第06讲双曲线分层精练

第06讲双曲线A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023春·江西·高二校联考期中）若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】方程表示双曲线,则，解得或，故选：D2．（2023·四川成都·校考一模）已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】设双曲线的方程为，因为，所以，则，所以渐近线方程为.故选：C.3．（2023春·湖南衡阳·高二衡阳市八中校考阶段练习）已知双曲线的渐近线方程为，若双曲线C的焦点到渐近线的距离为12，则双曲线C的焦距为（

）A．30 B．24 C．15 D．12【答案】A【详解】依题意，右焦点到渐近线的距离，解得，所以双曲线C的焦距为30.故选：A.4．（2023·陕西安康·统考三模）若双曲线的渐近线与圆相切，则k=（

）A．2 B． C．1 D．【答案】B【详解】双曲线的渐近线方程为，即,∵双曲线的渐近线与圆相切，且圆心为，∴，解得．故选：B5．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知双曲线的右焦点为，点，若直线与只有一个交点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】双曲线可得，，，所以双曲线的渐近线方程为，右焦点为，因为直线与只有一个交点，所以直线与双曲线的渐近线平行，所以，解得.故选：B.6．（2023秋·安徽滁州·高三校考期末）若双曲线的两条渐近线与直线围成了一个等边三角形，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题可知，则的离心率．故选：A.7．（2023·四川绵阳·模拟预测）与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】椭圆的焦点坐标为：在双曲线中：，，所以，，，所以双曲线的方程为：.故选：B8．（2023春·陕西安康·高三校考阶段练习）已知双曲线：的左焦点为，右焦点为，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点.若，则的面积为（

）A． B．1 C． D．【答案】C【详解】因为双曲线，可知右焦点为，，又，所以点在线段的中垂线上，所以点的横坐标为，又双曲线的渐近线方程为，所以点的纵坐标为，即的高为，所以的面积为.故选：C.

二、多选题9．（2023春·安徽·高二池州市第一中学校联考阶段练习）设双曲线，其离心率为，虚轴长为，则（

）A．上任意一点到的距离之差的绝对值为定值B．双曲线与双曲线：共渐近线C．上的任意一点（不在轴上）与两顶点所成的直线的斜率之积为D．过点作直线交于两点，不可能是弦中点【答案】AB【详解】双曲线的离心率为，虚轴长为，所以，解得，所以双曲线，所以两焦点坐标分别为，由双曲线定义知，故A正确；双曲线的渐近线方程是，双曲线：的渐近线方程也是，故B正确；上的任意一点（不在轴上）设为，则，即，又两顶点为，所以斜率之积为，故C错误；易知点在双曲线的右侧，此区域内存在一条直线交于两点，使是弦中点，故D错误.故选：AB10．（2023秋·湖南长沙·高二统考期末）已知，，直线AP，BP相交于P，直线AP，BP的斜率分别为，则（

）A．当时，点的轨迹为除去A，B两点的椭圆B．当时，点的轨迹为除去A，B两点的双曲线C．当时，点的轨迹为抛物线D．当时，点的轨迹为一条直线【答案】AB【详解】设，A选项，，故，变形为，且，故点的轨迹为除去A，B两点的椭圆，A正确；B选项，，故，变形为，且，故点的轨迹为除去A，B两点的双曲线，B正确；C选项，，故，变形为，且，故点的轨迹为除去A，B两点的抛物线，C错误；D选项，，即，变形为，且，故点的轨迹为除去点的直线，D错误；故选：AB三、填空题11．（2023春·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中）已知，为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C上，，则．【答案】/【详解】，，则，，，.故答案为：.12．（2023·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）若直线与双曲线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是．【答案】【详解】双曲线的渐近线方程为，由双曲线与直线有交点，则有，所以，则双曲线的离心率的取值范围为．故答案为：．四、解答题13．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期中）已知双曲线，焦点为，其中一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上，且.(1)求双曲线的标准方程；(2)若直线交于两点，若的面积为，求正实数的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）由条件知，，故.即双曲线标准方程为.（2）设，到直线的距离为，联立得，由，解得，又，故，而又由，故弦长，，又，解得，，又，故.14．（2023秋·高二单元测试）已知双曲线与椭圆有公共焦点，它们的离心率之和为．(1)求双曲线的标准方程；(2)设P是双曲线与椭圆的一个交点，求的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意设双曲线的方程为（，），（），由椭圆得到焦点为，椭圆的离心率为.因为双曲线与椭圆有公共焦点，则，因为双曲线与椭圆的离心率之和为，所以双曲线的离心率为，则，即，所以，故双曲线的方程是.（2）由（1）结合双曲线和椭圆的定义得：，，解得：或，又，所以在由余弦定理得：，故的值为.B能力提升1．（2023春·四川广元·高二广元中学校考期中）双曲线的左焦点为F1（－c,0），过点F1作直线与圆x2＋y2＝相切于点A，与双曲线的右支交于点B，若，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】B【详解】设双曲线的右焦点为，连接，

，所以，，即，是的中点，过点作直线与圆相切于点，，是的中点，，，，，由双曲线的定义可得，，，，因此，该双曲线的离心率为.故选：B.2．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）设过原点且倾斜角为的直线与双曲线C：的左，右支分别交于A、B两点，F是C的焦点，若三角形的面积大于，则C的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】不妨设是双曲线的左焦点，由题可知，直线的方程为，由，得，且，所以，，因为，且大于，所以，所以，解得，又因为，解得，所以，故选：D．3．（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的左顶点为A，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若，则该双曲线的离心率的取值范围是.【答案】【详解】依题意可得，以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的这条渐近线方程为，由，得：或，所以，双曲线的左顶点为，则，所以，，因为，所以，化简得，所以，所以，所以，又，所以.故答案为：

4．（2023春·湖北宜昌·高二葛洲坝中学校考阶段练习）已知，是双曲线的左，右焦点，经过点且与轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点，且在第三象限，四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则该双曲线离心率的取值范围是.【答案】【详解】解：因为经过点且与轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点，且在第三象限，四边形为平行四边形，所以由双曲线的对称性可知点B也在双曲线的渐近线上，且B在第一象限，因为，所以，则，因为为直线的倾斜角，且，所以在中，，且，则，即，即，即，解得，所以该双曲线离心率的取值范围是，故答案为：C综合素养1．（2023·四川凉山·三模）已知双曲线T：的离心率为，且过点．若抛物线C：的焦点F与双曲线T的右焦点相同．(1)求抛物线C的方程；(2)过点且斜率为正的直线l与抛物线C相交于A，B两点（A在M，B之间），点N满足：，求与面积之和的最小值，并求此时直线l的方程．【答案】(1)(2)．【详解】（1）由题意得：，解之得，即双曲线的右焦点为，，所以；（2）根据题意不妨设直线l的方程为，，，，则由得∴∵，∴，又，同理，∴，当且仅当，时，“＝”成立，即，此时，直线l的方程为．2．（2023春·上海浦东新·高二统考期中）已知双曲线的实轴长为，离心率为.动点P是双曲线C上任意一点.(1