专题22计数原理概率随机变量及其分布（选填压轴题）-2022年高考数学高分必刷必过题

专题22计数原理、概率、随机变量及其分布（选填压轴题）一、单选题1．（2021·湖南省岳阳县第一中学高三开学考试）如图，在某城市中，､两地之间有整齐的方格形道路网，其中､､､是道路网中位于一条对角线上的个交汇处.今在道路网､处的甲､乙两人分别要到､处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达､处为止.则下列说法正确的是（）

A．甲从到达处的方法有种B．甲从必须经过到达处的方法有种C．甲､乙两人在处相遇的概率为D．甲､乙两人相遇的概率为【答案】C【详解】A选项，甲从M到达N处，需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，则甲从M到达N处的方法有种，A选项错误；B选项，甲经过到达N处，可分为两步：第一步，甲从M经过需要走3步，其中1步向右走，2步向上走，方法数为种；第二步，甲从到N需要走3步，其中1步向上走，2步向右走，方法数为种.∴甲经过到达N的方法数为种，B选项错误；C选项，甲经过的方法数为种，乙经过的方法数也为种，∴甲､乙两人在处相遇的方法数为种，甲､乙两人在处相遇的概率为，C选项正确；D选项，甲､乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇，若甲､乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向上走，乙经过处，则乙的前三步必须向左走，两人在处相遇的走法种数为1种；若甲､乙两人在处相遇，由C选项可知，走法种数为81种；若甲､乙两人在处相遇，甲到处，前三步有2步向右走，后三步只有1步向右走，乙到处，前三步有2步向下走，后三步只有1步向下走，所以，两人在处相遇的走法种数为种；若甲､乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向右走，乙经过处，则乙的前三步必须向下走，两人在处相遇的走法种数为1种；故甲､乙两人相遇的概率，D选项错误.故选：D.2．（2021·全国高三专题练习（理））定义数列如下：存在，满足，且存在，满足，已知数列共4项，若且，则数列共有（）A．190个 B．214个 C．228个 D．252个【答案】A【详解】解：由题意，满足条件的数列中的4项有四种情况：（1）4项中每一项都不同，共有个；（2）4项中有2项相同（如x,y,z,x）,共有个；（3）4项中有3项相同（如x,x,y,x）,共有个；（4）4项中两两相同（如x,y,x,y）,共有个；所以数列共有个.故选：A.3．（2021·全国高三专题练习）已知展开式的常数项的取值范围为，且恒成立.则的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】D【详解】展开式的通项为，令，可得，所以，展开式中的常数项为，解得或，令，其中，可得.当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，由可得，其中，构造函数，其中，则，令，其中，则.当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增.所以，.所以，当时，，此时函数单调递减当时，，此时函数单调递增.所以，，.综上所述，实数的取值范围是.故选：D.4．（2021·河南高三月考（理））2020年疫情期间，某县中心医院分三批共派出6位年龄互不相同的医务人员支援武汉六个不同的方舱医院，每个方舱医院分配一人.第一批派出一名医务人员的年龄为，第二批派出两名医务人员的年龄最大者为，第三批派出三名医务人员的年龄最大者为，则满足的分配方案的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】假设6位医务人员年龄排序为，由题意知，年龄最大的医务人员必在第三批，派遣方式如下：1、第一批派，第二批年龄最大者为，第三批年龄最大者为：剩下的医务人员一个在第二批，两个在第三批有种方法，2、第一批派，第二批年龄最大者为或，第三批年龄最大者为：当第二批最大者为，则有种方法，当第二批最大者为，则有种方法，共种方法；3、第一批派，第二批年龄最大者为或或，第三批年龄最大者为：当第二批最大者为，则有种方法，当第二批最大者为，则有种方法，当第二批最大者为，则有1种方法，共种方法；4、第一批派，第二批年龄最大者为或或，第三批年龄最大者为：当第二批最大者为，则有种方法，当第二批最大者为，则有种方法，当第二批最大者为，则有1种方法，共种方法；∴种方法，而总派遣方法有种，∴满足的分配方案的概率为.故选：A.5．（2021·渝中·重庆巴蜀中学高三月考）随机变量的概率分布列如下：012……12……其中，则（）A． B． C．6 D．12【答案】C【详解】由分布列的性质可得：，得，①，②，由①②得，所以．故选：．6．（2021·河南南阳·高三期末（理））众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形.其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题:①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是；②当时，直线与白色部分有公共点；③黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点，则的最大值为；④若点，为圆过点的直径，线段是圆所有过点的弦中最短的弦，则的值为.