统计与概率的应用练习 高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

5．4统计与概率的应用必备知识基础练1．(5分)从一群游戏的小孩中抽出k人，一人分一个苹果，让他们返回继续游戏，一会儿后，再从中任选m人，发现其中有n个小孩曾分过苹果，估计一共有小孩()A．eq\f(kn,m)人B．eq\f(km,n)人C．(k＋m－n)人D．eq\f(1,2)(k＋m－n)人2．(5分)一批产品的合格率为90%，检验员抽检时出错率为10%，则检验员抽取一件产品，检验为合格品的概率为()A．0.81B．0.82C．0.90D．0.913．(5分)有甲、乙两支女子曲棍球队，为了预测来年的情况，作了如下统计：在当年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为5.1，全年比赛进球个数的标准差为21；而乙队平均每场进球数为0.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3.那么有关来年的叙述正确的个数为()①甲队的每场进球数一定比乙队多；②估计乙队发挥比甲队稳定；③与甲队相比，估计乙队几乎每场都进球；④甲队的总进球数可能比乙队要多．A．1B．2C．3D．44．(5分)一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子(一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色)，跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输．这个规则是________的(填“公平”或“不公平”).5．(5分)为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，如200只，给每只天鹅作上记号，不影响其存活，然后放回保护区．经过适当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只．试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量为________只．6．(10分)某保险公司决定每月给推销员确定一个具体的销售目标，对推销员实行目标管理．销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此，该公司当月随机抽取了50位推销员上个月的月销售额(单位：万元)，绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)①根据图中数据，求出月销售额在[14，16)小组内的频率；②根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，能够使70%的推销员完成任务？并说明理由；(2)该公司决定从月销售额为[22，24)和[24，26]的两个小组中，选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自同一个小组的概率．关键能力综合练7.(5分)某汽车站，每天均有3辆开往省城的分上、中、下三个等级的客车．某天王先生准备从该汽车站乘车去省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，那么他乘上上等车的概率为()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,4)D．eq\f(1,6)8．(6分)(多选)张明与李华两人做游戏，则下列游戏规则中公平的是()A．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则李华获胜B．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则李华获胜C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则李华获胜D．张明、李华两人各写一个数字6或8，两人写的数字相同则张明获胜，否则李华获胜9．(6分)(多选)设M，N为两个随机事件，给出以下命题，其中正确命题为()A．若P(M)＝eq\f(1,2)，P(N)＝eq\f(1,3)，P(MN)＝eq\f(1,6)，则M，N为相互独立事件B．若P(eq\o(M,\s\up10(－)))＝eq\f(1,2)，P(N)＝eq\f(1,3)，P(MN)＝eq\f(1,6)，则M，N为相互独立事件C．若P(M)＝eq\f(1,2)，P(eq\o(N,\s\up10(－)))＝eq\f(1,3)，P(MN)＝eq\f(1,6)，则M，N为相互独立事件D．若P(M)＝eq\f(1,2)，P(N)＝eq\f(1,3)，P(eq\x\to(MN))＝eq\f(5,6)，则M，N为相互独立事件10．(5分)为了估计水库中鱼的尾数，可以先从水库中捕出2000尾鱼，给每尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合，再从水库中捕出500尾鱼，其中有40尾带有记号的鱼．根据上述数据，估计水库中鱼的尾数为________.11．(5分)如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B.转盘A被平均分成3等份，分别标上1，2，3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3，4，5，6四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏，规则如下：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏规则________(填“公平”或“不公平”)；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方公平？