2024人教版八年级数学下册导学案

八年级（下）数学导学案

——数学教研组

教学目录

第16章二次根式（9）

16.1二次根式（2）第19章一次函数（17）

16.2二次根式的乘除（2）19.1变量与函数（6）

16.3二次根式的加减（3）变量与函数

阅读与思索海伦——秦九韶公式函数的图象

数学活动阅读与思索如何测算岩石的年龄

小结（2）19.2一次函数（7）

第17章勾股定理（9）正比例函数

17.1勾股定理（4）一次函数

阅读与思索勾股定理的证明一次函数与方程、不等式

17.2勾股定理的逆定理（3）信息技术应用用计算机画函数图象

阅读与思索费马大定理19.3课题学习选择方案（2）

数学活动数学活动

小结（2）小结⑵

第18章平行四边形（15）第20章数据的分析（12）

18.1平行四边形（7）20.1数据的集中趋势（6）

平行四边形的性质平均数

平行四边形的判定中位数和众数

18.2特殊的平行四边形（6）20.2数据的波动程度（2）

矩形阅读与思索数据波动程度的几种度量

菱形20.3课题学习

正方形体质健康测试中的数据分析（2）

试验与探究丰富多彩的正方形数学活动

数学活动小结（2）

小结（2）

其次十一章二次根式

16.1《二次根式（1）》学案

课型:上课时间：课时：

学习内容：

二次根式的概念及其运用

学习目标：

1、理解二次根式的概念，并利用&（a^O）的意义解答详细题目.

2、提出问题，依据问题给出概念，应用概念解决实际问题.

学习过程

一、自主学习

（一）、复习引入

（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：

3

问题1：已如反比例函数y=-,那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是

X

.（5G）.

问题2：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8,那么甲这次射击的方差是S?,

（二）学生学习课本学问

（三）、探究新知

I、学问：如6、回、』，都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方根的

式;子，我们就把它称二次根式.因此，一般地，我们把形如•的式子叫做二次根式，称

为•

例如：形如、、是二次根式。

形如、、不是二次根式。

2、应用举例

例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：丘、班、L、6（x>0）、4、啦、

X

-\[1x-------、y（x20,y・20）.

x+y

解：二次根式有：；不是二次根式的有：______________「

例2.当x是多少时，J57二T在实数范围内有意义？

解：由得：。

当_______时，7在实数范围内有意义.

(3)留意：1、形如:a20)的式子叫做二次根式的概念；

2、利用“&(a20)”解决详细问题

3、要使二次根式在实数范围内有意义，必需满意被开方数是非负数。

二、学生小组沟通解疑，老师点拨、拓展

例3.当x是多少时，J2X+3+」一在实数范围内有意义?

x+1

例4(1)已知y=J2-X+Jx-2+5,求工的值.(答案:2)

y

(2)若+求a2024+b2°24的值.(答案：一)

5

三、巩固练习

教材练习.

四、课堂检测

(1)＞简答题

1.下列式子中，哪些是二次根式那些不是二次根式？

-V7V7Fx8历屈=

x

(2)、填空题

1.形如的式子叫做二次根式.

2.面积为5的正方形的边长为.

(3)、综合提高题

1.某工厂要制作一批体积为In?的产品包装盒,其高为0.2m,按设计须要，•底面应做成正方形,

试问底面边长应是多少？

2.若y/3—X+JX-3有意义，则\[x~~-.

3.使式子J-(X-5)2有意义的未知数x有()个.

A.0B.1C.2D.多数

4.已知a、b为实数，且V^+2jl0-2〃=b+4,求a、b的值.

16.1《二次根式(2)》学案

课型:上课时间：课时：

学习内容：

1.4a(a20)是一个非负数；2.(\[a)2=a(aNO).

学习目标：

1、理解G(a20)是一个非负数和(JZ)2=a(a>0),并利用它进行计算和化简.