其中所有正确结论的序号是（）A．①③ B．③④ C．①③④ D．①②④【答案】C【详解】对于①，设黑色部分区域的面积为，整个圆的面积为，由对称性可知，，所以，在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率为，故①正确；对于②，当时，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，下方白色小圆的方程为，圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，如下图所示：由图可知，直线与与白色部分无公共点，故②错误；对于③，黑色阴影部分小圆的方程为，设，如下图所示：当直线与圆相切时，取得最大值，且圆的圆心坐标为，半径为，可得，解得，由图可知，，故，故③正确；对于④，由于是圆中过点的直径，则、为圆与轴的两个交点，可设、，当轴时，取最小值，则直线的方程为，可设点、，所以，，，，，所以，，故④正确.故选：C.7．（2021·珠海市第二中学高三模拟预测）已知是数列的前项和，若，数列的首项，则（）A． B． C．2021 D．【答案】A【详解】令，得.又因为，所以.由，得，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以，所以.故选：A.8．（2021·西工大附中分校高三模拟预测（理））设是常数，对于，都有，则（）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，则令可得.又对两边求导可得：，令，则，所以，所以故，所以.故选：A.9．（2021·沙坪坝·重庆一中高三模拟预测）罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步.罗马数字的表示法如下：数字123456789形式ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨ其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”需要2根火柴，若为0，则用空位表示.（如123表示为，405表示为）如果把6根火柴以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为（）A．87 B．95 C．100 D．103【答案】D【详解】用6根火柴表示数字，所有搭配情况如下：1根火柴和5根火柴：1根火柴可表示的数为1；5根火柴可表示的数为8，和0一起，能表示的数共有4个（108,180,801,810）.2根火柴和4根火柴：2根火柴可表示的数为2、5；4根火柴可表示的数为7，和0一起，能表示的数有个.3根火柴和3根火柴：3根火柴可表示的数为3、4、6、9，和0一起，能表示的数分为2类：除0外的两个数字相同，可表示的数有个；除0外的两个数字不同，则有个，所以共有个.1根火柴、1根火柴和4根火柴：即有1、1、7组成的数，共有3个（117,171,711）.1根火柴、2根火柴和3根火柴：即由1,2或5中的一个，3、4、6、9中的一个数字组成的三位数，共有个.2根火柴、2根火柴、2根火柴：即由2或5组成的三位数，分为两类：三个数字都相同，共有2个（222,555）；三个数字中的两个数字相同，则有个，共有个.综上可知，可组成的三位数共有个.故选：D.10．（2021·上海市大同中学高三月考）已知，，为中不同数字的种类，如，求所有的个的排列所得的的平均值为A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可知：当时，；当时，；当时，；当时，，综上所述，所有的个的排列所得的的平均值为：，故选D．11．（2021·全国高三专题练习）如果不是等差数列，但若，使得，那么称为“局部等差”数列.已知数列的项数为4，记事件：集合，事件：为“局部等差”数列，则条件概率A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意知，事件共有=120个基本事件，事件“局部等差”数列共有以下24个基本事件，（1）其中含1，2，3的局部等差的分别为1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3共3个，含3，2，1的局部等差数列的同理也有3个，共6个.含3，4，5的和含5，4，3的与上述（1）相同，也有6个.含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共2个，含4，3，2的同理也有2个.含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4个，含5，3，1的也有上述4个，共24个，=.故选C.12．（2021·全国高三专题练习（文））甲盒子装有3个红球，1个黄球，乙盒中装有1个红球，3个黄球，同时从甲乙两盒中取出个球交换，分别记甲乙两个盒子中红球个数的数学期望为，则以下结论错误的是A． B． C． D．【答案】D【详解】用表示交换后甲盒子中的红球数，表示交换后乙盒子中的红球数，