________．(答案不唯一)12．(10分)某医院门诊部关于病人等待挂号的时间记录如下：等待时间/min[0，5)[5，10)[10，15)[15，20)[20，25]频数48521(1)试用上述分组资料来求病人平均等待时间的估计值eq\o(x,\s\up10(－))及平均等待时间标准差的估计值s；(2)为更好地服务病人，提高效率，医院应如何规定病人等待的时间范围？核心素养升级练13.(13分)流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒的繁殖和传播．科学测定，当空气相对湿度大于65%或小于40%时，病毒繁殖滋生较快，当空气相对湿度在45%～55%，病毒死亡较快．现随机抽取了全国部分城市，获得了它们的空气月平均相对湿度共300个数据，整理得到数据分组及频数分布表，其中为了记录方便，将空气相对湿度在a%～b%时记为区间[a，b).组号12345678分组[15，25)[25，35)[35，45)[45，55)[55，65)[65，75)[75，85)[85，95)频数23153050751205(1)求上述数据中空气相对湿度使病菌死亡较快的频率；(2)从区间[15，35)的数据中任取两个数据，求恰有一个数据位于[25，35)的概率；(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中空气月平均相对湿度的平均数在第几组．(只需写出结论)14．(15分)鱼塘中养了某种鱼，到了收获季节，鱼塘主人为了了解鱼塘中鱼的情况，通过随机撒网的方式捕了200条鱼，逐个称重，发现质量(单位：g)都在[500，1000]之间，这些鱼的质量按照[500，600)，[600，700)，[700，800)，[800，900)，[900，1000]分组得到频率分布直方图如下：(1)求鱼塘中所有鱼质量的平均数的估计值；(2)根据这种鱼的市场情况，现有两种销售方案：方案一：不论鱼的大小统一定价为每100g10元；方案二：质量小于700g的鱼，每100g8元；质量在[700，800)(g)之间的鱼，每100g12元；质量不小于800g的鱼，每100g10元．方案二需要付分拣费：每100条鱼50元．请根据收入的估计值，帮该鱼塘主人选择合适的销售方案．注：频率分布直方图中每组数据取区间中点值为代表．参考答案必备知识基础练1．(5分)从一群游戏的小孩中抽出k人，一人分一个苹果，让他们返回继续游戏，一会儿后，再从中任选m人，发现其中有n个小孩曾分过苹果，估计一共有小孩()A．eq\f(kn,m)人B．eq\f(km,n)人C．(k＋m－n)人D．eq\f(1,2)(k＋m－n)人答案：B解析：设一共有x个小孩，根据概率的意义，有eq\f(n,m)≈eq\f(k,x)，所以x≈eq\f(km,n).2．(5分)一批产品的合格率为90%，检验员抽检时出错率为10%，则检验员抽取一件产品，检验为合格品的概率为()A．0.81B．0.82C．0.90D．0.91答案：B解析：∵一批产品的合格率为90%，检验员抽检时出错率为10%，∴检验员抽取一件产品，检验为合格品的概率是0.9×0.9＋0.1×0.1＝0.82.故选B.3．(5分)有甲、乙两支女子曲棍球队，为了预测来年的情况，作了如下统计：在当年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为5.1，全年比赛进球个数的标准差为21；而乙队平均每场进球数为0.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3.那么有关来年的叙述正确的个数为()①甲队的每场进球数一定比乙队多；②估计乙队发挥比甲队稳定；③与甲队相比，估计乙队几乎每场都进球；④甲队的总进球数可能比乙队要多．A．1B．2C．3D．4答案：C解析：当年由于甲队全年比赛进球个数的标准差为21，远远大于乙队进球个数的标准差0.3，说明甲队发挥不稳定，乙队发挥稳定；又当年甲队平均每场进球数5.1，远远大于乙队平均每场进球数0.8，说明当年甲队在很多场比赛中进球很少，也有很多场比赛中进球非常多，而乙队当年大部分比赛都进球，只有少部分比赛中没有进球，因此利用当年的比赛情况，可以估计来年的比赛情况：甲队的每场进球数只是可能比乙队多．所以①不正确，②③④正确．4．(5分)一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子(一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色)，跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输．这个规则是________的(填“公平”或“不公平”).答案：不公平解析：方法一把卡片六个面的颜色记为G1，G2，G3，B1，B2，B3，其中，Gi表示绿色，Bi表示蓝色(i＝1，2，3)；G3和B3是两面颜色不一样的那张卡片的颜色．游戏所有的结果可以用如图所示：不难看出，此时，样本空间中共有6个样本点，朝上的面与朝下的面颜色不一致的情况只有2种，因此乙赢的概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).因此，这个游戏不公平．方法二把三张卡片分别记为G，B，M，其中，G表示两面都是绿色的卡片，B表示两面都是蓝色的卡片，M表示一面是绿色另一面是蓝色的卡片．考虑乙抽取到卡片只有三种可能，而且只有抽到M乙才能赢，所以乙赢的概率为eq\f(1,3).