第04讲一元二次方程的解法（因式分解法6种题型）（原卷版）

第04讲一元二次方程的解法（因式分解法6种题型）1.理解用因式分解法解方程的依据.2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点）3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点）（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤①将方程右边化为0；

②将方程左边分解为两个一次式的积；

③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；

④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

（2）常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：

（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.例1．（2023秋·江苏·九年级统考期末）一元二次方程的根为（

）A．或 B．或 C．或 D．例2．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）如果满足一元二次方程，则代数式的值是______．题型1利用提公因式法例3.方程：的较小的根是（ ）A． B． C． D．例4.解关于的方程（因式分解方法）：（1）；（2）．题型2利用平方差公式例5.用因式分解法解下列方程：(2x+3)2-25＝0．例6.解关于的一元二次方程：．题型3利用完全平方公式例7.解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；题型4十字相乘法因式分解例8．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）若关于的一元二次方程的常数项为，则______．例9．（2022秋·江苏南京·九年级校考期中）已知一元二次方程的两个根分别是的两边长，则第3条边长___________．例10．（2022春·江苏淮安·九年级校考阶段练习）已知等腰三角形两边长分别是方程两根，求此等腰三角形的周长_____．例11．（2023秋·江苏无锡·九年级统考期末）三角形两边的长为3和4，第三边长是方程的根，则该三角形的周长是______．题型5：选择合适的方法解一元二次方程例12．（2022秋·江苏盐城·九年级校考期中）解方程最适当的方法是（）A．直接开方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法例13.用适当的方法解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）．题型6：换元法与因式分解综合解一元二次方程例14．（2021秋·江苏淮安·九年级统考期中）阅读下面的材料，回答问题：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为，解得，．当时，，；当时，，；原方程有四个根：，，，．仿照上面方法，解方程：．例15．（2022秋·江苏南京·九年级南师附中树人学校校考阶段练习）阅读下面的材料，回答问题：(1)将关于x的一元二次方程+bx+c＝0变形为＝﹣bx﹣c，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知﹣x﹣1＝0，用“降次法”求出﹣3x+2020的值是______．(2)解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设＝y，那么，于是原方程可变为（1），解得＝1，＝4．当y＝1时，＝1，∴x＝±1；当y＝4时，＝4，∴x＝±2；∴原方程有四个根．请你用（2）中的方法求出方程的实数解．例16．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）阅读下面的材料，解决问题：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为，解得，．当时，，∴；当时，，∴；∴原方程有四个根：，，，．请参照例题，解方程．一、单选题1．（2022秋·江苏·九年级期中）已知方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0的解是（

）A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3C．x1=2，x2=6 D．x1=﹣2，x2=﹣62．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）若关于x的一元二次方程的两根分别为，则关于x的一元二次方程的两根分别为（

）A． B．C． D．3．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）方程的根可以是（）A． B． C． D．4．（2020秋·江苏苏州·九年级统考期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（

）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021二、填空题5．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则另一个根的值是_________．6．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）已知，则的值为______．三、解答题7．（2022秋·江苏苏州·九年级统考期末）解方程：．8．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）用适当的方法解下列方程：(1)；(2)．9．（2023秋·江苏镇江·九年级统考期末）解方程：(1)；(2)．10．（2022秋·江苏·九年级期中）先阅读以下材料，再解答问题：在学习了一元二次方程的解法后，利用课后托管时间，数学兴趣小组的同学对一元四次方程x4－5x2＋4＝0的解法进行了如下探究：根据该方程的特点，可以把x2视为一个整体，然后设x2＝y，则x4＝y2，原方程可化为y2－5y＋4＝0.

①

解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2.∴原方程的解为x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.请解答问题：（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，主要利用法达到了降次的目的，体现了的数学思想；（2）仿照以上方法解方程：（x2－x）2＋（x2－x）－6＝0.11．（2023秋·江苏无锡·九年级统考期末）已知：关于x的一元二次方程(1)求证：方程总有两个实数根；(2)当k为整数______时，方程有两个不相等的正整数根．一、单选题1．（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）方程的根是（

）A． B． C． D．2．（2023·江苏南京·九年级专题练习）若关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3，x2=−5，则关于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是（

）A．， B．，C．， D．，3．（2019秋·江苏镇江·九年级校联考阶段练习）若实数满足方程，那么的值为（

）A．或4 B．4 C． D．2或4．（2023春·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如果分式的值为0，那么x的值是（）A． B． C．或 D．或05．（2021秋·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）若实数满足方程，则不同的值有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题6．（2022秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）关于的方程的根是，，那么关于的方程的根是________；7．（2022秋·江苏南京·九年级南师附中树人学校校考阶段练习）若关于x的方程的解是，，则关于y的方程的解是______．8．（2022秋·江苏常州·九年级校考阶段练习）知道方程的解是，，现给出另一个方程，则它的解是_____．9．（2022秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）已知实数a、b满足，则的值为______．10．（2022秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）若实数x满足方程（x2+2x）•（x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么x2+2x的值为________________．三、解答题11．（2022秋·江苏盐城·九年级滨海县第一初级中学校联考阶段练习）解某些高次方程或具有一定结构特点方程时，我们可以通过整体换元的方法，把方程转化为一元二次方程进行求解，从而达到降次或变复杂为简单的目的．例如：解方程（x2﹣3）2﹣5（3﹣x2）+2＝0，如果设x2﹣3＝y，∵x2﹣3＝y，∴3﹣x2＝﹣y，用y表示x后代入（x2﹣3）2﹣5（3﹣x2）+2＝0得：y2+5y+2＝0．应用：请用换元法解下列各题（1）已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝8，则x2+y2的值；（2）解方程：；（3）已知a2+ab﹣b2＝0（ab≠0），求的值．12．（2022·江苏·九年级专题练习）【阅读】小明同学遇到这样一个问题：已知关于x的方程（a、b、m为常数，）的解是，，求方程的解．他用“换元法”解决了这个问题．我们一起来看看小明同学的具体做法．解：在方程中令，则方程可变形为，根据关于x的方程的解是，，可得方程的解是，．把代入得，，把代入得，，所以方程的解是，．【理解】已知关于x的一元二次方程有两个实数根m，n．(1)关于x的方程的两根分别是______（用含有m、n的代数式表示）；(2)方程______的两个根分别是2m，2n．（答案不唯一，写出一个即可）(3)【猜想与证明】双察下表中每个方程的解的特点：方程方程的解方程方程的解，，，，，，……猜想：方程的两个根与方程______的两个根互为倒数