《导数在实际生活中的应用》教案

1.4《导数在实际生活中的应用》教案学习目标：通过生活中优化问题的学习，体会导数在解决实际问题中的作用，促进学生全面认识数学的科学价值、应用价值和文化价值．通过实际问题的研究，促进学生分析问题、解决问题以及数学建模能力的提高．学习重难点：教学重点 如何建立数学模型来解决实际问题教学难点 如何建立数学模型来解决实际问题【新课引入】导数在实际生活中有着广泛的应用,利用导数求最值的方法,可以求出实际生活中的某些最值问题.1.几何方面的应用(面积和体积等的最值)2.物理方面的应用(功和功率等最值)3.经济学方面的应用(利润方面最值)【知识扫描】1．生活中的优化问题常见类型：费用最少省问题；利润最大问题；面积、体积最大问题.2．导数在实际生活中的应用主要是解决有关最大（小）值问题，一般应先建立好目标函数后，把问题转化为上一节研究的内容.二、例题选讲：在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？xx60cm解法一：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积.令＝0，解得x=0（舍去），x=40，并求得 V(40)=16000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16000cm3解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积．（后面同解法一，略）由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处.事实上，可导函数、在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值.变式1：在长为80cm宽50cm的长方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱子的高是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？变式2：在长为80cm宽50cm的长方形铁片，做成一个无盖的长方体箱子，使箱子的容积尽可能大，箱子的高是多少？例2．某种圆柱形饮料罐的容积一定，如何确定它的高与底半径，才能使它的用料最省？解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S=2πRh+2πR2由V=πR2h，得，则S(R)=2πR+2πR2=+2πR2令 +4πR=0解得，R=，从而h====2即h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式3：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？提示：S=2+h=V(R)=R=)=0.例3:已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为，求产量q为何值时，利润L最大？分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．解：收入利润令，即，求得唯一的极值点答：产量为84时，利润L最大.【归纳】利用导数解决优化问题的基本思路：【课内练习】练习：１、学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为.上、下两边各空2dm．左、右两边各空1dm．如何设计海报的尺寸，才能使四周空白的面积最小？，则有xy=128，（１）另设四周空白面积为Ｓ，则（２）由（１）式得：代入（２）式中得：解法二：由解法(一)得2．已知:某商品生产成本Ｃ与产量q的函数关系式为，价格p与产量q的函数关系式为.求产量q为何值时，利润L最大？3．某宾馆有５０个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为１８０元时，房间会全部住满；房间的单价每增加１０元，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆每天每间需花费２０元的各种维修费．房间定价多少时，宾馆的利润最大？解:设宾馆定价为(180＋10x)元时，宾馆的利润Ｗ最大【归纳反思】解决优化问题的方法之一：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具，其基本思路如以下流程图所示：1.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤是：（1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系；（2）求函数的导数，解方程；（3）比较函数在区间端点和使的点的数值的大小,得到最大（小）值.2.解决生活中的优化问题应当注意的问题：在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点的情形，