当时，

则，，．

故A正确，C正确，

当时，故B正确．

当时，

，故D错误．

故选D．13．（2020·重庆高三月考）定义“有增有减”数列如下：，满足，且，满足.已知“有增有减”数列共4项，若，且，则数列共有A．64个 B．57个 C．56个 D．54个【答案】D【详解】（法一）：由题意不妨设记则满足条件的有：（1）中有两个元素时：选元素：种；排循序：（减去：全相同2种，顺序3种，倒序3种）；共有种；（2）中有三个元素时：选元素：种；排循序：（减去：顺序1种，倒序1种）；共有种；所以共有种.（法二）：当四个数中只有两个数相同或只有两对数时，共有种，当四个数中有三个数相同时，共有种，所以总方法数有．14．（2020·全国高三专题练习）圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，即圆在任意方向都有相同的宽度，具有这种性质的曲线叫做“等宽曲线”．事实上存在着大量的非圆等宽曲线，以工艺学家鲁列斯（Reuleaux）命名的鲁列斯曲边三角形，就是著名的非圆等宽曲线.它的画法（如图1）：画一个等边三角形为圆心，边长为半径，作圆弧,这三段圆弧围成的图形就是鲁列斯曲边三角形.它的宽度等于原来等边三角形的边长.等宽曲线都可以放在边长等于曲线宽度的正方形内（如图2）.在图2中的正方形内随机取一点，则这点落在鲁列斯曲边三角形内的概率是A． B．C． D．【答案】A【详解】设正方形的边长为1，则正方形的面积为1，鲁列斯曲边三角形的面积为，故选A.二、填空题15．（2021·山东济南·高三月考）数列共项，且，，关于的函数，，若是函数的极值点，且曲线的在点处的切线的斜率为，则满足条件的数列的个数为__________．【答案】【详解】因为，则，由已知可得，则.由题意可得，可得，，可得或.①当时，，得的值有个，个，，得的值有个，个，此时，数列的个数为个；②当时，，得的值有个，个，，得的值有个，个，此时，数列的个数为个.综上所述，数列的个数为.故答案为：.16．（2021·上海高三模拟预测）考察等式：(*)，其中，且.某同学用概率论方法证明等式(*)如下：设一批产品共有件，其中件是次品，其余为正品.现从中随机取出件产品，记事件{取到的件产品中恰有件次品}，则，，1，2，…，.显然，，…，为互斥事件，且(必然事件)，因此，所以，即等式(*)成立.对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性与必然性的统一；但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑.现有以下四个判断：①等式(*)成立，②等式(*)不成立，③证明正确，④证明不正确，试写出所有正确判断的序号___________.【答案】①③【详解】设一批产品共有件，其中件是次品，其余件为正品.现从中随机取出件产品，记事件{取到的产品中恰有件次品}，则取到的产品中恰有件次品共有种情况，又从中随机取出件产品，共有种情况，，1，…，，故其概率为，，1，…，.∵，，…，为互斥事件，且(必然事件)，因此，所以，即等式(*)成立.从而可知正确的序号为：①③.故答案为：①③.17．（2021·山东淄博·高三三模）如图，在的点阵中，依次随机地选出、、三个点，则选出的三点满足的概率是______．【答案】【分析】先将个点标号，对点的位置进行分类讨论，结合古典概型的概率公式可求得结果.【详解】由题意可知、、三个点是有序的，讨论点为主元，对点分三种情况讨论，如下图所示：（1）第一类为号点.①若，三点共线有条直线，此时有种；②若，如点在号位，则点在号位或号位，即确定第二号点有种方法，确定第三号点有种方法，此时有种；（2）第二类为、、、号点，此时，不存在这样的点；（3）第三类为、、、号点，以号点为例，有三种情况如下图所示：故有种.综上所述，满足共有种.因此，所求概率为.故答案为：.18．（2021·江苏高三开学考试）格点是指平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点.一格点沿坐标线到原点的最短路程为该点到原点的“格点距离”（如：，则点到原点的格点距离为）.格点距离为定值的点的轨迹称为“格点圆”，该定值称为格点圆的半径，而每一条最短路程称为一条半径.当格点半径为6时，格点圆的半径有______条（用数字作答）.【答案】252【详解】设格点为，格点半径为6，则，∴对应格点圆图象如下，每条边上有(不含端点)5个格点，以第一象限为例，格点有，其中的半径有6条，的半径有15条，的半径有20条，的半径有15条，的半径有6条，∴共有62条，即对于任意格点，其半径条数有条，∴由上，四个象限共有条半径，另外数轴上有四个点，半径共有条，综上，格点半径为6时，格点圆的半径有条.故答案为：.19．（2021·全国高三专题练习）在生物学研究过程中，常用高倍显微镜观察生物体细胞．已知某研究小组利用高倍显微镜观察某叶片的组织细胞，获得显微镜下局部的叶片细胞图片，如图所示，为了方便研究，现在利用甲、乙等四种不同的试剂对、、、、、这六个细胞进行染色，其中相邻的细胞不能用同种试剂染色，且甲试剂不能对细胞染色，则共有______种不同的染色方法（用数字作答）．【答案】【详解】不考虑甲试剂不能对细胞染色，则细胞的染色试剂有种选择.①若、细胞的染色试剂相同，有种选择，、细胞可以用剩余种试剂进行染色，有种方法，则细胞的染色试剂有种选择，此时，共有种不同的染色方法；②若、细胞的染色试剂不同，有种不同的染色方法，细胞的染色方法只有种，若、细胞的染色试剂不同，则细胞的染色试剂只有种，细胞的染色试剂只有种；若、细胞的染色试剂相同，则细胞的染色试剂有种.此时，共有种不同的染色方法；综上所述，不考虑甲试剂不能对细胞染色，染色方法种数为种；现在考虑用甲试剂对细胞染色，则细胞的染色试剂有种选择.①若、细胞的染色试剂相同，则、细胞可以用剩余种试剂进行染色，有种方法，细胞的染色试剂有种，此时，共有种不同的染色方法；②若、细胞的染色试剂不同，则细胞的染色试剂有种选择，细胞的染色试剂只有种.若、细胞的染色试剂不同，则细胞的染色试剂只有种，细胞的染色试剂只有种，若、细胞的染色试剂相同，则细胞的染色试剂有种.此时，共有种不同的染色方法.综上所述，当用甲试剂对细胞染色时，染色方法种数为种.因此，符合条件的染色方法种数为种.故答案为：.20．（2021·浙江省宁海中学高三月考）如图，在的点阵中，依次随机地选出，，三个点，则选出的三点满足的概率是___________.【答案】【详解】由题意可知，，三个点是有序的，从反面的角度做，讨论的是为主元，故对分三种情况讨论，如图：第一类为5号点；第二类为1，3，7，9号点；第三类为2，4，6，8号点；（1）当为5号点时，则（i），三点共线有四条直线，故，（ii），则，如在1号位，和，即确定第二个点的位置有四种方法，第三个点的位置有两种方法，然后排列，即方法数为：，共有种.

