湖南省部分学校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷 含答案

2024-2025学年湖南省联考高二（上）期中考试数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x<3}，B={x∈N|−3<2−x<3}，则A∩B=(

)A.{−1,0,1,2} B.{1,2} C.{0,1,2} D.{0,1,2,3}2.双曲线y2100−xA.y=±110x B.y=±1100x3.已知角α的终边不在坐标轴上，且2sin2α=sinα，则A.−78 B.78 C.−784.阿基米德在其著作《关于圆锥体和球体》中给出了一个计算椭圆面积的方法：椭圆长半轴的长度、短半轴的长度和圆周率π三者的乘积为该椭圆的面积.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面积为2π，F1，F2为椭圆C的两个焦点，PA.3 B.2 C.255.设函数f(x)=ax−2,x≤1lnx,x>1.若f(x)在R上单调递增，则aA.(0,+∞) B.(0,2] C.(−∞,2] D.(0,3]6.已知抛物线C:y2=16x的焦点为F.点A(2,1)，P是C上一个动点，则|PF|+|PA|的最小值为A.4 B.5 C.6 D.87.刍甍是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体.现有一个刍甍如图所示，底面BCDE为矩形，AF//平面BCDE，△ABE和△CDF是全等的正三角形，BC=3，BE=2，∠ABC=π3，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为(

)

A.1326 B.1313 C.8.已知A(2,0)，B(10,0)，若直线tx−4y+2=0上存在点P，使得PA⋅PB=0，则t的取值范围为A.[−3,215] B.[−215.3]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知直线l:(m+2)x+(3−m)y−5=0过定点P.则下列结论正确的是(

)A.P的坐标为(1,1)

B.当m=1时，l在y轴上的截距为52

C.若l与直线6x+y+3=0垂直，则m=3

D.点P在圆x10.已知函数f(x)=2sin(4x−π3A.点(π12,0)是f(x)图象的一个对称中心

B.f(x)的单调递增区间为−π24+kπ,5π24+kπ，k∈Z

C.f(x)在(−π12,π6]上的值域为11.若E∉平面γ，F∈平面γ，EF⊥平面γ，则称点F为点E在平面γ内的正投影，记为F=tγ(E).如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，BC=2AD，AD⊥AB，P，N分别为AA1，CC1的中点，DQ=3QA.若A1N=2A1Q−2A1P+μA1B，则μ=1

B.存在点H，使得H三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a与b的夹角为π3，|a|=1，|b|=4，则a13.甲、乙两人从九寨沟、峨眉山和青城山这三个景点中各选择其中一个景点游玩，已知甲、乙两人选择三个景点游玩的概率分别是13.16，12和14，114.已知F1，F2分别是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过点F2且斜率为2的直线与C的一条渐近线在第四象限相交于点M，四边形四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)求角A:(2)若a=3，求△ABC的面积的最大值.16.(本小题12分)已知直线l:mx+y−6m=0，圆M:(x−1(1)若m=12，求直线l截圆M(2)已知直线l过定点P.若过点P作圆M的切线，求点P的坐标及该切线方程.17.(本小题12分)已知双曲线C:x2a2(1)求双曲线C的方程.(2)过双曲线C的右焦点F作斜率为12的直线l，l与双曲线C交于A，B两点，求(3)若M，N是双曲线C上不同的两点.且直线MN的斜率为14，线段MN的中点为P，证明：点P在直线x−2y=0上.18.(本小题12分)如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1(1)证明：BD⊥平面AC(2)求直线DD1与平面BC(3)棱BC上是否存在一点P，使得二面角P−AD1−D的余弦值为211?若存在，求线段

19.(本小题12分)若将任意平面向量EF=(x,y)绕其起点E沿逆时针方向旋转α角，得到向量EK=(xcosa−ysinα,xsina+ycosα)，则称点F绕点E逆时针方向旋转α角得到点K.(1)求椭圆C的标准方程.(2)已知M，N是椭圆C长轴的两个顶点，P，Q为椭圆C上异于M，N且关于y轴对称的两点.若直线MP与直线NQ交于点T，证明点T在某定曲线上，并求出该曲线的方程.(3)过椭圆C的上焦点作平行于x轴的直线m，交椭圆C于A，B两点，D是抛物线Γ:y=29x2上不同于点A，B的动点.若直线DA与椭圆C的另一个交点为G，直线DB与椭圆C的另一个交点为H，试问直线HG是否过定点?若是，求该定点的坐标;答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】本题考查交集运算，属于基础题.

