七年级数学 第02讲 有理数与数轴（原卷版）

第02讲有理数与数轴1.了解具有相反意义的量，正负数的概念；2.理解有理数的概念，能正确将数进行分类；3.理解数轴的概念，并能正确画出数轴,，在数轴上表示数；4.通过数轴与有理数是相互对应的，初步培养学生数学结合思想。知识点1正数和负数概念正数：大于0的数叫做正数。负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。（不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。）2.意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。知识点2：有理数概念整数：正整数、0、负整数统称为整数。分数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。）注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。2.分类：两种⑴按正、负性质分类：⑵按整数、分数分类：正有理数正整数正整数有理数正分数整数0零有理数负整数负有理数负整数分数正分数负分数负分数知识点3：数轴1.概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。三要素：原点、正方向、单位长度2.对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。3.应用求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。（注意不带“+”“—”号）考点1：正数与负数例1．（2023•黔东南州一模）在﹣3，﹣2，0，5四个数中，负数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【变式1-1】（2023•安徽模拟）数1，，0，﹣2，﹣3中正数有（）个．A．2 B．3 C．4 D．5【变式1-2】（2023•柯桥区校级模拟）下列各数中，属于负数的是（）A．8 B．5.6 C． D．【变式1-3】（2022秋•安陆市期末）写出一个﹣1与0之间的负数．考点二：相反意义量的表示例2.（2023•遵义三模）某水库4月份的最高水位超过标准水位3cm，记为+3cm，最低水位低于标准水位3cm，记为（）A．+3cm B．﹣3cm C．6cm D．0cm【变式2-1】（2023•神木市一模）手机移动支付给生活带来便捷，若张阿姨微信收入5元表示为+5元，则张阿姨微信出支3元应表示为（）A．﹣3元 B．+3元 C．﹣8元 D．+2元【变式2-2】（2023•呈贡区校级三模）2022年8月28日，微博话题#河南由夏入冬只用了一周#登上热搜，并短时间内热搜榜排名上升10名．若“热搜榜排名上升10名”记作“+10”，则“热搜榜排名下降5名”记作（）A．+5 B．﹣5 C．+10 D．﹣10例3.（2023•兴庆区校级一模）某种速冻水饺适宜的储藏温度是﹣18±2℃，以下四个冷藏柜的温度中，不适合储藏这种水饺的是（）A．﹣15℃ B．﹣17℃ C．﹣18℃ D．﹣20℃【变式3-1】（2023•衡水二模）某品牌米线的包装袋上写着“300克±4%”，则下列不可能是米线的重量的是（）A．285克 B．295克 C．304克 D．310克【变式3-2】（2023•子洲县校级一模）中考所用排球的重量有严格标准，现有四个排球，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（）A． B． C． D．【变式3-3】（2022秋•德州期末）某中学进行立定跳远测试，男生成绩合格标准定为1.85米，体育老师记录了甲、乙、丙、丁四位男生成绩如下表：（超出标准的部分记为“+”，不足标准的部分记为“﹣”），你认为立定跳远成绩最好的是（）学生甲乙丙丁成绩/米+0.25+0.45﹣0.10﹣0.25A．甲 B．乙 C．丙 D．丁考点三：相反意义的应用例4.（2023春•南岗区期中）某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）：星期一二三四五六日增减+5﹣2﹣4+13﹣10+16﹣9（1）根据记录可知前四天共生产辆；（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产辆；（3）该厂实行计件工资制，每周生产一辆自行车给工人60元，超额完成任务超额部分每辆再奖15元，少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？【变式4-1】（2023春•松江区期中）某校六年级（1）班学生在劳动课上采摘成熟的白萝卜，一共采摘了10筐，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，相等的千克数记作0，不足的千克数记作负数，称重后记录如下：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）﹣2.51.5﹣30﹣0.51﹣2﹣2﹣1.52回答下面问题：（1）这10筐白萝卜，最接近25千克的这筐白萝卜实际质量为千克．