2、通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出G(a20)是一个非负数，用详细数据结合

算术平方根的意义导出(G)2=@(a>0)；最终运用结论严谨解题.

教学过程

一、自主学习

(一)复习引入

I.什么叫二次根式？

2.当a2()时，4a叫什么？当a<()时，4a有意义吗？

(二)学生学习课本学问

(三)、探究新知

I、«(a20)是一个数。(正数、负数、零)

因为>

2、重点：V(a20)是一个非负数.

3、依据算术平方根的意义填空：

(>/4)2=；(>/2)2=；(M)2=；(6)2=

同理可得：(72)2=2,()2=9,()2=3,(g)V(@)2=0,

所以|(G2=a(a20)

(4)例1计算

(5)留意：I、4a(a>0)是一个非负数；(J£)2=a(a>0)及其运用.

2、用分类思想的方法导出320)是一个丰负数；•用探究的方法导出(JZ)2=a

(a20).

二、学生小组沟通解疑，老师点拨，拓展

例2计算1.（471）2（x20）2.（V?）23.(1ci~+2a+1)

例3在实数范围内分解因式：

（1）X2-3（2）X4-4（3）2X2-3

三、巩固练习

（一）计算下列各式的值：

（V18）2=（B2=（史）2=（V0）2=

(3>/5)2-(5V3)2

V34

（二）课本P7、1

四、课堂检测

（一）、选择题

1.下列各式中后、用、〃2_］、&+从、，“+20、V-144,二次根式的个数是（）.

A.4B.3C.2D.1

（二）、填空题

1.（-6）2=.2.已知有意义，那么是一个数.

（三）、综合提高题

1.计算

(1)(V9)2(2)-(^)(3)(-3^|)2(4)(26+3&)(2右-3夜)

2.把下列非负数写成一个数的平方的形式:

1

\

3)-

(1)5=(2)3.4=z6(4)x(x^O)=

3.已知Jx-y+1+\Jx-3=0,求xy的值.

4.在实数范围内分解下列因式：

(1)x2—2(2)X4-93X2—5

16.1《二次根式(3)》学案

课型:上课时间：课时：

学习内容：J/=a(a20)

学习目标：

1、理解而'=a(a>0)并利用它进行计算和化简.

2、通过详细数据的解答，探究J/=a(a>0),并利用这个结论解决详细问题.

教学过程

一、自主学习

(一)、复习引入

1.形如JZ(a^O)的式子叫做二次根式；

2.y/a(a20)是一个非负数；3.(右＞=a(a'O).

那么，我们猜想当a20时，，了=2是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题.

(二)、自主学习

学生学习课本学问

(三)、探究新知

1、填空：依据算术平方根的意义，

万一70^=—：^7=_；肾二—；病二一；仔:一

2、重点：\[a^=a(a20)

例1化简

(1)49(2)Ji)?(3)V25(4)J(-3)2

解：(1)也=后=(2)J(-4f="=—

(3)\/25=\[5^=___(4)J(-3)2=\li^=____

3、留意：(1)J/=a(a20).(2)^只有a20时，JU=a才成立.

二、学生小组沟通解疑，老师点拨、拓展

例2填空：当a20时，〃了=：当a<0时，二，•并依据这一，性质回答下列问

题.

(I)若J/=a，则a可以是什么数？因为行=a,所以a20；

(2)若=-a,则a可以是什么数？因为必=飞，所以aWO；

(3)J/>a,则a可以是什么数？因为当aKO时病二a,要使J/>a,即使a>a所以

a不存在；当a<0时，=飞，要使>a,即使-a〉a,a《0综上，a<0

例3当x>2,化简J(x-2)2_J(l-2x)2.

三、巩固练习

教材练习

四、课堂检测

(一)、选择题

1.J(2§)2+J(—2§)~的值是().A.0B.—C.4—

(二)、填空题

1.-V0.0004=______.

