专题04基本不等式（课时训练）

专题04基本不等式A组基础巩固1．（2021·河南·内黄县第一中学高二开学考试）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（

）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．对任意实数a和b，有，当且仅当时，等号成立【答案】D【分析】直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，则，利用大正方形的面积与四个直角三角形面积和的不等关系得结论．【详解】直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，则，在正方形的面积为，四个直角三角形的面积和为，因此有，即，当且仅当时，中间没有小正方形，等号成立．故选：D．2．（2021·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）已知为正实数且，则的最小值为（

）A． B． C． D．3【答案】D【分析】由题知，再结合基本不等式求解即可.【详解】解：因为为正实数且，所以，所以，因为，当且仅当时等号成立；所以，当且仅当时等号成立；故选：D3．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知正实数，且，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将变为，即可得，因此将变为，结合基本不等式即可求得答案.【详解】因为正实数，，故，所以，故，当且仅当时取得等号，故选：C4．（2022·陕西渭南·高二期末（理））已知，，，则下列结论正确的是（

）A．的最大值为9 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最小值为【答案】D【分析】将各选项中求最值问题转化为二次函数或者基本不等式求最值问题即可，要注意各选项中等号成立时范围是否满足题意.【详解】对于A，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为9，故A错误；对于B，，当时（此时）取得最小值，故B错误；对于C，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，即的最大值为，故C错误；对于D，，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故D正确.故选：D.5．（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数的最大值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】将化为，利用基本不等式即可求得答案.【详解】∵，,∴，当且仅当时，即时等号成立，因此，函数,的最大值为,故选：C．6．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最小值为（）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】利用基本不等式可得答案.【详解】∵，∴，∴≥＝6，当且仅当即时，取最小值6，故选：A．7．（2022·吉林·长春市第二中学高二期末）一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买8克黄金，售货员先将4克的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将4克的砝码放在天平右盘中，取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则该顾客实际得到的黄金（

）A．等于8克 B．大于8克 C．小于8克 D．不能确定【答案】C【分析】设天平的左右臂长分别为，第一次加黄金克，第二次加黄金克，则根据物理知识可得，，根据基本不等式可得克.【详解】设天平的左右臂长分别为，第一次加黄金克，第二次加黄金克，则根据物理知识可得，且，即，所以，当且仅当时等号成立，因为，所以等号不成立，所以克.故选：C8．（2022·青海青海·高一期末）已知x，y都是正数，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】利用基本不等式求解.【详解】因为，所以．因为x，y都是正数，由基本不等式有：，所以，当且仅当即时取“＝”．故A，C，D错误.故选：B．9．（2022·新疆喀什·高二期末（文））若，则函数的最小值是（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式计算可得.【详解】解：因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以.故选：C10．（2022·四川内江·高一期末（文））已知正实数a、b满足，则的最小值为（

）A． B．4 C． D．【答案】B【分析】由题可知，再利用基本不等式即得.【详解】∵正实数a、b满足，∴，当且仅当，即时，取等号，故选：B.11．（2022·全国·高一专题练习）已知为实数，且，则下列命题错误的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】对于A，利用基本不等式判断，对于B，由已知结合完全平方式判断，对于C，举例判断，对于D，利用基本不等式判断【详解】对于A，由基本不等式可知当时，，当且仅当时取等号，所以A正确，对于B，因为，，所以，且，所以，当且仅当时取等号，所以B正确，对于C，若，则，所以C错误，对于D，因为，，所以，且，所以，，所以且，所以D正确，故选：C12．（2023·全国·高三专题练习）设，则的最大值为（