（2）当为第二类点不存在这样的点；（3）当为第三类点，以2号点为例，有三种如图所示：

故有，综上共有64中，故.故答案为：.21．（2021·全国高三专题练习）定义域为集合上的函数满足：①；②（）；③、、成等比数列；这样的不同函数的个数为________【答案】【详解】解：经分析，f（x）的取值的最大值为x，最小值为2﹣x，并且成以2为公差的等差数列，故f（6）的取值为6，4，2，0，﹣2，﹣4．f（12）的取值为12，10，8，6，4，2，0，﹣2，﹣4，﹣6，﹣8，﹣10，所以能使f（x）中的f（1）、f（6）、f（12）成等比数列时，f（1）、f（6）、f（12）的取值只有两种情况：①f（1）＝1、f（6）＝2、f（12）＝4；②f（1）＝1、f（6）＝﹣2、f（12）＝4．|f（x+1）﹣f（x）|＝1（x＝1，2，…，11），f（x+1）＝f（x）+1，或者f（x+1）＝f（x）﹣1，即得到后项时，把前项加1或者把前项减1．（1）当f（1）＝1、f（6）＝2、f（12）＝4时；将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从f（1）变化到f（6），第二步：从f（6）变化的f（12）．从f（1）变化到f（6）时有5次变化，函数值从1变化到2，故应从5次中选择3步加1，剩余的两次减1．对应的方法数为10种．从f（6）变化到f（12）时有6次变化，函数值从2变化到4，故应从6次变化中选择4次增加1，剩余两次减少1，对应的方法数为15种．根据分步乘法原理，共有10×15＝150种方法．（2）当f（1）＝1、f（6）＝﹣2、f（12）＝4时，将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从f（1）变化到f（6），第二步：从f（6）变化的f（12）．从f（1）变化到f（6）时有5次变化，函数值从1变化到﹣2，故应从5次中选择1步加1，剩余的4次减1．对应的方法数为5种．从f（6