（2）以每筐25千克为标准，这10筐白萝卜总计超过或不足多少千克？（3）若白萝卜每千克售价2元，则售出这10筐白萝卜可得多少元？【变式4-2】（2022秋•和平区期末）近日市场上一种“果冻橙”比较畅销．现有8箱这种橙子，以每箱10千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如图，回答下列问题：（1）求这8箱“果冻橙”的总质量是多少千克？（2）若这种橙子每千克售价12元，则出售这8箱“果冻橙”可卖多少元？【变式4-3】（2023春•莱芜区月考）学校为了备战校园足球联赛，一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录为：+7，﹣6，+8，﹣10，+13，﹣8，﹣4（单位：米）．（1）守门员最后是否回到了球门线的位置？（2）在练习过程中，守门员离开球门线最远的距离是多少米？（3）守门员全部练习结束后一共跑了多少米？考点四：有理数的概念辨析例5.（2022秋•朝阳区期末）下面的说法中，正确的是（）A．正有理数和负有理数统称有理数 B．整数和小数统称有理数 C．整数和分数统称有理数 D．整数、零和分数统称有理数【变式5-1】（2023春•闵行区期中）有理数分为（）A．正数和负数 B．素数和合数 C．整数和分数 D．偶数和奇数【变式5-2】（2022秋•东港区校级期末）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④整数和分数统称有理数，其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【变式5-3】下列说法：①整数包括正整数和负整数；②分数包括正分数和负分数；③﹣7既是负数也是整数，但不是自然数；④O既是正整数也是负整数；⑤非负分数就是正分数．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4考点五：有理数的分类例6.（2022秋•新泰市期中）把下列各数填在相应的大括号内：﹣35，0.6，，0，，1，4.01001000…，π．正有理数：{…}；整数：{…}；负分数：{…}；非负整数：{…}．【变式6-1】（2023春•闵行区期中）在﹣15，5，﹣0.23，0，7.6，2，﹣，314%．这八个有理数中非负数有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【变式6-2】在15，﹣0.23，0，，2，，316%这几个数中，是非负数的有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【变式6-3】（2022秋•简阳市期中）把下列各数分别填入相应的集合：0，﹣3，2.，﹣0.010010001，﹣8，，15，300%．整数集合{…}；分数集合{…}；非负整数集合{…}；负数集合{…}．考点六：数轴的画法及应用例7.（2022秋•梅里斯区期末）A、B、C、D四位同学画的数轴其中正确的是（）A． B． C． D．【变式7-1】（2021秋•凉州区校级期末）判断下列图中所画的数轴正确的个数是（）个．A．0 B．1 C．2 D．3【变式7-2】（2022•苏州模拟）以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（）A． B． C． D．例8.（2022秋•自贡期末）a，b为有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示．则下列关系式正确的是（）A．﹣a＜﹣b＜b＜a B．﹣a＜b＜﹣b＜a C．﹣b＜b＜﹣a＜a D．a＜﹣b＜b＜﹣a【变式8-1】（2022秋•德州期末）点A，B在数轴上的位置如图所示，若点A，B表示的数分别为a，b，且满足a+b＞0，则下列一定是正数的为（）A．a B．﹣a C．b D．﹣b【变式8-2】（2023•大庆一模）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列关系中，正确的（）A．a＜b B．c＞b C．a＞b+c D．b﹣a＜c﹣a考点七：数轴上的点所表示的数例9.（2023春•仓山区校级期中）如图，数轴上点A表示的数可能是（）A．﹣2.01 B．﹣2.6 C．﹣3.4 D．3.3【变式9-1】（2023•景县校级模拟）如图，被墨迹污染的数可能是（）A．1.5 B．0.5 C．﹣1.5 D．﹣0.5【变式9-2】（2022秋•凤山县期末）点A、B在同一数轴上，其中点A表示的数为﹣4，若AB＝3，则点B表示的数为（）A．﹣7 B．﹣7或﹣1 C．﹣1 D．1或7【变式9-3】（2023•晋安区校级模拟）如图，数轴的单位长度是1，若点A表示的数是﹣1，则点B表示的数是（）A．1 B．2 C．3 D．