2.若向^是一个正整数，则正整数m的最小值是.

三、综合提高题

I.先化简再求值：当a=9时，求a+Jl-2a+〃2的值,甲乙两人的解答如下：

甲的解答为：原式=a+=a+(1-a)=1；

乙的解答为：原式=a+“-a,=a+(a-1)=2a-l=17.

两种解答中，的解答是错误的，错误的缘由是.

2.若|1995-a|+Vtz-2000=a,求a-19952的值.

(提示：先由a-200020,推断1995-a•的值是正数还是负数，去掠肯定值)

3.若-3(xW2时，试化简|x-2|+J(x+3)2+&-10元+25。

16.2二次根式的乘除(1)

课型:上课时间：课时：

学习内容

y/a•\[b=>[ab(a)()，b20),反之•\[b(a20,b20)及其运用.

学习目标

理解&,\!b=\[ab(a20,b20),\[ab=4a•\/b(a20,b20),并利用它们进行计算和

化简

学习过程：

一、自主学习

(一)复习引入

1.填空：(1)N/4X>/9=—,74^9=—；x/4X^_x/479

(2)x/16X725=—,716x25=—；而又后_J16x25

(3)V100x>/36=—,-00x36;—.>;100X736_A/100X36(二)、探究新

知

1、学生沟通活动总结规律.

2、一般地，对二次根式的乘法规定为

布•&=・(a20,b2o|反过来：|:五•八(a20,b20)

例1.计算

(1)石义近⑵gx也(3)3娓X2而(4)y[5a・J>),

例2化简

(1)79x16(2)716x81(3)781x100(4)&2y2(5)回

二、巩固练习

②3cX2>/i0③^/^・J%y

(1)计算：①布X人

(2)化简：V20;Jii；V24;病；yl\2a2b2

(3)教材练习

三、学生小组沟通解疑，老师点拨、拓展

(一)例3.推断F列各式是否正确,，不正确的请予以改正：

(1)J(-4)x(-9)=Cx"

!5=4/—Xx/25=4712=8V3

(2)4—XV25=4X—XS

(二)归纳小结

(1)\[a•\[b=\[ab-(a20,b20),4ab=>fa•>/b(a2(),b20)及其运用.

(2)要理解疝(a<0,b<0)=,如J(-2)x(-3)=J-(-2)x-(-3)或

7(-2)x(-3)=V2^3=V2X73.

四、课堂检测

(一)、选择题

1.若直角三角形两条直角边的边长分别为Acm和JIEcm，•那么此直角三角形斜边长是

().A.3>/2cmB.36cmC.9cmD.27cm

2.化简aJ二]的结果是().A.yj—ctB.\[ciC.-yj—aD.-y/a

3.等式Jx+11=\/x2—1成立的条件是()

A.x》lB.x2-lC.TWxWlD.x2l或xWT

(二)、填空题1..

2.自由落体的公式为S=〈gt?(g为重力加速度，它的值为10m/s2),若物体下落的高度为720m,

乙

则下落的时间是.

三、综合提高题

1.一个底面为30cmX30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为正方形、

席为10cm铁桶中,当铁桶装满水时,容器中的水面下降了20cm.铁桶的底面边长是多少厘米？

16.2二次根式的乘除(2)

课型:上课时间：课时：

学习内容：

(a20,b>0),反过来（a^0b>0）及利用它们进行计算和化简.

学习目标:

(a20,b>0)和（a>0,b>0）及利用它们进行运算.

教学过程

二自主学习

（一）复习引入

1.写出二次根式的乘法规定及逆向等式.

2.填空

⑴*一也一规律：建

V16V16V16

(4)#

V81

（二）、探究新知

一般地，对二次根式的除法规定:

反过来,

下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目.

二、巩固练习

3、巩固练习

教材练习.

三、学生小组沟通解疑，老师点拨、拓展

，二5"+4的值.