先根据题意求出集合B，再求解A∩B即可.【解答】

解：因为B={x∈N|−1<x<5}={0,1,2,3,4}，

所以A∩B={0,1,2}.

故选：C.2.【答案】C

【解析】【分析】本题考查双曲线的渐近线，属于基础题.

根据双曲线的性质即可求解.【解答】

解：由题意得双曲线y2100−x2=1的a=10，b=1，

渐近线方程为3.【答案】A

【解析】【分析】本题考查二倍角公式，属于基础题.

根据二倍角正弦公式与已知求出cosα，再根据二倍角余弦公式进行求解即可【解答】

解：因为2sin2α=sinα，所以4sinαcosα=sinα，

因为角α的终边不在坐标轴上，所以4.【答案】D

【解析】【分析】本题考查椭圆的定义，椭圆的焦距，属于基础题.

先通过|PF1|+|PF2|=4，确定a【解答】

解：根据题意可得abπ=2π，则ab=2，

因为|PF1|+|PF2|=2a=4，所以a=2，则b=1，

所以椭圆5.【答案】B

【解析】【分析】本题考查利用分段函数的单调性求参，属于基础题.

根据分段函数的单调性列出不等式组，进行求解即可.【解答】

解：根据题意可得a>0a−2≤ln 1，解得0<a≤2.6.【答案】C

【解析】【分析】本题主要考查的是抛物线的定义及标准方程的应用，属于基础题.

利用抛物线的定义可求|PF|+|PA|的最小值.【解答】解：由题意得F(4,0)，准线为x=−4，点A在抛物线C的内部，

过点A作AB垂直于准线，垂足为B，过点P作PD垂直于准线，垂足为D，

则有|PF|+|PA|=|PD|+|PA|≥|AB|=4+2=6，

当且仅当P为AB与抛物线的交点时取得等号，

所以|PF|+|PA|的最小值为6.

故选：C.7.【答案】A

【解析】【分析】本题考查异面直线所成角，属于中档题.

根据平面向量的性质，得到AE⋅BD与|AE|，|BD|【解答】

解：依题意得AE=BE−BA，BD=BC+BE，

所以AE⋅BD=(BE−BA)⋅(BC+BE)

=BE⋅BC+8.【答案】B

【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，为中档题.

设P(x,y)，根据PA⋅PB=0，得出P的轨迹方程，再结合条件P为直线【解答】

解：设P(x,y)，则PA=(2−x,−y)，PB=(10−x,−y)，

因为PA⋅PB=0，所以(2−x)⋅(10−x)+(−y)2=0，

即(x−6)2+y2=16，所以点P在以(6,0)为圆心，4为半径的圆上，

又点P在直线9.【答案】ABD

【解析】【分析】本题主要考查直线系过定点问题，直线与直线的位置关系，点与圆的位置关系的判断，属于基础题．

根据直线与圆的相关知识对各选项逐个判断即可解出．【解答】解：由题意得直线l:(m+2)x+(3−m)y−5=0，即m(x−y)+2x+3y−5=0，

由x−y=02x+3y−5=0，解得x=1y=1，故A正确；

当m=1时，直线l为3x+2y−5=0，令x=0，y=52，

所以在y轴上的截距为52，故B正确；

由6(m+2)+3−m=0，解得m=−3，故C错误；

因为1+1+4−2>0，所以点P在圆x2+10.【答案】AC

【解析】【分析】本题主要考查了正弦函数的性质，属于中档题.

由已知利用正弦函数的对称性，单调性，值域，平移变换进行逐个判断.【解答】

解：因为f(π12)=2sin(4×π12−π3)=0，所以点(π12,0)是f(x)图象的一个对称中心，A正确；

令−π2+2kπ≤4x−π3≤π2+2kπ(k∈Z)，

则−π24+kπ2≤x≤5π24+kπ2(k∈Z)，故f(x)的单调递增区间为[−π24+kπ11.【答案】ABC

【解析】【分析】本题考查空间向量的共面定理，空间几何体中线线关系、线面关系的坐标表示，属于中档题.

