2024届高考数学热身题

2024年高考数学考前热身题

1.如图，在等腰梯形ABC。中，AB//CD,AB=2CD=2AD=2,将△AOC沿着4c翻折,

使得点。到点尸处，且4尸_LBC.

（1）求证：平面APUL平面A8C：

（2）求二面角C-%-3的平面角的正弦值.

【分析】（1）证明ACL8C,结合BC_L4P,推出3C_L平面APC,然后证明平面APC_L

平面ABC.

（2）取AC的中点的中点F,以上为坐标原点，E4为x轴，所为），轴，EP为z

轴建立空间坐标系，

求出平面APC的法向量，平面8%的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的正弦

函数值即可.

【解答】（1）证明：由等腰梯形"CO中，AB=2CD=2AD=2,

可得NA5C=60°,

又由A8=2BC,所以4CJLBC,

又因为8C1.AP,且ACAAP=A,所以8。_1_平面4尸。，

又由BCu平面ABC,所以平面4PCJ_平面ABC.

（2）解：取4C的中点E,AB的中点F,以E为坐标原点，E4为x轴，E尸为y轴，EP

为z轴建立空间坐标系，

则力谆，0,0）,B（-卓，1,0）,C（一孝0,0）,P（D）（0,0,

而二（一苧，0,1）,ZC=（-V3,0,0）,而=（一苧，1,一芬易=（亨，0,-1）,

设平面APC的法向量为n1=（%「%,Zi）,平面的法向量为n?=（小，zz）»

V3,1__

则{一下Xi+^Zi-U,令）,]=],得\=（0,1,0）,

—73%1=0

-叵x+_lz=0

22’22,令k=1,则y2=Z2=百，得A=（1，W，痘）,

{号n一%=0

【点评】本题考查二面角的平面角的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空

间想象能力，逻辑推理能力，以及计算能力，是中档题.

2.如图，四边形"OP是直角梯形，满足。8〃以，人。8=5以，CA_l"平面AB”.E

为PC的中点.

（1）求证：DE〃平面ABC；

（2）若DB=1,AE=W，BC=2V5,求锐二面角。-AE-C的余弦值.

【分析】（1）取AC的中点为巴分别连接ERBF,先证明四边形EF8O是平行四边形，

得到。E〃BF,由线面平行的判定定理证明即可；

（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数

法求出平面A3E的法向量，由向量的夹角公式求解即可.

【解答】（1）证明：取4c的中点为尸，分别连接££BF,

又因为E为PC的中点，

所以EV〃%，EF=^PAf

又因为以〃。5,DB=；PA,

所以"〃。"EF=DB,

故四边形是平行四边形,

则DE//BF,

又。EU平面ABC,BFu平面ABC,

所以OE〃平面ABC：

(2)解:Ftl(1)可知，PA,AB,AC三条直线两两相互垂直，

以A8,AC,A。分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，连接DA,

因为AE=遍，EF=1,

则力F=V2,故AC=2^2,

所以=2百，

故48=2,

则4(0,0,0),8(2,0,0),RO,2vL0),P(0,0,2),E(0,

\[2,1),0(2,0,1),

.所以几=(2,0,0)是平面AEC的一一个法向量，

又兄1=((),&，1),AD=(2,0,1),

设平面4OE的一个法向量m=(%,y,z),

m-AE=>/2y+z=0

则

m-AD=2x+z={)

令y=a，可得m=(Lx[2,—2),

设所成的锐二面角为&

——>

所以cos。=Icos<m,AB>\=|"|=，，

V7

故所求锐二面角。-4E-C的余弦值为5

E

【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了纹面平行的判定定理的应用，在求解

有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间

向量问题进行研究，属于中档题.

3.如图，4P是圆柱的母线，边长为4的正△A8C是该圆柱的下底面的内接三角形，D,E,

尸分别为3C,PB,A8的中点，G是所的中点，AP=4.

（I）求证：0G〃平面B4C；

（II）求直线QG与平面P3C所成角的止弦值.

【分析】（I）由已知利用三角形中位线定理证明EF〃附，OE〃PC可得EF〃平面用C,

QE〃平面必C,进一步得到平面OEG〃平面以C,从而得到。G〃平面布C；

（II）以A为坐标原点，分别以A。、AP所在直线为八z轴建立空间直角坐标系，求出

平面PBC的一个法向量£由位与向量1所成角的余弦值可得直线DG与平面P8C所成

角的正弦值.

【解答】（I）证明：如图，

YE,尸分别为PB,AB的中点,：,EF//PA,

•・•以u平面%C,平面以C,，石/〃平面以C,

VD,E,分别为BC,PB的中点,ADE//PC,

•；PCu平面而C,OEC平面B4C,.・・。石〃平面必。，

又EF、OEu平面。GE,且E尸GOE=E,

・•・平面。EG〃平面附C,而OGu平面OEG,

・・・OG〃平面PAC,

(ID解：以A为坐标原点，分别以A。、4P所在直线为八z轴建立空间直角坐标系,

•••△ABC是边长为4的正三角形，布=4,

：.P(0,0,4),D(0,2V3,0),B(2,273,0),G(1,V3,1).

PR=(2,-4),DR=(2.0,0),DG=(1,一回1).

设平面PBC的一个法向量为％=y,z),

则卜”=2》+2何，-4z=0,取日，则|=(o,1,歙

n-DB=2x=0

设直线DG与平面PBC所成角为0,

则.2由一，位＞|=峋=曾^至