1、例3.已知且X为偶数，求（I+X）

X

2、归纳小结

[ci_\[a

(1)本节课要驾驭(a>0,b>0)和(a20,b>0）及其运用.

并利用它们进行计算和化简.

四、课堂检测

（一）、选择题

1_V3_>/32_26_2旧

2.阅读下列运算过程:

网一-3'也一加*加-5

数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，请化简的结果是（).

A.2B.6C.—>/6D.娓

3

（二）、填空题

1.分母有理化：（1）—>:_____1Vio

；(2)—f==_____；(3)—『二.

3V2V122V5

2.已知x=3,y=4,z=5,那么J及+J石的最终结果是

三、综合提高题（1）

16.2二次根式的乘除（3）

课型:上课时间：课时：

学习内容

最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算.

学习目标

理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.

学习过程

一、自主学习

（一）复习引入

［、］竹/1、G小3>2显

1.计算（1）-f=,（2）-,（3）—,—

>/5=J27====

2.现在我们来看本章引言中的问题：假如两个电视塔的高分别是h.km,h2km,那么它们的传播半径

的比是.

（二）、探究新知

视察上面计算题1的最终结果，可以发觉这些式子中的二次根式有如下两个特点：

1.被开方数不含分母；

2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

我们把满意上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

那么上题中的比是否是圾筒二次根式呢？假如不是，把它们化成最简二次根式.

例1.化简：⑴3椅；(2)y]x2y^x4y2;(3)府了

例2.如图，在RtZXABC中，NC=90°,AC=2.5cm,BC=6cm,求AB的长.

二、巩固练习

教材练习

三、学生小组沟通解疑，老师点拨、拓展

1、视察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式:

1_lx(a-l)_&T一号1

V2+1(V2+l)(>/2-1)-2-1'

1_-亚)_y/3-y[2_rr5

1

同理可得:，

〃十百

从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算

(1।1।1

)(V2002+1)的值.

V2+iV3+V24+GV2002+V2001

2、归纳小结

(1).重点：最简二次根式的运用.

(2).难点关键：会推断这个二次根式是否是最简二次根式.

四、课堂检测

(一)、选择题

1.将后(y>0)化为最简二次根式是().

A.坐(y>V)B.Jxy(y>U)C.工五(y>U)D.以上都不对

2.把（a-1）J一——中根号外的（a-l）移入根号内得（）.

Va-\

A.B.\j\—ClC.—\D.-y/1-Cl

3.化简一^^2的结果是（）A.二B.--产C.D.->/2

V273V33

二、填空题1.化简，了4+寸丁=_________.々20)

2.a,-太化简二次根式号后的结果是_________.

三、综合提高题

若x、y为实数，且y='"-4+"一尸+1,求JTQ的值.

16.3二次根式的加减⑴

学习内容：

二次根式的加减

学习目标；

1、理解和驾驭二次根式加减的方法.

2、先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解.再总结阅历,

用它来指导根式的计算和化简.

学习过程

一、自主学习

(一)、复习引入

计算.(1)2x+3x；(2)2X2-3X2+5X2；(3)x+2x+3y；(4)3a2-2a2+a3

以上题目，是我们所学的同类项合并.同类项合并就是字母不变，系数相加减.

(二)、探究新知

学生活动：计算下列各式.

(1)2五+3&(2)2瓜-3瓜+5册

(3)-Jl+2V7+3x7(4)3\/3-2>/3+>/2

由此可见，二次根式的被开方数相同也是可以合并的，如27份与血表面上看是不相同的，但它们

可以合并吗？也可以.

3V2+V8=3>/2+2V2=5V23^+727=373+3^=6A/3

--------------

所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式

进行合并.

例1.计算(I)舟M(2)

例2.计算

(1)3回—9R+3配(2)(师+回)+(V12-V5)

归纳：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；

其次步，将相同的最简二次根式进行合并.

