《解三角形应用举例》教案

解三角形应用举例适用学科数学适用年级高三适用区域新课标课时时长60分钟知识点长度、高度问题方向、角度问题方案设计问题教学目标能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.教学重点运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决实际问题的能力教学难点运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决实际问题的能力教学过程课堂导入三角形是最基本的几何图形．三角形中的数量关系，有着极其广泛的应用．在初中，我们已经能够借助于锐角三角函数解决有关直角三角形的测量问题．在实际工作中，我们还会遇到许多其它的测量问题，这些仅用锐角三角函数就不够了．如：1．怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离？2．怎样测量底部不可到达的建筑物的高度？3．怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度？4．怎样测出海上航行的轮船的航速和航向？5．怎样确定航向，才能在航速一定的情况下，尽快与一运动的物体(如轮船)相遇？等等．……这节课我们就来运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题复习预习正弦定理及其变形公式：余弦定理及其变形公式：知识讲解考点1用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．

考点2实际应用中的常用术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．方位角的范围是(0°，360°)方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度例：(1)北偏东m°：(2)南偏西n°：坡角坡面与水平面的夹角设坡角为α，坡度为i，则i＝eq\f(h,l)＝tanα坡度坡面的垂直高度h和水平宽度l的比

例题精析【例题1】【题干】如图所示，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A，B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且AB＝100m．求该河段的宽度．【解析】∵∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝60°.由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠CAB)，∴BC＝eq\f(ABsin75°,sin60°).如图，过点B作BD垂直于对岸，垂足为D，则BD的长就是该河段的宽度．在Rt△BDC中，∵∠BCD＝∠CBA＝45°，sin∠BCD＝eq\f(BD,BC)，∴BD＝BCsin45°＝eq\f(ABsin75°,sin60°)·sin45°＝eq\f(100×\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(\r(3),2))×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(256＋2\r(3),3)m，∴该河段的宽度为eq\f(256＋2\r(3),3)m.

【例题2】【题干】如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20m，求山高CD.【解析】如图如图，设CD＝xm，则AE＝(x－20)m，tan60°＝eq\f(CD,BD)，则BD＝eq\f(CD,tan60°)＝eq\f(x,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)xm.在△AEC中，x－20＝eq\f(\r(3),3)x，解得x＝10(3＋eq\r(3))m，故山高CD为10(3＋eq\r(3))m.

【例题3】【题干】如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．【解析】如题中图所示，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800⇒BC＝20eq\r(7).由正弦定理得，eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)⇒sin∠ACB＝eq\f(AB,BC)·sin∠BAC＝eq\f(\r(21),7).由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝eq\f(2\r(7),7).由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝eq\f(\r(21),14).

【例题4】【题干】如图，甲船以每小时30eq\r(2)海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10eq\r(2)海里．问：乙船每小时航行多少海里？【解析】如图，连接A1B2∵由已知A2B2＝10eq\r(2)，A1A2＝30eq\r(2)×eq\f(20,60)＝10eq\r(2)，∴A1A2＝A2B2.又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2是等边三角形，∴A1B2＝A1A2＝10eq\r(2).由已知，A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，在△A1B2B1中，由余弦定理得B1Beq\o\al(2,2)＝A1Beq\o\al(2,1)＋A1Beq\o\al(2,2)－2A1B1·A1A2·cos45°＝202＋(10eq\r(2))2－2×20×10eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝200，∴B1B2＝10eq\r(2).因此，乙船的速度为eq\f(10\r(2),20)×60＝30eq\r(2)海里/时．

课堂运用【基础】1．某人向正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好是eq\r(3)km，那么x的值为()A.eq\r(3) B．2eq\r(3)C.eq\r(3)或2eq\r(3) D．3解析：选C如图所示，设此人从A出发，则AB＝x，BC＝3，AC＝eq\r(3)，∠ABC＝30°，由余弦定理得(eq\r(3))2＝x2＋32－2x·3·cos30°，整理得x2－3eq\r(3)x＋6＝0，解得x＝eq\r(3)或2eq\r(3).2．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50m B．100mC．120m D．150m解析：选A设水柱高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝eq\r(3)h，根据余弦定理得，(eq\r(3)h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.3．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18km，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拨高度为(精确到0.1km)()A．11.4 B．6.6C．6.5 D．5.6解析：选B∵AB＝1000×1000×eq\f(1,60)＝eq\f(50000,3)m，∴BC＝eq\f(AB,sin45°)·sin30°＝eq\f(50000,3\r(2))m.∴航线离山顶h＝eq\f(50000,3\r(2))×sin75°≈11.4km.∴山高为18－11.4＝6.6km.【巩固】4.2012年10月29日，超级风暴“桑迪”袭击美国东部，如图，在灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进xm到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x＝________.解析：∵由题知，∠CBA＝75°，∠BCA＝45°，∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°，∴eq\f(x,sin45°)＝eq\f(10,sin60°).∴x＝eq\f(10\r(6),3)m.答案：eq\f(10\r(6),3)m5．(2013·铜川模拟)一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是________海里/小时．解析：如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10.在直角三角形ABC中，可得AB＝5，于是这只船的速度是eq\f(5,0.5)＝10海里/小时．答案：10【拔高】6．如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asinωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,2eq\r(3))；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.(1)求A，ω的值和M，P两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？解：(1)如图所示，连接MP.依题意，有A＝2eq\r(3)，eq\f(T,4)＝3.∵T＝eq\f(2π,ω)，∴ω＝eq\f(π,6).∴y＝2eq\r(3)sineq\f(π,6)x.当x＝4时，y＝2eq\r(3)sineq\f(2π,3)＝3，∴M(4,3)．又P(8,0)，∴MP＝eq\r(42＋32)＝5km.(2)在△MNP中，∠MNP＝120°，MP＝5，设∠PMN＝θ，则0°＜θ＜60°.∵由正弦定理得eq\f(MP,sin120°)＝eq\f(NP,sinθ)＝eq\f(MN,sin60°－θ)，∴NP＝eq\f(10\r(3),3)sinθ，MN＝eq\f(10\r(3),3)sin(60°－θ)，故NP＋MN＝eq\f(10\r(3),3)sinθ＋eq\f(10\r(3),3)sin(60°－θ)＝eq\f(10\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinθ＋\f(\r(3),2)cosθ))＝eq\f(10\r(3),3)sin(θ＋60°)．∵0°＜θ＜60°，∴当θ＝30°时，NP＋MN最大，即将∠PMN设计为30°时，才能使折线赛道MNP最长．7．为扑灭某着火点，现场安排了两支水枪，如图，D是着火点，A、B分别是水枪位置，已知AB＝15eq\r(2)m，在A处看到着火点的仰角为60°，∠ABC＝30°，∠BAC＝105°，求两支水枪的喷射距离至少是多少？解：在△ABC中，可知∠ACB＝45°，由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，解得AC＝15m.又∵∠CAD＝60°，∴AD＝30，CD＝15eq\r(3)，sin105°＝sin(45°＋60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，解得BC＝eq\f(15\r(6)＋\r(2),2)m.由