862直线与平面垂直的性质定理（第2课时）（精练）

8.6.2直线与平面垂直的性质定理（第2课时）（精练）A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2022·四川南充·高三统考期中）已知平面，直线、，若，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】因为，所以由，可推出，而由推不出，所以“”是“”的充分而不必要条件.故选：A.2．（2022·高一课时练习）在正方体中，直线l（与直线不重合）平面，则有（

）A． B． C．与l异面 D．与l相交【答案】B【详解】解：因为平面，且平面，直线l与直线不重合，所以．故选：B.3．（2022秋·天津津南·高二天津市咸水沽第一中学校考期末）在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，，点E为棱PC的中点，则点E到PB的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】平面，平面，∴，是直角梯形，，，，，则，，所以，，，平面，所以平面，又平面，所以，即到直线的距离是，是中点，所以到的距离等于到直线的距离的一半，即为．故选：B．4．（2022秋·河南郑州·高三安阳一中校联考阶段练习）如图，是底面为正六边形的直棱柱，则下列直线与直线不垂直的是（

）A．AE B． C． D．【答案】D【详解】如图，连接，则，因为，且，所以平面，且平面平面，所以，所以，又，所以.若，则，且，则平面，显然不成立，所以不垂直于.故选：D5．（2022秋·北京海淀·高三海淀实验中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，平面．若，则直线与平面所成的角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为平面，平面，平面，平面，所以，，，又底面是边长为a的正方形，所以，又平面，平面，所以平面，平面，所以，设到平面的距离为，直线与平面所成的角，则，所以，，所以，所以，又，所以.故选：A.6．（2022·河南商丘·校联考模拟预测）已知在四棱锥中，底面于点，且，和均是边长为2的等边三角形，则底面的面积的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：如图所示，设分别为的中点，连接，因为底面，面，所以，又因和均是边长为2的等边三角形，所以，又平面，所以平面，因为平面，所以，同理，在中，，则，同理，，在中，因为为的中点，且，所以为等腰直角三角形，且，同理为等腰直角三角形，且，设，则，则，故，所以底面的面积为.故选：A.7．（2022春·上海闵行·高一上海市七宝中学校考期末）已知四面体的棱平面，且，其余的棱长均为2，有一束平行光线垂直于平面，若四面体绕所在直线旋转，且始终在平面的上方，则它在平面内影子面积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：取的中点，连接，因为，所以，且，又平面，所以平面，又平面，所以，设点到的距离为，点到的距离为，点到的距离为，则，由，得，因为，所以影子面积的最小值为.故选：C.8．（2022秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中）已知菱形中，，AC与BD相交于点E，将沿BD折起，使顶点A至点M，在折起的过程中，对于下面两个命题：①存在一个位置，使为等边三角形；②DM与BC不可能垂直，成立的是（

）A．①为假命题，②为真命题； B．①为真命题，②为假命题；C．①②均为真命题； D．①②均为假命题【答案】B【详解】由题意知，，当四面体为正四面体时，此时为等边三角形，故①为真命题；当三棱锥是正四面体时，设顶点在底面上的投影为，连接延长交于，如图，由正四面体性质可知，是三角形中心，是中点，所以，又,平面，所以平面，又平面，所以，所以②为假命题.故选：B二、多选题9．（2022秋·河北衡水·高三校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，若，则D可能为（

）A．的中点 B．AC的中点C．的中点 D．的重心【答案】BCD【详解】设E，F分别为AC和的中点，因为是直三棱柱，所以平面ABC，平面ABC，所以，又因为，E为AC的中点，所以，因为，平面，所以平面，而平面，则，又因为，是正方形，与正方形的对角线平行，所以，又，平面BEF，所以平面BEF，因为，所以点D在平面BEF内．故选：BCD.10．（2022秋·福建·高三校联考阶段练习）如图，在边长为2的正方形中，点分别是的中点，将分别沿折起，使三点重合于点，下列说法正确的是（

