2024-2025学年山东省青岛市四区（城阳、黄岛、即墨、胶州）高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省青岛市四区（城阳、黄岛、即墨、胶州）高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知数列{an}的通项公式为anA.摆动数列 B.递减数列 C.递增数列 D.常数数列2.已知数列{an}的前n项和为Sn=A.18 B.17 C.16 D.153.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设A=“第1枚正面朝上”，B=“第2枚正面朝上”，则A与B的关系为(

)A.相互独立 B.互为对立 C.互斥 D.相等4.一组数据按从小到大的顺序排列为1，3，4，x，6，7，9，若该组数据的中位数与平均数相同，则该组数据的第60百分位数是(

)A.3 B.4 C.5 D.65.已知数列{an}为各项均为正数的等比数列，a2和a6是方程xA.52 B.3 C.72 6.已知事件A，B互斥，A，B都不发生的概率为14，且P(A)=3P(B)，则P(A−A.13 B.23 C.7167.已知{an}为等差数列，若a4+aA.33 B.3 C.−8.若4个数据的平均值为6，方差为5，现加入数据8和10，则这6个数据的方差为(

)A.73 B.133 C.173二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某地区组织高中创新作文大赛，从5000名考生的参赛成绩中随机选取100个成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中90分以上视为优秀，则(

)A.a的值为0.030 B.抽取的考生中成绩在区间[80,90)有15人

C.5000名考生中约有10名成绩优秀 D.估计考生成绩的平均分小于中位数10.已知数列{an}满足a1A.数列{an}为等差数列 B.an+an+2<2an+111.连续两次抛掷同一颗骰子，记第一次向上的点数为p，第二次向上的点数为q，设A=[pq]，其中[x]表示不超过x的最大整数，则A.P(p>q)=12 B.P(p+q=7)=16

C.事件p+q=7与A=3互斥 D.事件三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在数列{an}中，a1=1，a13.袋中装有形状大小完全相同的5个小球，其中2个白球，2个红球，1个黄球.先后从中不放回的抽取两个小球，若每抽到一个白球、红球、黄球分别得1、0、−1分，则两次得分之和为0分的概率为______．14.质点每次都在四边形ABCD的顶点间移动，每次到达对角顶点的概率是它到达每个相邻顶点概率的两倍，若质点的初始位置在A点，则经过2次移动到达C点的概率为______，经过n次移动到达C点的概率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=1，{Snan}是公差为12的等差数列．

(1)求数列{an16.(本小题15分)

已知空气质量指数(AQI)不超过100为“优良”等级，某市统计了40天的空气质量指数，并将数据整理如图表：空气质量指数(AQI)频数(天)频率0≤x<2040.1020≤x<4060.1540≤x<60mt60≤x<80n0.2580≤x<10080.20100≤x<12040.10合计401.00请根据以上信息，解答以下问题：

(1)直接写出m，n，t的值，并把频率分布直方图补充完整；

(2)估计该市这40天空气质量指数(AQI)的平均数；

(3)在选取的样本中，从空气质量指数(AQI)在区间[80,120)的两组指数中按分层抽样抽取6个，再从这6个中抽取2个，求这2个空气质量指数都是“优良”等级的概率．17.(本小题15分)

已知数列{an}的首项a1=1，且满足an+1=an2+an．

(1)求证：数列{1a18.(本小题17分)

甲乙两支足球队进入某次杯赛决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过点球大战决出冠军.现假定甲队在主场获胜的概率为p，平局的概率为p2，其中0<p<1；甲队在客场获胜和平局的概率均为p2；点球大战甲队获胜的概率为p，且不同对阵的结果互不影响．

(1)若甲队先主场后客场，且p=12，

(i)求甲队通过点球大战获得冠军的概率；

(ⅱ)求甲队获得冠军的概率；

(2)除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过点球大战决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为p2，平局的概率为19.(本小题17分)

已知数列{an}满足0≤a1<a2<…<an，(n≥3,n∈N∗)，且对于每个1≤i≤j≤n，至少有一个ai+aj或aj−ai仍是{an}中的项．

(1)若n=3，a2=3，求a1和参考答案1.A

2.B

3.A

4.D

5.C

6.C

7.B

8.C

9.AD

10.ACD

11.BC

12.an13.31014.18

115.解：(1)由a1=1，{Snan}是公差为12的等差数列，可得Snan=1+12(n−1)=n+12，

当n=2时，a1+a2=32a2，解得a2=2，

由Sn=n+12an，当n≥2时，Sn−1=n2an−1，

两式相减可得an=16.解：(1)由题意n=40×0.25=10，m=40−(4+6+10+8+4)=8，t=840=0.20，补充直方图如下：

(2)由直方图得，该市这40天空气质量指数(AQ1)的平均数为：

10×0.10+30×0.15+50×0.20+70×0.25+90×0.20+110×0.10=62；

(3)由题意，[80,100)与[100,120)得频数之比为2：1，

所以区间[80,120)的两组指数中按分层抽样抽取6个，区间[80,100)中有4个，区间[100,120)中有2个，

“优良”等级为区间[80,100)中的4个数据记为1，2，3，4，区间[100,120)中的2个数据记为a，b，

从这6个抽取2个所有可能的情况为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，(1,a)，

(1,b)，(2,a)，(2,b)，(3,a)，(3,b)(4,a)，(4,b)，(a,b)，共15种情况，

其中空气质量指数都是“优良”等级有6种，

故这2个空气质量指数都是“优良”等级的概率为617.证明：(1)由a1=1，an+1=an2+an，可得1an+1=1+2an，

即有1an+1+1=2(1an+1)，

则数列{1an+1}是首项和公比均为2的等比数列；

(2)由(1)18.解：(1)(i)记甲队通过点球大战获得冠军为事件A，

则事件A包含甲队主胜客负、主负客胜、主平客平，然后点球获胜，

∴甲队通过点球大战获得冠军的概率为：

P(A)=[p(1−p)+(1−32p)⋅12p+12p⋅12p)]⋅p=32p2(1−p)，

∵p=12，

∴P(A)=32×14×12=316，

∴甲队通过点球大战获得冠军的概率为316．

(ii)记甲队获得冠军为事件B，

事件B包含甲队点球获胜、主胜客胜、主胜客平、主平客胜，

∴甲队获得冠军的概率为：

P(B)=32p2(1−p)+p⋅12p+p⋅12p+12p⋅12p=19.解：(1)由题知