二、巩固练习教材练习

三、学生小组沟通解疑，老师点拨、拓展

1、例3.已知4x?+y2-4x-6y+10=0,求(x?J^-5x)的值.

2、归纳小结

本节课应驾驭：(1)不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；(2)相同的最简二次根式进行

合并.

重难点关键1.重点：二次根式化简为最简根式.

2.难点关键：会判定是否是最简二次杈式.

四、课堂检测

（一）、选择题

1.以下二次根式：①厄；②亚；④炳中，与G是同类二次根式的是（）.

A.①和②B.②和③C.①和④I).③和④

2.下列各式：①3g'+3=6>/J；②—币=1；③=2；二2五,其中错

7

误的有（）.

A.3个B.2个C.1个D.0个

二、填空题

1.在&、-yfl5a.2廊、J函、2屈\3疝、-2」工中,与病是同类二次根式

33a丫8

的有________.

2.计算二次根式56-3扬-76+9妍的最终结果是.

三、综合提高题

1.已知逐光2.236,求（闻-）-（，3!+1屈）的值.（结果精确到0.01）

16.3二次根式的加减⑵

学习内容：

利用二次根式化简的数学思想解应用题.

学习目标：

1、运用二次根式、化简解应用题.

2、通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题.

学习过程

一、自主学习

（一）、复习引入

上节课，我们已经学习了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次

根式化成最简二次根式；其次步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，

（二）、探究新知

例1.如图所示的RtZ\ABC中，NB=90°,点P从点B起先沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移

动；同时，点Q也从点B起先沿BC边以2埋米/杪的速度向点C移动.问：儿杪后△PBQ的面枳为35

平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）

分析：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x,BQ=2x,依据三角形

面积公式就可以求出x的值.

解：设x后APBO的面积为35平方厘米.

则有PB=x,BQ=2x

依题意，得：求解得："底

所以后秒后APB。的面枳为35平方厘米.

PQ二

答：庄秒后△PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为56厘米.

例2.要焊接如图所示的钢架，大约须要多少米钢材（精确到0.1m）?

分析：此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材，只需知道这四段的长度.

解：由勾股定理，得AB二

BC=

所需钢材长度为：AB+BC+AC+BD=

二、巩固练习

教材练习

三、学生小组沟通解疑，老师点拨、拓展

1、例3.若最简根式3弋/4〃+38与根式，是同类二次根式,求a、b的值.（

同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式〉

分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的根式；解：首

先把根式Ji正丁荷庐化为最简二次根式：

，2加一护+6从二

由题意得方程组：_________________

_________________解方程组得:

2、本节课应驾驭运用最简二次根式的合并原理解决实际问题.

四、课堂检测

（一）、选择题

1.已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5,那么斜边的长应为（）.（结果用最简二

次根式）A.5>/2B.回C.275D.以上都不对

2.小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，为了增加其稳定性，他沿长

方形的对角线乂钉上了一根木条，木条的长应为（）米.（结果同最简二次根式表示）A.13x/100

B.V13OOC.105/13D.5至

（二）、填空题（结果用最简二次根式）

1.有一长方形鱼塘，已知鱼塘长是宽的2倍，面积是IGOOnE鱼塘的宽是m.

2.已知等腰直角三角形的直角边的边长为后，那么该等腰直角三角形的周长是—.

（三）、综合提高题

1.若最简二次根式2J3〃/一2与’34团之一10是同类二次根式,求m、n的值.

3

2.同学们，我们视察下式：（&T）2=（后）2一2・1・、伤+12=2—2亚+1=3-2血

反之，3-2V2=2-2V2+1=（V2-1）2

・・・3一2四=（y/2-D2：,43_26=6T

求：（1）—+2夜;（2）“+25（3）你会算J4-J行吗?

16.3二次根式的加减（3）

学习内容：

含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、

相除；乘法公式的应用.

学习目标：

1、含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用.

