2.5.1 直线与圆的位置关系课件（第二课时）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

数学必修第一册舒城一中

高二（7）*2.5.1直线与圆的位置关系2024/11/16第二章直线和圆的方程（第2课时）问题1：如何利用方程判断直线与圆的位置关系？直线与圆的方程代数运算直线与圆的位置关系转化为研究平面直角坐标系创设情境，引入新课

圆心(a,b),半径r

实数解个数d

与

r直线与圆的位置关系利用方程判断直线与圆的位置关系:创设情境，引入新课①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴.②常选特殊点作为直角坐标系的原点.③尽量使已知点位于坐标轴上.问题2：建立平面直角坐标系应遵循的原则有哪些？建立适当的直角坐标系，可以简化运算过程.本节课来学习用直线与圆的方程解决实际问题.创设情境，引入新课

APOB例题讲解例1

如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑,求支柱A2P2的高度(精确到0.01m).AOBP追问1点O是圆拱所在圆的圆心吗？追问2如何建立比较适当的平面直角坐标系？追问3以上两种方案是否较为适当？有没有更好的建系方案？yxx2+(y-b)2=r2例题讲解

分析：建立如图所示的直角坐标系，要得到支柱A2P2的高度，只需求出点P2的纵坐标.

建立如图所示的直角坐标系.设圆拱所在圆的圆心坐标为(0,b)，圆的半径为r，则圆的方程为

解:

由题意，点P,B在圆上，且它们的坐标分别为(0,4),(10,0)，则有解得

所以，圆的方程是

ABPA1A2A3A4P2Oxy

例题讲解过C

作

于M,在Rt△AOC中,设圆拱所在圆的半径为r,则有解得r=14.5.N追问4：还有其他方法解决这一问题吗？

在Rt△中,(m).

例题讲解建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，如点、线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；第一步问题3：坐标法解决几何问题的基本步骤是什么？通过代数计算，解决代数问题；第二步把代数运算的结果“翻译”成几何结论.第三步例题小结

例2：一个小岛周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20km的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处.如果轮船沿直线返航，那么它是否会有触礁危险？例题讲解解：以小岛中心为原点O，东西方向为x轴，南北方向为y轴建立直角坐标系，则港口所在位置坐标（0，3）,船所在位置坐标（4，0）.例2、一个小岛周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20km的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处.如果轮船沿直线返航，那么它是否会有触礁危险？例题讲解

例题讲解

方程组无解.所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返航不会有触礁危险.d

圆心C(0,0)到直线l的距离所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返航不会有触礁危险.方法三：

所以轮船沿直线返航不会有触礁危险.因为过O

作于H,在Rt△AOB中,

例2、一个小岛周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20km的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处.如果轮船沿直线返航，那么它是否会有触礁危险？例题讲解巩固练习P951.赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m.求这座圆拱桥的拱圆的方程.ABPOxy解:建立如图所示的直角坐标系.设圆拱所在圆的圆心坐标为(0,b)，圆的半径为r，则圆的方程为

由题意，点P,B在圆上，且它们的坐标分别为(0,

7.2),(18.7,0)，则有故所求圆拱的方程为解得巩固练习P952.某圆拱桥的水面跨度20m,拱高4m.现有一船,宽10m,水面以上高3m.这条船能否从桥下通过?ABPOxyCFED解:建立如图所示的直角坐标系.设圆拱的圆心坐标为(0,b)，圆的半径为r，则圆的方程为由题意，点P,B在圆上，且它们的坐标分别为(0,

4),(10,0)，则有故所求圆拱的方程为解得把

代入上式，得因为船在水面以上的高度为3m，3<3.1，所以该船可以从船下穿过.3.在一个平面上,机器人从与点C(5,－3)的距离为9的地方绕点C顺时针而行,在行进过程中保持与点C的距离不变,它在行进过程中到过点A(－10,0)与B(0,12)的直线的最近距离和最远距离分别是多少?22lA(0,12)•C(5,-3)xOy•B(-10,0)•解：依题意得,机器人在以C(5,－3)为圆心,9为半径的圆上运动,其圆的方程为经过点A(－10,0)与B(0,12)的直线方程为∴点C到直线AB的距离为∴圆C上的点到直线AB的最近距离为d－r＝巩固练习P95最远距离为d＋r＝第二步：解决代数问题第一步：几何—代数实际问题—几何第三步:代数—几何几何—实际问题轮船沿直线返航不会有触礁危险.直线l与圆O相离轮船沿直线返航是否有危险？直线l与圆O位置关系？d问题4：你能总结一下坐标法解决实际问题的基本步骤？归纳总结例题讲解例3求经过直线x＋y＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－8＝0的交点，且经过点P(－1，－2)的圆的方程．解：

设所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y－8＋λ(x＋y)＝0，又点P(－1，－2)在圆上，将(－1，－2)代入圆的方程得(－1)2＋(－2)2＋2×(－1)－4×(－2)－8＋λ(－1－2)＝0，解得λ＝1.故所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y－8＋x＋y＝0，即x2＋y2＋3x－3y－8＝0.求过直线与圆的交点的圆系方程的方法(1)联立方程组，求出交点坐标，再根据交点坐标求方程；(2)设圆系方程求参数，一般地，过直线l：Ax＋By＋C＝0与圆O：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程可设为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0.

例题小结巩固练习4.已知圆C经过直线x＋y＋2＝0与圆x2＋y2＝4的交点，且圆C的圆心在直线2x－y－3＝0上，求圆C的方程．设所求圆的方程为(x2＋y2－4)＋a(x＋y＋2)＝0，即x2＋y2＋ax＋ay－4＋2a＝0，因为圆心在直线2x－y－3＝0上，所以a＝－6.所以圆的方程为x2＋y2－6x－6y－16＝0，即(x－3)2＋(y－3)2＝34.解：例题讲解DA(2,0)B