）A．0 B．不存在 C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式可得答案.【详解】因为，则，当且仅当即时等号成立，则的最大值为则.故选：C.13．（2022·全国·高一课时练习）当时，求函数的值域为________．【答案】【分析】首先根据判断的正负，再将函数式转化为，根据均值不等式求解.【详解】因为，所以，即，所以，又因为，当且仅当，即时等号成立，所以，则函数的值域为.故答案为：.14．（2022·全国·高一课时练习）若，，，则当______时，取得最小值．【答案】【分析】由题知，进而分和两种情况，结合基本不等式求解即可.【详解】解：因为，，所以，即．当时，，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值；当时，，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值．综上所述，当时，取得最小值．故答案为：15．（2023·全国·高三专题练习）若正数a，b满足1，则的最小值为__．【答案】16【分析】由条件可得，，代入所求式子，再由基本不等式即可求得最小值，注意等号成立的条件.【详解】解：因为正数a，b满足1，则有1，则有，1，即有，则有16，当且仅当即有b＝2a，又1，即有a，b＝3，取得最小值，且为16．故答案为：16．16．（2022·四川凉山·高一期末（文））若，则的最小值为______．【答案】2【分析】运用基本不等式可得答案.【详解】因为，所以，因为，当且仅当时，即等号成立，所以的最小值为2.故答案为：2.17．（2022·黑龙江·大庆中学高二期末）已知，，，则的最小值为______．【答案】##【分析】根据基本不等式可求得最小值.【详解】因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立．故的最小值为．故答案为：.18．（2022·贵州·六盘水市第二中学高一阶段练习）已知，，则的最小值为___________.【答案】【分析】利用基本不等式所需的“积为定值”即可求解.【详解】，，当且仅当，即时，等号成立，的最小值为.故答案为：.19．（2023·全国·高三专题练习）若正数a，b满足，则的最小值为___________.【答案】【分析】利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为、且，所以，当且仅当，即、时取等号；故答案为：20．（2022·河北·唐山一中高二阶段练习）若正实数满足，则的最小值为___________.【答案】##【分析】用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式求得最小值．【详解】，当且仅当时，即时，的最小值为.故答案为：.21．（2023·全国·高三专题练习）已知，若不等式恒成立，则的最大值为________．【答案】【分析】根据将分离出来，基本不等式求最值即可求解.【详解】由得．又，当且仅当，即当时等号成立，∴，∴的最大值为．故答案为：22．（2022·浙江衢州·高一阶段练习）已知正实数、满足，则的最小值是___________.【答案】##【分析】由已知可得出且，化简代数式，利用基本不等式可求得结果.【详解】因为正实数、满足，则，由可得，所以，.当且仅当时，等号成立.因此，的最小值是.故答案为：.23．（2021·江苏·高一专题练习）若，则的最小值是___________.【答案】4【解析】将原式变为，再利用基本不等式求解出最小值.【详解】因为，取等号时且，即，所以的最小值为，故答案为：.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.24．（2022·全国·高一期末）一批救灾物资随51辆汽车从某市以的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于，那么这批物资全部到达灾区，最少需要______【答案】10【分析】用速度v表示时间，结合基本不等式，计算最小值，即可．【详解】当最后一辆车子出发，第一辆车子走了小时，最后一辆车走完全程共需要小时，所以一共需要小时，结合基本不等式，计算最值，可得，故最小值为10小时【点睛】考查了基本不等式计算函数最值问题，关键利用，计算最小值，即可，难度中等．25．（2020·山西·大同一中高三开学考试（文））《定理汇编》是一本十分重要的书籍，其中有一些定理是关于鞋匠刀形的，即由在同一直线上的三个半圆围成的图形被阿基米德称为鞋匠刀形，如图所示，在大半圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为P，则P的最大值为________.【答案】【解析】通过计算三个半圆的面积，表示阴影部分的面积，利用几何概型的概率计算公式表示P，并用基本不等式求其最大值.【详解】解：阴影部分面积为：则则当且仅当时，取等号故答案为：.【点睛】知识方面，考查几何概型的概率计算和数学文化，以及基本不等式的应用；能力方面，考查考生的逻辑思维能力和运算求解能力；是基础题.26．（2022·河南许昌·高二期末（理））已知正数，满足.若恒成立，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】利用基本不等式性质可得的最小值，由恒成立可得即可求出实数的取值范围.【详解】解：因为正数，满足，所以，当且仅当时，即时取等号.因为恒成立，所以，解得.故实数的取值范围是.故答案填：.【点睛】熟练掌握基本不等式的性质和正确转化恒成立问题是解题的关键.27．（2019·福建泉州·高一阶段练习）已知，并且，则的最小值为_______.【答案】【分析】这里采用“的妙用”，将这个整体乘上，然后利用基本不等式计算最小值.【详解】因为，取等号时.【点睛】本题考查用基本不等式求解最值中的“的替换”这种方法，难度一般.已知，求的最小值时的方法：，取等号时.

B组能力提升28．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）下列说法正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，则【答案】BC【分析】利用特殊值判断A、D，利用基本不等式判断B，利用作差法判断C.【详解】解：令，，，，则，，不满足，故A错误；，，所以，当且仅当，即时取等号，故B正确；，∵，，∴，∴，，即，∴，故C正确；令，，满足，但是不成立，故D错误．故选：BC．29．（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知，都为正数，且，则（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最小值为【答案】ABD【分析】利用基本不等式结合已知条件逐个分析判断.【详解】对于A，因为，都为正数，且，所以，当且仅当即，时取等号，所以的最大值为，所以A正确，对于B，因为，所以，由选项A可知，所以，当且仅当，时取等号，所以的最小值为，所以B正确，对于C，因为，所以，当且仅当，即，时取等号，但，都为正数，故等号取不到，所以C错误，对于D，因为，都为正数，且，所以，当且仅当即即，时取等号，所以的最小值为，所以D正确，故选：ABD30．（2022·福建·福州三中高一期末）（多选题）已知，，且，则下列说法正确的是（

