21直线的倾斜角与斜率-2022-2023学年高二数学教材学案（人教A版2019选择性）

2.1直线的倾斜角与斜率目标导航1.了解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．4.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.5.会运用条件判定两直线是否平行或垂直6.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题．知识解读知识点一直线的倾斜角1．倾斜角的定义(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2．直线的倾斜角α的取值范围为.【答案】正向0°≤α<180°知识点二直线的斜率1．直线的斜率把一条直线的倾斜角α的叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝.2．斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范围)k＝0k>0不存在k<03．过两点的直线的斜率公式过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.4．若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为（x,y）,则k=.【答案】正切值tanαeq\f(y2－y1,x2－x1)知识点三两条直线(不重合)平行的判定类型斜率存在斜率不存在前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在图示【答案】k1＝k2知识点四两条直线垂直的判定图示对应关系l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔【答案】k1k2＝－1l1⊥l2跟踪训练一、单选题1．已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】由，得到，结合正切函数的性质，即可求解．【详解】由题意，直线的倾斜角为，则，因为，即，结合正切函数的性质，可得．故选：B．2．如图，设直线，，的斜率分别为，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】直接由斜率的定义判断即可.【详解】由斜率的定义可知，.故选：A．3．若直线：与直线：互相平行，则的值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】由直线的平行关系可得，解之可得．【详解】解：若直线：与直线：互相平行，解得故选：A．4．直线与直线的位置关系是（

）A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直【答案】C【分析】把直线化简后即可判断.【详解】直线可化为，所以直线与直线的位置关系是重合.故选：C5．已知直线，直线的法向量与直线的方向向量互相平行，则=（

）A．8 B．8 C．2 D．2【答案】A【分析】由题意垂直，然后求解【详解】垂直，则，得；故选：A。6．已知条件：直线与直线垂直，条件：，则是的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由两条直线垂直可求得，结合充要条件的定义即可求出答案.【详解】直线与直线垂直，所以，则，所以是的充要条件.故选：A.7．已知，，两直线：，：，且，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】由直线垂直得间的关系，然后凑配出积的定值，求得最小值．【详解】因为，所以，即，又，所以，当且仅当，即时等号成立，故选：D．8．设点，，若直线ax+y+2=0与线段AB有交点，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出直线经过的定点，作出图象，利用图象求得斜率满足的条件，由此解出答案．【详解】∵直线过定点，且，，由图可知直线与线段有交点时，斜率满足或，解得，故选：D二、多选题9．已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的是（

）A．的一个方向向量为 B．在轴上的截距等于C．与直线垂直 D．与直线平行【答案】ACD【分析】求出直线方程，由直线方程直接判断D，由直线方程得一法向量，由法向量与方向向量的关系判断A，直线方程中令，解出为横截距，判断B，由两直线垂直的关系判断C．【详解】由题意直线的斜率为，直线方程为，即，它与直线平行，D正确；直线的一个法向量是，而，因此是直线的一个方向向量，A正确；在直线方程中令得，B错误；由于，C正确．故选：ACD．10．下列结论中正确的有（

）A．两条相交直线所成的角的范围是B．若两条相交直线所成的角为，其法向量的夹角为，则或C．若两条直线相互垂直，则其斜率之积为D．若直线与直线的夹角为，则【答案】ABD【分析】根据两直线相交时其夹角，其斜率间的关系，逐一判断可得选项.【详解】解：对于A：两条相交直线时，其所成的角的范围是，故A正确；对于B：若两条相交直线所成的角为，其法向量的夹角为，则或，故B正确；对于C：若两条直线相互垂直，则这两直线中可能其中一条直线的斜率不存在，故C不正确；对于D：设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，所以，故D正确，故答案为：ABD.11．已知是直线上一点，是l外一点，则对于以下两个方程：①，②表示的直线描述中正确的有（

