统考版2025届高考数学二轮专题闯关导练四热点问题专练热点八平面向量文含解析

PAGE热点(八)平面对量1．(平面对量基本定理)设D为△ABC的边BC的延长线上一点，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，则()A.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))D.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))2．(向量共线的坐标表示)已知向量a＝(4,2)，向量b＝(x,3)，且a∥b，则x＝()A．9B．6C．5D．33．[2024·佛山三水区试验中学模拟](平面对量的应用)长江两岸之间没有大桥的地方，经常通过轮渡进行运输．如图所示，一艘船从长江南岸A点动身，以5km/h的速度沿eq\o(AD,\s\up6(→))方向行驶，到达对岸C点，且AC与江岸AB垂直，同时江水的速度为向东3km/h，则该船实际行驶的速度大小为()A．2km/hB.eq\r(34)km/hC．4km/hD．8km/h4．[2024·安徽十四校联考](平面对量的模)已知向量a与b方向相反，a＝(1，－eq\r(3))，|b|＝2，则|a－b|＝()A．2B．4C．8D．165．[2024·四川达州一诊](平面对量平行问题)若向量a＝(4,2)，b＝(6，k)，则a∥b的充要条件是()A．k＝－12B．k＝12C．k＝－3D．k＝36．[2024·湖北八校一联](平面对量垂直问题)已知平面对量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，若λa－b与b垂直，则λ＝()A．－1B．1C．－2D．27．[2024·河北邢台模拟](平面对量的投影)已知a＝(－1，eq\r(3))，a·b＝－5，则a＋b在a方向上的投影为()A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(3,2)D.eq\f(11,4)8．[2024·广东六校二联](平面对量的夹角)设平面对量a＝(－2,1)，b＝(λ，2)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞)B．(－∞，－4)∪(－4,1)C．(1，＋∞)D．(－∞，1)9.[2024·石家庄二中三联](平面对量的数量积)如图所示，在直角梯形ABCD中，AB＝8，CD＝4，AB∥CD，AB⊥AD，E是BC的中点，则eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)))＝()A．32B．48C．80D．6410．(数量积的应用)在△ABC中，设|eq\o(AC,\s\up6(→))|2－|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，则动点M的轨迹必通过△ABC的()A．垂心B．内心C．重心D．外心11．[2024·保定市模拟考试](平面对量与数列综合)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若点A，B，C，O满意：①eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))(λ≠0)；②A，B，O确定一个平面；③eq\o(OB,\s\up6(→))＝a3eq\o(OA,\s\up6(→))＋a98eq\o(OC,\s\up6(→)).则S100＝()A．29B．40C．45D．5012．[2024·郑州一中期中](平面对量的数量积)已知|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝1，D为BC的中点，且|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，则eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的最大值为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(3,2)C.eq\r(3)D．213．[2024·武汉市摸底检测](平面对量的模)已知a，b为单位向量，且a，b的夹角为60°，则|2a－b14．(数量积)设a，b是相互垂直的单位向量，且(λa＋b)⊥(a＋2b)，则实数λ的值是________．15．[2024·云南南靖模拟](平面对量在物理中的应用)在平面直角坐标系中，力F＝(2,3)作用于一物体，使该物体从点A(2,0)移动到点B(4,0)，则力F对物体做的功为________．16．(向量的夹角)已知非零向量a，b满意|2a＋b|＝|a＋2b|＝eq\r(3)|a|，则a，b的夹角为________．热点(八)平面对量1．答案：C解析：eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，故选C.2．答案：B解析：因为向量a＝(4,2)，向量b＝(x,3)且a∥b，所以4×3＝2x，x＝6，故选B.3．答案：C解析：(以下解析中速度按向量处理)不妨设该船经过1h到达点C，由题意画出向量图如图所示，则eq\o(AD,\s\up6(→))为船速，eq\o(AB,\s\up6(→))为水速，eq\o(AC,\s\up6(→))为该船实际行驶的速度，易知|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝4.故选C.4．答案：B解析：方法一因为a＝(1，－eq\r(3))，所以|a|＝2.又向量a与b方向相反，且|b|＝2，所以a＝－b，所以|a－b|＝2|b|＝4.故选B.方法二因为a＝(1，－eq\r(3))，所以|a|＝2.又|b|＝2，所以|a－b|＝eq\r(a－b2)＝eq\r(a2－2a·b＋b2)＝eq\r(22－2×2×2cosπ＋22)＝4.故选B.5．答案：D解析：因为向量a＝(4,2)，b＝(6，k)，若a∥b，则4k－2×6＝0，解得k＝3，即a∥b⇒k＝3；反之，若k＝3，则a＝(4,2)，b＝(6,3)，所以a＝eq\f(2,3)b，所以a∥b，即k＝3⇒a∥b.故选D.6．答案：D解析：因为a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，所以λa－b＝(λ－4，－3λ＋2)．又λa－b与b垂直，所以(λa－b)·b＝4(λ－4)－2(－3λ＋2)＝0，解得λ＝2.故选D.7．答案：B解析：因为a＝(－1，eq\r(3))，所以|a|＝eq\r(1＋3)＝2.依据投影的定义可得，a＋b在a方向上的投影为eq\f(a＋b·a,|a|)＝eq\f(a2＋a·b,|a|)＝eq\f(4－5,2)＝－eq\f(1,2)，故选B.8．答案：B解析：方法一因为a与b的夹角为锐角，所以cos〈a，b〉∈(0,1)．