2、复习整式运算学问并将该学问运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算.

学习过程

一、自主学习

（一）复习引入

1.计算（1）（2x+y）•zx==(2)(2x?y+3xy2)4-xy===

2.计算（1）（2x+3y）（2x-3y）(2)(2x+l)2+(2x-l)2

（二）、探究新知

假如把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？仍成立.

例1.计算：（1）（>/6+A/8）X6(2)(4痣-3&)+2&

例2.计算（1）（75+6）（3-V5）(2)(x/i0+V7)(Vio-V?)

二、巩固练习

课本练习

三、学生小组沟通解疑，老师点拨、拓展

1、例3.已知，X==2化简，EI—斤+死+£,并求值.

VX+1+\)Xy/x+\-\JX

解：原式一(GTT_«)2f(jm+6)2

(JX+1+y/x}{x/X4-1—yfx^(Jx+1-yfx^yjx+1+>/x)

X+1—yfx}~(JX+1+\fx}~

--------------------------十--------------------------

(x+l)-x(x+l)-x

==(x+1)+x-2Jx(x+1)+x+2Jx(x+1)

==4x+2

当X==2时J原式=4X2+2=10

2、、归纳小结

本节课应驾驭二次根式的乘、除、乘方等运算.

四、课堂检测

（一）、选择题1.(V24-3V15+2J2-)X&的值是().

D.g氏回

A.型6-3而B.3V30--V3C.2屈26

333

2.计算（4+G万）（的值是（）.A.2B.3C.4D.1

（二）、填空题1.（-1+4）2的计算结果（用最简根式表示）是________

22

2.（1-2>/3）（1+26）-（2>/3-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是

3.若x=J^T,则x?+2x+l=

4.已知a=3+20,b=3-2V2,则a?b-ab2二

三、综合提高题

石+疗

1.化简

回+9+屈+际

八”，1___X+1+JX-+X.X4-1—x/x?+Xf…_.»..1_Li、

2.当x=-j=—r时iL，求--------/+--------/、的值.（用最简二次根式表不）

V2-1x+l->/x2+xx+1+W+x

课外学问

（1）、练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）.

A.与B.与J*%，C.J嬴与«D.>/〃?+〃与\lm+n

（2）、互为有理化因式：互为有理化因式是指两个二次根式的乘积是有理数，不含有二次根式：如

273与G就是互为有理化因式；«+i与4T也是互为有理化因式.

练习：1、0+百的有理化因式是________；

2、x-的有理化因式是_________.3、2石的有理化因式是

二次根式复习课（1）

学习目标：

1.使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能娴熟地化简含二次根式的式子;

2.娴熟地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.

学习重点和难点

重点：含二次根式的式子的混合运算.

难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子.

学习过程

一、自主学习

(一)复习

1.二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件.

(1)(2)(3)

2.二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来.

乘法法则：.除法法则：

反过来:.

3.在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：

(1)a=(、瓜)*(a》0)；(2)|a|=

4.在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个口」逆的式子：

2

⑴函尸=a(a>0)-^a=(7a)(a>0)；

(2)-7ab=Va♦^/b(a^0,b>0)与石♦而=V^(a>0,b>0);

⑶/=»。)与今

^(a>0,b>0).

例如，化简看

,可以用3种方法:

⑴直接约分3=箸=立

⑵分母有理化才募="

⑶看作二次根式的除法V==、万.

5.J/不一定能化成(A5)2.

当a》0时，如(石)2=后"=(右)2,(Vo)2=府'=(Jo)2,此时，好

=(夜)2;当a<0时，正豕=厉=(血尸，但心无意义，所以正承卢(4)"此

小笈"T^(Va)2.

二、复习练习课本学问

二次根式复习课(2)

学习目标：

1.使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能娴熟地化简含二次根式的式子:

2.娴熟地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.

学习重点和难点

重点：含二次根式的式子的混合运算.

难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子.