）A．①表示的直线是与l重合的直线B．①表示的直线是不过点Q且与l平行的直线C．②表示的直线是与l重合的直线D．②表示的直线是过点Q与l平行的直线【答案】BD【分析】设，由①得，且，即可判断AB；又，故②化为，从而判断CD．【详解】因为是l外一点，故设所以由得，且故表示的直线是不过点Q且与l平行的直线，B正确；因为是直线上一点，则故，又所以表示的直线是过点Q与l平行的直线，D正确．故选：BD12．下列说法中，表述正确的是(

)A．向量在直线l上，则直线l的倾斜角为B．若直线l与x轴交于点A，其倾斜角为，直线l绕点A顺时针旋转后得直线，则直线的倾斜角为C．若实数、满足，，则代数式的取值范围为D．若直线、的倾斜角分别为、，则是的充要条件【答案】AC【分析】A：根据向量求出直线斜率，根据直线斜率即可求其倾斜角；B：当＜时，＜0，但直线倾斜角为非负，据此即可判断；C：可看作(x，y)与(－2，－3)连线斜率，数形结合即可判断；D：两直线垂直，则，据此即可判断．【详解】①向量在直线l上，则直线l的斜率为，故直线倾斜角为，故A正确；②若直线l与x轴交于点A，其倾斜角为，直线l绕点A顺时针旋转后得直线，则≤θ＜π时，直线的倾斜角为；当0≤＜时，直线的倾斜角为π＋()＝；故B错误；③若实数、满足，，设A(－1，4)，B(1，2)，则代数式表示线段AB上任意一点(x，y)和点C(－2，－3)连线的斜率，由图可知，，故C正确；④若直线、的倾斜角分别为、，则，，，∴，则；当时，；故是充分不必要条件，故D错误﹒故选：AC﹒三、填空题13．关于直线：，：，若，则__________.【答案】【分析】根据两直线垂直系数关系列式解决即可求解.【详解】若，则，解得.故答案为：.14．若三点共线，则a的值为_________．【答案】【分析】由三点共线得，即可求出答案.【详解】由三点共线故故答案为：.15．已知集合，，且，则实数a的值为___________.【答案】1【分析】利用已知条件可得直线与直线平行，利用线线平行的结论，代入求解即可.【详解】集合，，且，直线与直线平行，即，且，解得.故答案为：1.16．已知直线，，的斜率分别是，，，其中，且，是方程的两根，则的值为______．【答案】或【分析】解方程进而求出，，由，可得，进而可求出的值.【详解】因为，是方程的两根，所以或，又，所以，所以或．故答案为：或四、解答题17．已知直线，直线，求：当m为何值时，直线与分别有如下位置关系：相交、平行、重合．【答案】答案见详解．【分析】当时，，，l1与l2相交；当时，两直线的斜截式方程为：，，再利用两条直线的相交、平行、重合的条件即可得出．【详解】当时，，，l1与l2相交；当时，两直线的斜截式方程为：，．①当时，即m≠3，m≠﹣1且时，两直线相交，②当，且，即m＝﹣1时，两直线平行．③当，且，即m＝3时，两直线重合．综上：当m≠3，m≠﹣1时，两直线相交；当m＝﹣1时两直线平行；当m＝3时两直线重合．18．已知集合与集合，满足，求实数a的值.【答案】或【分析】由题意，可得两直线有交点，再由直线平行公式可判断得两直线重合，从而列式求解.【详解】因为，，，所以直线与有交点，因为，所以两直线重合，所以，得，解得或19．设动点，，满足，当动点P在不平行于坐标轴的直线l上移动时，动点Q在与这条直线l垂直且通过点的直线上移动，求直线l的方程．【答案】或【分析】根据l不平行于坐标轴,设出l的方程,得到，解方程求出相对应的k和b，从而求出直线l的方程即可.【详解】由l不平行于坐标轴，可设l:.Q在与这条直线l垂直且通过点(2,1)的直线l2上移动，可设l2:.将Q坐标代入得：.将,,代入上式得：.因为，所以，解得：或.所以所求直线l：或.20．已知三条直线：，：，：（是常数），.(1)若，，相交于一点，求的值；(2)若，，不能围成一个三角形，求的值：(3)若，，能围成