又向量a＝(－2,1)，b＝(λ，2)，所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－2λ＋2,\r(5)·\r(λ2＋4))∈(0,1)，整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2λ＋2>0，,λ2＋8λ＋16>0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ<1，,λ≠－4，))所以λ的取值范围为(－∞，－4)∪(－4,1)．故选B.方法二因为a与b的夹角为锐角，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·b>0，,a，b不共线.))又向量a＝(－2,1)，b＝(λ，2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2λ＋2>0，,\f(λ,－2)≠\f(2,1)，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ<1，,λ≠－4，))所以λ的取值范围为(－∞，－4)∪(－4,1)．故选B.9．答案：C解析：方法一eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))，由向量的数量积的几何意义可得，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的值为|eq\o(AB,\s\up6(→))|与eq\o(AC,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))方向上的投影的乘积．因为eq\o(AC,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))方向上的投影为eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝8×4＝32.同理可得，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝8×6＝48，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)))＝32＋48＝80.故选C.方法二依题意，取AD＝4，可得|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝4eq\r(2)，∠CAB＝45°.因为E是BC的中点，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AC,\s\up6(→))))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(3,2)\o(AC,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\f(3,2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)×82＋eq\f(3,2)×8×4eq\r(2)cos45°＝80.故选C.10．答案：D解析：|eq\o(AC,\s\up6(→))|2－|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－2eq\o(AM,\s\up6(→)))＝0⇒eq\o(BC,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→)))＝eq\o(BC,\s\up6(→))·(eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＝0，设E为BC的中点，则eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＝2eq\o(ME,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))·2eq\o(ME,\s\up6(→))＝0⇒eq\o(BC,\s\up6(→))⊥eq\o(ME,\s\up6(→))⇒ME为BC的垂直平分线，∴M的轨迹必过△ABC的外心，故选D.11．答案：D解析：通解因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))(λ≠0)，所以A，B，C三点共线．又A，B，O确定一个平面，即A，B，O不共线，所以A，C，O不共线，即eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))不共线．由eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))(λ≠0)，得eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))，当λ≠－1时，eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,1＋λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(λ,1＋λ)eq\o(OC,\s\up6(→))，当λ＝－1时，eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))(舍去)．因为eq\o(OB,\s\up6(→))＝a3eq\o(OA,\s\up6(→))＋a98eq\o(OC,\s\up6(→))，所以a3＝eq\f(1,1＋λ)，a98＝eq\f(λ,1＋λ)，则a3＋a98＝1，又数列{an}为等差数列，所以a1＋a100＝a3＋a98＝1，所以S100＝eq\f(a1＋a100×100,2)＝50.故选D.优解由eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))(λ≠0)，得A，B，C三点共线，又A，B，O确定一个平面，所以A，B，C，O四点共面．依据eq\o(OB,\s\up6(→))＝a3eq\o(OA,\s\up6(→))＋a98eq\o(OC,\s\up6(→))，得a3＋a98＝1，因为数列{an}为等差数列，所以a1＋a100＝a3＋a98＝1，所以S100＝eq\f(a1＋a100×100,2)＝50，故选D.12．答案：C解析：因为|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝1，所以点A，B，C在以点O为圆心、1为半径的圆上．连接OD，以O为原点，OD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．因为|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，D为BC的中点，所以|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2).则Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2))).设A(x，y)，则eq\o(AD,