）A．的最小值为 B．的最大值为C．的最大值为 D．的最小值为【答案】AB【分析】利用基本不等式及函数的性质计算可得.【详解】解：对于A：由，，，则，所以，解得，所以，所以当时，有最小值，故A正确．对于B：由，，，即，当且仅当，即，时等号成立，所以的最大值是，故B正确；对于C：由，，，则，所以，解得，所以，因为，所以，所以，所以，即，故C错误；对于D：，当且仅当，即，时取等号，故D错误；故选：AB31．（2022·福建福州·高二期末）（多选题）已知，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根据基本不等式，结合指数的运算法则，逐一分析选项，即可得答案.【详解】对于A：由基本不等式，当且仅当时等号成立，故A正确；对于B：由基本不等式，可得，当且仅当时等号成立，故B错误；对于C：，当且仅当时等号成立，故C正确；对于D：，当且仅当，即时等号成立，故D正确.故选：ACD32．（2022·黑龙江实验中学高二期末）（多选题）已知，且，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用基本不等式对各个选项进行判断即可.【详解】，当时取等号，所以A是正确的；，当时取等号，所以B是正确的；，则，所以C是错误的；，当即时取等号，所以D正确的，故选：ABD.33．（2022·浙江·效实中学高二期中）（多选题）设，，则下列不等式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】直接利用基本不等式即可判断A；举出反例可判断B；利用作差法可判断C；分为和说明D.【详解】对A，因为，所以当且仅当时，等号成立，故A正确；对B，取，时，，，故B不成立；对C，，故C成立；对D，若，则成立，若，则＝，∴成立，故D正确；故选：ACD.34．（2023·全国·高三专题练习）（多选题）已知正实数满足，则（

）A．B．的最小值为C．的最小值为9D．的最小值为【答案】AC【分析】根据等式的变形，结合为正实数，可判断A项，变形等式，结合的取值范围，利用一元二次函数可判断B项，利用基本不等式中“1”的用法可求解C项，利用基本不等式，结合题干中的等式验证等号成立的条件，可判断D项.【详解】解：因为，则，即，又为正实数，则，所以，，故A项正确；因为，所以，又，所以，故B项错误；因为，且为正实数，即，则，所以，当且仅当，即时等号成立，故C项正确；因为，所以，则，当且仅当时，等号成立，但由可得，当时，，且，故D项错误.故选：AC.35．（2023·全国·高三专题练习）（多选题）设正实数x，y满足2x＋y＝1，则（

）A．xy的最大值是 B．的最小值为9C．4x2＋y2最小值为 D．最大值为2【答案】BC【分析】利用基本不等式求的最大值可判断A；将展开，再利用基本不等式求最值可判断B；由结合的最大值可判断C；由结合的最大值可求出的最大值可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A，，，当且仅当即，时等号成立，故A错误；对于B，，当且仅当即时等号成立，故B正确；对于C，由A可得，又，，当且仅当，时等号成立，故C正确；对于D，，所以，当且仅当，时等号成立，故D错误；故选：BC.36．（2022·全国·高一课时练习）某光伏企业投资万元用于太阳能发电项目，年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来万元的收入．假设到第年年底，该项目的纯利润为万元．（纯利润累计收入总维修保养费用投资成本）(1)写出纯利润的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利．(2)若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案：①年平均利润最大时，以万元转让该项目；②纯利润最大时，以万元转让该项目．你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由．【答案】(1)，从第年起开始盈利(2)选择方案①更有利于该公司的发展；理由见解析【分析】（1）根据题意可得表达式，令，解不等式即可；（2）分别计算两个方案的利润及所需时间，进而可确定方案.（1）由题意可知，令，得，解得，所以从第年起开始盈利；（2）若选择方案①，设年平均利润为万元，则，当且仅当，即时等号成立，所以当时，取得最大值，此时该项目共获利（万元）．若选择方案②，纯利润，所以当时，取得最大值，此时该项目共获利（万元）．以上两种方案获利均为万元，但方案①只需年，而方案②需年，所以仅考虑该项目的获利情况时，选择方案①更有利于该公司的发展．37．（2023·全国·高三专题练习）已知，求函数的最大值．【答案】2【分析】将变形为，利用基本不等式即可求得答案.【详解】根据题意，函数，又由，则，则，当且仅当时，即时取等号，则,故函数的最大值为2.38．（2022·四川广安·模拟预测（文））设函数的最小值为t(1)求t的值；(2)若a，b，c为正实数，且，求证：.【答案】(1)3；(2)证明见解析.【分析】（1）分类讨论去中的绝对值，转化为分段函数，求出每段函数值的取值范围，即可求解；（2）由（1）得，利用已知等式有，再应用基本不等式，即可证明结论.(1)（1）当时，；当时，；当时，，所以当时，取最小值.(2)由（1）可知，因为，，为正实数，.当且仅当，即，，时取等号，所以.39．（2022·江西·南昌市八一中学高二期末（理））某种商品原来毎件售价为元，年销售万件．(1)据市场调查，若价格毎提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少？(2)为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高价格到元，公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，试问：该商品明年的销售量至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和并求出此时每件商品的定价．【答案】(1)元(2)改革后销售量至少达到万件，才满足条件，此时定价为元件【分析】（1）设每件定价为元，则，解之即得所求；（2）依题意可列（），分离参数可得有解，应用均值不等式求不含参数这一边的最值即得所求(1)设每件定价为元，则，整理得，要满足条件，每件定价最多为元；(2)由题得当时：有解，即：有解．又，当且仅当时取等号，即改革后销售量至少达到万件，才满足条件，此时定价为元件40．（2021·全国·高一专题练习）迎进博，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为，四周空白的宽度为，栏与栏之间的中缝空白的宽度为，（1）怎样确定矩形栏