初等数论学习通超星期末考试答案章节答案2024年

初等数论学习通超星期末考试章节答案2024年P64，1，2（1），13.求前2个。P76，1.前2个，2.做加减法运算，4.（1），5（1）

答案:看资料中习题解答。下列命题不正确的是

（

）

答案:2或5整除A的特征是2或5整除A的十位数下列不定方程中，没有解的是（）

答案:3x+6y=17对同余方程14x3+x-8≡0(mod7),下列说法正确的是（

）

答案:它的解是x≡1(mod7)如果a≡b(modm)，c是任意整数，那么下列错误的是（）

答案:a/c≡b/c(modm)设n为正整数，则n4+64是

(

)

答案:合数以下数组中，成为模7的完全剩余系的是(

)

答案:{－4，－2，8，13，32，35，100}25被-7除的带余除法表达式是

(

)

答案:25=（－7）×（－3）+4下面与不定方程ax+by=c(a>0,b>0)等价的同余方程是(

)

答案:ax≡c(modb)或

by≡c(moda)3x+6y=15

答案:解

(3,6)=3½15，所以方程有解。由直接观察，可知x=-1，y=1是3x+6y=3的解，所以x0=-5，y0=5是原方程的一个解。由定理4.1.2,所求方程的解是x=-5+2t,y=5-t,t为整数。/ananas/latex/p/2740375

答案:x≡5(mod14)可得

x=5+14y

代入x≡3(mod10)

得

5+14y≡3(mod10)即

14y≡8(mod10)，7y≡4(mod5)有唯一的解

y≡2(mod5).。。。2分

所以

14y≡8(mod10)的两个解为

y≡2+10t/2≡2+5t(mod10),(t=0,1)。。。2分

所以，满足原一次同余方程组的所有整数为

x=5+14(2+5t+10t1)=5+28+70t+140t1

其中t=0,1,

t1=0,±1,±2,…,

故原一次同余方程组的唯一解为

x≡33(mod70).。。。。2分用辗转相除法求178和84的最大公因数

答案:————————————————1—————————————————1——————————————————1——————————————————1所以最大公因数是2——————————————2求同余方程3x≡2(mod5)的所有解.

答案:（3，5）=1，有唯一解，3x3x-5x-2x2(mod5),x-1+54,或3x2+1012(mod5)x4(mod5).求不定方程7x+4y=100的正整数解.

答案:解（4，7）｜100，方程有解显然x=0，y=25是方程的解，因此，方程的一般解是

x=4t,

y=25-7t

,tÎZ

….3分

因为x>

0，y>

0，所以0求同余方程9x≡6(mod15)的所有解.

答案:因为（9，15）=3，且3|6，所以9x≡6(mod15)有三个解，。。。。。。2分

3x≡2(mod5),3x≡2+10≡12,x≡4(mod5),。。。。。。2分

x≡4+5k(mod15),k=0,1,2.。。。。。。2分证明：存在无穷多个正整数a，使得n4+a（n=1,2,3,...）都是合数

答案:证明

取a=4k4，对于任意的nÎN，有n4+4k4=(n2+2k2)2-4n2k2

=(n2+2k2+2nk)(n2+2k2-2nk)。

因为n2+2k2-2nk=(n-k)2+k2³k2，所以，对于任意的k=2,3,L以及任意的nÎN，n4+a是合数。当n是正整数时，求证：23|(52n+1+2n+4+2n+1)

答案:因为52n+1+2n+4+2n+1

=5×25n+16×2n+2×2n=5×25n+18×2n=5×25n+(23-5)×2n

=23×2n+5×(25n-2n)因为n是正整数,23½23×2n,(25-2)½(25n-2n)23½5×(25n-2n),所以

23½52n+1+2n+4+2n+1已知

3½a2+b2

，

证明：3½a且3½b

答案:证明

由a=3q1+r1，b=3q2+r2，

r1,r2=0,1或2，因3½a2+b2=3Q+r12+

r22知r12+r22=0,得r1=r2=0，得证3½a且3½b。求不定方程3x+6y=15的正整数解.

答案:解

(3,6)=3½15，所以方程有解。由直接观察，可知x=-1，y=1是3x+6y=3的解，所以x0=-5，y0=5是原方程的一个解。由定理4.1.2,所求方程的解是x=-5+2t,y=5-t,t为整数。再令x>0,y>0得t的范围从而求出正整数解。本解也可用逐步缩小系数法解略。某班学生自制教具，把第144厘米、宽48厘米、厚32厘米的长方体木料，名锯成尽可能大的同样大小的正方体木块，求正方体木块的棱长和锯成的块数。

答案:正方体木块的每条棱长是（144，48，32）＝16……2分

木料的长所锯成的份数是

144÷16＝9

木料的宽所锯成的份数是

48÷16＝3

木料的厚所锯成的份数是

32÷16＝2………2分

锯成正方体的块数是

9×3×2＝54（块）……1分设n为大于1的正整数，则n4+4是

(

)

答案:合数/ananas/latex/p/2740218

答案:2/ananas/latex/p/2787471

答案:42431若p是质数，a是整数，p>a，则有（a，p）＝_____

答案:1从1到100中的整数中，能被8整除的数有_____个

答案:12n是整数，(n-1)(n-2)(n-3)一定能被____(填5,6,7中之一)整除

答案:6一个十进制数每位数字之和是33，则这个数能被__整除

答案:3(24,36,60)=____，[24，36，60]=_____。

答案:12;360若正整数a,b满足a|b,b|a,则a=____

答案:b证明：若n是奇数，则8½n2-1。

答案:证：

设n=2k+1，则n2-1=(2k+1)2-1=4k(k+1)。在k和k+1中有一个是偶数，所以8½n2-1。证明：方程a12+a22+a32=1999

(1)无整数解。

答案:解

若a1，a2，a3都是奇数，则存在整数A1，A2，A3，使得a12=8A1+1，a22=8A2+1，a32=8A3+1，于是a12+a22+a32=8(A1+A2+A3)+3。由于1999被8除的余数是7，所以a1，a2，a3不可能都是奇数。由式(1)，a1，a2，a3中只能有一个奇数，设a1为奇数，a2，a3为偶数，则存在整数A1，A2，A3，使得a12=8A1+1，a22=8A2+r，a32=8A3+s，于是a12+a22+a32=8(A1+A2+A3)+1+r+s，其中r和s是整数，而且只能取值0或4。这样a12+a22+a32被8除的余数只可能是1或5，但1999被8除的余数是7，所以这样的a1，a2，a3也不能使式(2)成立。综上证得所需要的结论。证明：设a1,a2,L,an是整数，且a1+a2+L+an=0，a1a2Lan=n，则4½n。

答案:证：

如果2不整除n，则n,a1,a2,L,an都是奇数。于是a1+a2+L+an是奇数个奇数之和，不可能等于零，这与题设矛盾，所以2½n，即在a1,a2,L,an中至少有一个偶数。如果只有一个偶数，不妨设为a1