4考点八：数轴中点的规律问题例10.（2022秋•南通期末）如图，A，B两点在数轴上（A在B的右侧），点A表示的数是2，AB＝6，C是线段AB的中点，则点C表示的数是．【变式10-1】（2022秋•宁强县期末）如图，数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣3和5，C是线段AB的中点，D是数轴上一点，且CD＝3，则点D表示的数为．【变式10-2】（2022秋•磁县期末）如图，数轴上有A、B、C三点，C为AB的中点，点B表示的数为2，点C表示的数为﹣1，则点A表示的数为．1．（2022•襄阳）若气温上升2℃记作+2℃，则气温下降3℃记作（）A．﹣2℃ B．+2℃ C．﹣3℃ D．+3℃2．（2022•益阳）四个实数﹣，1，2，中，比0小的数是（）A．﹣ B．1 C．2 D．3．（2022•河池）如果将“收入50元”记作“+50元”，那么“支出20元”记作（）A．+20元 B．﹣20元 C．+30元 D．﹣30元4．（2021•南京）北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间13：00，同一时刻的莫斯科时间是8：00．小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间9：00～17：00之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（）A．10：00 B．12：00 C．15：00 D．18：005．（2021•滨州）在数轴上，点A表示﹣2．若从点A出发，沿数轴的正方向移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是（）A．﹣6 B．﹣4 C．2 D．46．（2021•广州）如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且a+b＝0，若AB＝6，则点A表示的数为（）A．﹣3 B．0 C．3 D．﹣67．（2021•凉山州）下列数轴表示正确的是（）A． B． C． D．8．（2020•乐山）数轴上点A表示的数是﹣3，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B，则点B表示的数是（）A．4 B．﹣4或10 C．4或﹣10 D．﹣109．（2020•临沂）如图，数轴上点A对应的数是，将点A沿数轴向左移动2个单位至点B，则点B对应的数是（）A．﹣ B．﹣2 C． D．10．（2020•湘潭）在数轴上到原点的距离小于4的整数可以为．（任意写出一个即可）1．（2023•鄱阳县一模）下列各数中，是正数的是（）A． B．0 C．2 D．﹣52．（2023•安宁市一模）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并使用负数进行运算的国家．当前，手机移动支付已经成为新型的消费方式，节日当天妈妈收到微信红包80元记作+80元，则妈妈微信转账支付67元可以表示为（）A．+80元 B．﹣80元 C．+67元 D．﹣67元3．（2022秋•婺城区期末）手机移动支付给生活带来便捷．如图是张老师2022年12月26日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），张老师当天微信收支的最终结果是（）A．收入19.00元 B．支出10元 C．支出3.00元 D．支出22.00元4．（2023春•南岗区校级月考）下列各数中，负有理数有（）个．﹣1，2.5，，0，﹣π，120，﹣1.732，A．1 B．2 C．3 D．45．（2022秋•广阳区校级期末）下列各数：，1.010010001，，0，﹣π，﹣2.626626662…，0.，其中有理数的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．56．（2022秋•宛城区校级期末）下列说法错误的是（）A．0既不是正数，也不是负数 B．零上6摄氏度可以写成+6℃，也可以写成6℃ C．向东走一定用正数表示，向西走一定用负数表示 D．没有最小的有理数7．（2023•九台区校级模拟）如图，数轴上点A和点B分别表示数a和b，则下列式子正确的是（）​A．a＞0 B．ab＜0 C．a﹣b＞0 D．a+b＞08．（2022秋•公安县期末）在数轴上，若点A，B表示的数分别是﹣3和5，点M是线段AB的中点，则M表示的数为（）A．1 B．2 C．4 D．﹣49．（2022秋•增城区期末）若数轴上线段AB＝2，点A表示的数是﹣1，则点B表示的数是（）A．1 B．2 C．﹣3 D．﹣3或110．（2022秋•大荔县期末）如图，将刻度尺放在数轴上，刻度尺上“4cm”和“5cm”分别对应数轴上的1和0，那么刻度尺上“2.4cm”对应数轴上的数为（）A．3.6 B．3.4 C．2.4 D．2.611．（2022秋•宁陕县校级期中）把下列各数填入相应的大括号里：﹣3，3.14，﹣0.1，80，﹣25%，0，正数集合：{