先建系，对于选项A，先证Q，B，N，P四点共面，再计算μ的值；对于选项B，先找出K1，K2，可得AK2是平面α的一个法向量，结合HK1//平面α，则HK1⋅AK2=0，依此求出H【解答】解：对于A：因为ABCD−A1B1C1D1为直四棱柱，AD⊥AB，所以以A为坐标原点，AD，AB，AA1则A1(0,0,6)，Q(3,0,92)，B(0,6,0)，N(6,6,3)，P(0,0,3)，

故PQ=(3,0,32)，BN=(6,0,3)，

所以BN=2PQ，即Q，B，N，P四点共面，

若A1N=2A1Q−2A1P+μA1B，则2−2+μ=1，

解得μ=1，A正确；

对于B：过点H作HG⊥A1B，交A1B于点G，过点G作AB的垂线，垂足即K1，

过点A作A1B的垂线，垂足即K2，连接HK1，HK2，

由题意可得AH=6λ(0<λ<1)，

则H(0,0,6λ)，G(0,3−3λ,3+3λ)，K1(0,3−3λ,0)，K2(0,3,3)，

故AK2=(0,3,3)，HK1=(0,3−3λ,−6λ)，HK2=(0,3,3−6λ)，A1B=(0,6,−6)，

易得AK2是平面α的一个法向量，若HK1//12.【答案】2

；

【解析】【分析】本题考查向量的数量积运算，向量模的求解，为基础题.

根据向量数量积公式可求得a⋅b，由a【解答】

解：由题意得a⋅b=|a||b|⋅cosπ313.【答案】38【解析】【分析】本题考查了相互独立事件的概率计算，考属于基础题.

根据相互独立事件概率加法计算公式即可求得.【解答】解：甲、乙两人选择相同的景点游玩的概率为13×114.【答案】[【解析】【分析】本题考查双曲线的几何性质，属于中档题.

设直线MF2的方程y=2x−2c，与渐近线联立，求得M坐标，根据F1M//F2【解答】解：

设直线MF2的方程为y=2x−2c，

由y=2x−2cy=−bax，得M(2ac2a+b,−2bc2a+b)，

因为F1M//F2N，

所以15.【答案】解：(1)由3sinA−cosA=2，可得32sinA−12cosA=1，即sin(A−π6)=1，

因为A∈(0,π)，所以A−π6=π2，解得A=2π3【解析】本题考查正余弦定理，三角形面积公式，利用基本不等式求最值，属于中档题.

(1)利用辅助角公式可得sin(A−π6)=1，求出A；

(2)16.【答案】解：(1)当m=12时，直线圆M的圆心为M(1,0)，半径为3，则圆心M到直线l的距离为|1−6|则直线l截圆M所得的弦长为2(2)对于直线l，令x=6，则y=0，所以P(6,0)，由题意易得切线的斜率存在，

则可设直线PA(A为切点)的方程为y=k(x−6)，即kx−y−6k=0，所以|k−6k|解得k=±3故所求切线方程为y=±34(x−6)，即

【解析】本题考查直线与圆的位置关系，切线方程，圆的弦长公式，属于基础题.

(1)根据点到直线公式求解圆M的圆心M(1,0)到直线l的距离，随后利用弦长公式即可求解；

(2)首先求出直线过定点P的坐标为(6,0)，设直线PA(A为切点)的方程为y=k(x−6)，利用点到直线公式即可求解k，从而得解.17.【答案】(1)解：根据题意可得2a=42将点(4,1)的坐标代入x2a2−y故双曲线C的方程为x(2)解：由(1)得c=8+1=3则直线l的方程为y=设A(x1,y1)，B(x由韦达定理得x1+x所以|AB|=(3)证明：设M(x3,y两式相减得(设P(x0所以2x即x0−8y即x0−2y0=0，所以点

【解析】本题考查直线和双曲线的位置关系，考查弦长，定直线有关的问题，为中档题.(1)根据题意可得a=22，将点(4,1)的坐标代入得b=1(2)由(1)得F(3,0)，进而得直线l的方程为y=12(3)利用点差法即可证明.18.【答案】解：(1)证明：因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD.又因为AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面因为AA1∩AC=A，且AA1，AC⊂平面(2)解：以AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，则A(0,0,0)，B(6,0,0)，B1(3,0,2)，C(6,6,0)，D(0,6,0)，所以BC=(0,6,0)，BB设平面BCC1B则m⋅BC设直线DD1与平面BCC则sinθ=|cos<故直线DD1与平面BC(3)解：若存在点P满足题意，则可设点P(6,λ,0)，其中λ∈[0,6]，则AP=(6,λ,0)，设平面AD1P的法向量为n=(易得平面ADD1的一个法向量为所以|cos<n⋅v>|=|故棱BC上存在一点P，当BP=2时，二面角P−AD1

【解析】本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成的角的正弦值的求法，以及空间中二面角的求解等知识，考查运算求解能力，空间想象能力，属于较难题．

(1)根据线面垂直的判定定理进行求解即可；

(2)