干支，钢笔的价格是圆珠笔价格的2倍，付款时，发现

所买两种笔的数量是颠倒了，因此，比计划支出增加了50%,则此人原计划购买钢笔与圆

珠笔数量的比为.

（天津市竞赛试题）

3.为使某项工程提前20天完成任务，需将原定工作效率提高25%,则原计划完成这

项工程需要_______天.

（“希望杯”邀请赛试题）

4.右边算式中，每个汉字代表1个数字，不同的汉字代表不同的数字，已知“神”一

。,那么被乘数是.

神舟十号飞天

x神

飞天神舟五号

5.一艘轮船从月港到6港顺水航行，需6小时，从6港到力港逆水需8小时，若在

静水条件下，从力港到6港需（）小时.

A.7B.7-C.6-D.6-

272

（五城市联赛试题）

6.某商品连续两次提价10%,又提价5乐要恢复原价，至少应降价X％（x为整数），则

4=（）.

A.20B.21C.22D.23

7.如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已

知中间最小的一个正方形的边长为1,那么这个长方形色块图的面积为多少？

（山东省济南市中考试题）

8.自行车轮胎，安装在后轮上，只能行驶3000就就要报废，安装在前轮上，则行驶

5000筋才报废.为使一对轮胎能在行驶尽可能多的路程后才报废，在自行车行驶一定路

程后，就将前后轮调整，这样安装在自行车上的一对轮胎最多可行驶多少千米？

（《时代学习报》数学文化节试题）

9.山脚下有一池塘，ill泉以固定的流量（即单位时间里流入池中的水量相同）不停地

向池塘内流淌，现池塘中有一定深度的水，若用一台.4型抽水机，1小时后正好能把池塘

中的水抽宪，若用两台力型抽水机20分钟正好把池塘中水抽完。问若用三台/型抽水机同

时抽水，则需要多长时间恰好把池塘中的水抽完？

（江苏省竞赛试题）

专题11设元的技巧

例1248提示:设该书有X页，则可列方程（x-99）x3+90x2+9=636,解得x=248页.

例2B提示:设9月份每件冬装的出厂价为x元，9月份销售冬装m件，则

0.15xx1.8〃?一0.2547〃

---------------------------------=0/0・

0.25x〃z

例3设总票数为。张，六月份零售票应按每张1元定价，

748641

则一a+—a——a+—ax,解得x=19.2元.

53156

例4（1）应收水费2、6+4乂（10-6）+8、（12.5—10）=48元.

⑵设三月份用水量为x",则四月份用水量为(i5・x)nr?.若x<6,15-x<10时，则

2x+[2x64-4(15-x-6)]=44,解得，x=2(舍去)；若x<6,15-x>10时，则

2X+[2X6+4X4+8(15-A:-I0)]=44,解得x=4；

若x>6,由题意知x<10,则15-xvlO,则2x6-4x(x-6)+12x6+4(15—工-〃)]=44,无解.

所以三月份用水4加3,四月份用水ll//.例542圈提示：设4,B,C三个微型机器人的速度分

S55

-s__s_

-2,2

别为u,v和圆形轨道周长是S,『

w,-VM2-2.5

3S

有

代

中

又

-入757S

22---V

②.解①和②，得得〃=To,Iox60=42S.

故第一分钟时，A围绕这个圆形轨道运动了42圈.

例6(1)设牧场原有草量为〃，每天生长出的草量为儿每头牛每天吃草量为c,16头牛x天吃完草，由

题意得：

。+68=24x6c•①

«〃+80=21x8c②.

a+bx=16ct③

②一①得〃=12。④，

③一②得(x—8)b=(16.r-168)c⑤，

将④代人⑤得(”―8)・12c=(16x-168)c,解得x=18.

(2)设至多放牧)，头牛，牧草才永远吃不完，则有c)W),即每天吃的草不能多于生长的草，)4=12.

A级

199

2.142857提示：设abcde=%,则3(100000+x)=/0x+l,解得％=42857.故这个六位数为142857.

9575

3800提示：设该商品的原定价为x元，由题意有：TQX—I50=TT-X4-50,解得X=1000.

故该商品每件的进价为1OOOx-j^+50=8007E.

430.4043提示：(1)注意，到15千米时刚好跳表，所以要加上2.4元，不要漏了.(2)设所行路程

为x公里，则2.40x。-15)+28.00=95.20.

5.C6.B

7.B提示：设分别有男、女同学x,y人,则15y=6(x+y),x=|y.则男同学完成每人应植树6(x+yHx

=10棵.

8.D

/>X+(/Lx)a

9.设所切下的合金重量为x千克，重6千克，4千克的合金含银的百分数分别为〃，伙a处),

6

at+(4—x)6

=4解得x=2.4.

10.(1)设单价为8元的课外书为x本，由8x+l2(IO5-x)=1500-418,解得x=44.5(不合题意)，所

以陈老师肯定弄错了.

⑵设单价为8元的课外书为)，本，笔记本的单价为。元，则8)，+(105—)，)xl2=1500—418—〃,即178

+o=4.y,178+a应被4整除，«=2,4,6,8,经讨论。=2或6.

B级

I.16提示：设吴姓住户订有工种报纸，报纸尸在这幢楼里有)，家订户，其中x,y为启1,.怯6的

整数，由题意得2+2+4+3+5+x=1+4+2+2+2+y,解得x=l,y=6.

2.1：4提示：设原计划贿买钢笔x支，圆珠笔)，支，圆珠笔的价格为k元，由题意得(2kx+ky)x(l

+50%)=2心，+丘，解得y=4x.

3.100

4.307692提示：设“神舟十号”=A,“飞天”=4则3x(1004+8)=100004+A,得234=769&又

(23,769)=1,故/3=23〃，A=769〃，〃为自然数且29".经讨论〃=4可行，从而4=3076,5

=92.

5.C提示：设A港到8港路程为5,静水速度和水流速度分别为V船，V水.则

SSI

v=6……①，v，­/=8……②，则6(丫制+丫水)=8(丫儡一"水)，得丫嫡=7丫水.把V水=:yV

船代入①中'得—=6,故*=6*

%+飙47

6.C

7.143提示：设C,。的边长为X,贝ijE,F,6的边长分别为％十1,x十2,2x~1,由题意得(x+1)

+(x+2)=x+(2.x—1),解得x=4.也可用x+3表示出8的边长，则X+3=2A—1,更易求得X

=4.

8.设自行车行驶了xkm后，互换前、后轮胎再行驶，致使两只轮胎同时报废，因此，前轮胎还可行驶

3

(5000—x)km.后轮胎还可行驶(3000—x)km.当前后轮胎互换后，还可行驶，并有(5000—x)x§=(3000

-A)X|.解此方程，有《一,)x=2000,解得X=1875.这就是说，当自行车行驶了1875km后，互

换前后轮胎，这样还可行驶(5(X)0—1875)x,=1875km.故最多可行驶3750km.

9.设流水的速度为工米3/分，池塘原有水)，米3,每台A型抽水机抽水效率为Z米3/分，三台A型抽

水机需t分钟把池塘中水抽完，由题意得

>'+60.v=60z①

<>'+20.v=40z②.

.y+/x=3/2③

②一①，得z-=2-x…④

③一②，得(20-t)x=(40-3/)