学习过程

一、例题点讲

例1x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：

(1)73-x+Jx-2；(2)----^==；

I

(3)A/2X+J-2x；(4)—.

3x

分析：

(1)题是两个二次杈式的和，X的取值必需使两个二次根式都有意义；

(2)题中，式子的分母不能为零，即杯能取使1.必=0的值；

(3)题是两个二次杈式的和，x的取值必需使两个二次根式都有意义；

(4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必需使二次根式有意义,

同时使分母的值不等于零.

解：⑴、

(2)、

(3)、

(4)、

11

例2己知m,n为实数，且满足m=必=+已-'+上求6m.3n的值.

分析：先根据已知条件求出m与n的值，再求多项式6m・3n的值.二次根式后』

与、心区有意义的条件分别是9>0及9-n?)0,从中求得n的值，从而确定m的值.

解：

'+篁卜'-4a+1.-a]

例3IVa2-4a+3a-2Jl-a

分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式.把它们分别分解因式

后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应留意利用题中的隐含条件3刃20和1-a

>0.

解：

指出：由于二次根式的基本性质7?=同要由a的取值范围确定，即

a(a>0),

同=<

-a(a<0).

18

而,顾=7a*7b成立的条件是a>。及b：>0(a)0,b>0),因此在运用

这些性质化简含二次根式的式子时，要留意上述条件，并要阐述清晰是怎样满意这些条件

的.

、上百n+2+Jn，-4n+2-Vn2-4

计算-------7=5=+-------.ZZ

n+2+Vn2-4

例4n+2-如2-4

分析：假如把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理化再进行计算，这两种方法的运

算量都较大，依据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看作一个整体，用换元法把式子变

形，就可以使运算变为简捷.

解设a=n+2+解，-4,b=n+2-Vn2-4,那么

a+b=2(n+2),ab=(n+2)2-(n2-4)=4(n+2),

所以腹式_a+b「a?+b2_(a+»_2ab_(a+b)24(n+2)2

。际、baababab4(n+2)

三、课堂练习

1.选择题：

(l)7(a-2)2=2-a,a的取值范围是[]

A.aW2B.a22

C.aW2D.a<2

(2)x<-2时，Jx+2)2等于[]

A.x+2B.-x-2

C.-x+2D.x-2

(3)化简J(x-a。+J(x+a)，(0<x<a)等于[]

A.2xB.2a

C.-2xD.-2a

(4)把根号外面的因式移入根号内，mj[=

[]

A.7mB.正m

C•-mD•-

(5)若0<x</+1,则|x+虎p■血工豆万等于[]

A.-272-1B.2x-l

C.2点+1D.272-1

2.填空题:

⑴若匕?有意义，则x的取值范围是

⑵若亘=-1,贝Ua的取值范围是

a--------

(3)化简

(4)若飞/3m+2n与"是同类最简二次根式,则n=,m=

(5)化简J3a2b2(a〉0,b<0)=；

(6)若a>0,b<0,则同一值=______；

(7)若|x-5|+j2x+y+6=0,则3x+y・l=;

(8)若l<x<2,则J(x-2)，・J(l-x)2=；

(9)化简Mx?_y2)(x4-y4)(x〉y>0)=;

(10)(m-n)J—2----y(m〉n〉0,a<0)=

Vm-n----------

3.求,后1-工1+200必的值.

4.计算：

1.本节课复习的五个基本问题是“二次根式”这一章的主要基础学问，同学们要深刻理

解并坚固驾驭.

2.在一次根式的化简、计算及求值的过程中，应留意利用题中的使二次根式有意义的条

件(或题中的隐含条件)，即被开方数为非负数，以确定被开方数中的字母或式子的取值范围.

3.运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，肯定要留意论述每一特性质中

字母的取值范围的条件.

4.通过例题的探讨，要学会综合、敏捷运用二次根式的意义、基本性质和法则以及