）A．B．三棱锥的体积为C．点在平面的投影是的内心D．设与平面所成角分别为，则【答案】ABD【详解】联系翻折前后的位置关系可得，翻折后,平面,所以平面,又因为平面,所以，故A正确；由上述过程可知平面，且,所以,故B正确；因为两两互相垂直，,平面,所以平面,又因为平面,所以，设为点在平面上的投影，连接,则平面，平面，所以,平面，所以平面，平面,所以,同理可证,即点为三角形高线的交点，所以点在平面的投影是的垂心，故C错误，由上述过程可知，与平面所成角分别为，,由上述过程可知，所以，所以,故D正确；故选:ABD.三、填空题11．（2022秋·上海黄浦·高二校考期末）如图，在长方体中，，与所成的角为，则与平面所成角的正弦值为________【答案】##0.5【详解】因为在长方体中，，∴上下底面为正方形，连接，则，与所成的角为，∴与所形成的角为，即，∴为正方形，为正方体，设，则，因为平面，平面，所以，又平面，平面，所以平面，连接，则为直线与平面所成角，由题可知中，，，∴，即与平面所成角的正弦值为.故答案为：.12．（2022秋·湖南常德·高三湖南省桃源县第一中学校考期中）如图，已知、是球的球面上两点，，过作互相垂直的两个平面截球得到圆和圆，若，则球的表面积为______.【答案】【详解】取线段的中点，连接、、、，如下图所示：由球的几何性质可知平面，平面，因为，，则是边长为的等边三角形，因为为的中点，则，且，同理可知，因为平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，同理，因为平面，，所以，四边形为正方形，故，所以，球的半径为，因此，球的表面积为.故答案为：.四、解答题13．（2022·陕西渭南·统考一模）如图，平面，四边形为矩形，，，点是的中点，点在边上移动.(1)求三棱锥的体积；(2)证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）平面，四边形为矩形，，.（2）证明：平面，，又，且点是的中点，，又，，，平面，又平面，，由，，，平面，平面，.14．（2022秋·陕西咸阳·高二陕西咸阳中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，是正方形，平面，，分别是的中点．(1)求证：；(2)求证：平面平面．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）由平面，得，又(是正方形)，，所以平面，所以.（2）由分别是线段的中点，所以，又为正方形，，所以，又平面，所以平面.因为分别是线段的中点，所以，又平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.15．（2022秋·广东·高三统考学业考试）如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，，分别是，的中点.(1)若，求四棱锥的体积；(2)求证：平面.【答案】(1)(2)证明详见解析【详解】（1）解：∵在底面是矩形的四棱锥中，底面，，∴；（2）证明：∵四边形为矩形，∴，∵底面，面，∴，又，∴面，又，分别是，的中点，∴，∴平面.B能力提升16．（2022秋·上海长宁·高二统考阶段练习）如图，已知三棱柱的高为2，底面ABC是边长为2的正三角形．(1)求四棱锥的体积；(2)若，求证：侧面为矩形．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）三棱柱可分割成三棱锥和四棱锥两部分，三棱柱的体积，三棱锥的体积，∴四棱锥的体积.（2）取中点，连接，，∵是等边三角形，是边上的中线，∴也是边上的高，即，又∵，∴是等腰三角形，∴是边上的中线，也是边上的高，即，又∵，平面，平面，∴平面，∵平面，∴，由棱柱定义知，，，∴，四边形为平行四边形，∴侧面四边形为矩形.17．（2022·四川泸州·统考一模）如图，四棱锥中，，平面平面．(1)求证：；(2)设，点N在棱上，，求多面体的体积．【答案】(1)见详解(2)【详解】（1）因为所以为等腰三角形，为的中点所以,由平面平面，且平面平面=又平面所以平面所以.（2）因为所以由，所以平面所以,因为所以过作的延长线交于点，连接，在过作交于点，如图所示，则由平面，平面所以且所以平面，所以为四面体的高又由，所以四边形为正方形，四边形为矩形，所以,，所以在直角中，所以在中，，所以在中，由所以将，代入计算得：所以在直角中，所以即多面体的体积为.C综合素养18．（2022·黑龙江大庆·大庆中学校考二模）如图，平面，四边形为矩形，，，点是的中点，点在边上移动．(1)求三棱锥的体积；(2)证明：无论点在边的何处，都有．【答案】(1)(2)证明见解析（1）解：∵四棱锥中，底面是矩形，底面，，，点是的中点，点在边上移动，∴到平面的距离为，，∴三棱锥的体积；（2）证明：∵底面，平面，∴平面平面，∵平面平面，平面，，∴平面，而平面，∴，又，点是的中点，∴，∵，∴平面，∵无论点在边的何处，都有平面，则．19．（2022春·北京·高一北京一七一中校考阶段练习）如图平面，是矩形，，，点是的中点，点是边上的任意一点.(1)当是的中点时，线段上是