因此，这个游戏不公平．5．(5分)为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，如200只，给每只天鹅作上记号，不影响其存活，然后放回保护区．经过适当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只．试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量为________只．答案：1500解析：设保护区中天鹅的数量约为n，将n的估计值记作eq\o(n,\s\up10(^)).假设每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，设事件A＝{带有记号的天鹅}，则P(A)＝eq\f(200,n).第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的统计定义可知，P(A)≈eq\f(20,150).则eq\f(200,n)≈eq\f(20,150)，解得n≈1500，即eq\o(n,\s\up10(^))＝1500.所以估计该自然保护区中约有天鹅1500只．6．(10分)某保险公司决定每月给推销员确定一个具体的销售目标，对推销员实行目标管理．销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此，该公司当月随机抽取了50位推销员上个月的月销售额(单位：万元)，绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)①根据图中数据，求出月销售额在[14，16)小组内的频率；②根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，能够使70%的推销员完成任务？并说明理由；(2)该公司决定从月销售额为[22，24)和[24，26]的两个小组中，选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自同一个小组的概率．解析：(1)①月销售额在[14，16)小组内的频率为1－2×(0.03＋0.12＋0.18＋0.07＋0.02＋0.02)＝0.12.②若要使70%的推销员能完成月销售额目标，则意味着30%的推销员不能完成该目标．根据题图所示的频率分布直方图知，[12，14)和[14，16)两组的频率之和为0.18，故估计月销售额目标应定为16＋eq\f(0.12,0.24)×2＝17万元．(2)根据频率分布直方图可知，月销售额为[22，24)和[24，26]的频率分别为0.04，0.04，则月销售额在[22，24)内的有2人，分别记为A1，A2，月销售额在[24，26]内的有2人，分别记为B1，B2，则不同的选择有：A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，一共6种情况，每一种情况都是等可能的，而2人来自同一个小组的情况有2种，所以选出的推销员来自同一个小组的概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).关键能力综合练7.(5分)某汽车站，每天均有3辆开往省城的分上、中、下三个等级的客车．某天王先生准备从该汽车站乘车去省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，那么他乘上上等车的概率为()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,4)D．eq\f(1,6)答案：B解析：上、中、下三辆车的出发顺序是任意的，有上、中、下；上、下、中；中、上、下；中、下、上；下、上、中；下、中、上，共6种情况．若第二辆车比第一辆好，有3种情况：下、中、上；下、上、中；中、上、下，符合条件的仅有2种情况；若第二辆不比第一辆好，有3种情况：中、下、上；上、中、下；上、下、中，其中仅有1种情况适合条件．所以王先生乘上上等车的概率P＝eq\f(2＋1,6)＝eq\f(1,2).8．(6分)(多选)张明与李华两人做游戏，则下列游戏规则中公平的是()A．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则李华获胜B．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则李华获胜C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则李华获胜D．张明、李华两人各写一个数字6或8，两人写的数字相同则张明获胜，否则李华获胜答案：ACD解析：A中，向上的点数为奇数与向上的点数为偶数的概率相等，A符合题意；B中，张明获胜的概率是eq\f(1,2)，而李华获胜的概率是eq\f(1,4)，故游戏规则不公平，B不符合题意；C中，扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率相等，C符合题意；D中，两人写的数字相同与两人写的数字不同的概率相等，D符合题意．9．(6分)(多选)设M，N为两个随机事件，给出以下命题，其中正确命题为()A．若P(M)＝eq\f(1,2)，P(N)＝eq\f(1,3)，P(MN)＝eq\f(1,6)，则M，N为相互独立事件B．若P(eq\o(M,\s\up10(－)))＝eq\f(1,2)，P(N)＝eq\f(1,3)，P(MN)＝eq\f(1,6)，则M，N为相互独立事件C．若P(M)＝eq\f(1,2)，P(eq\o(N,\s\up10(－)))＝eq\f(1,3)，P(MN)＝eq\f(1,6)，则M，N为相互独立事件D．若P(M)＝eq\f(1,2)，P(N)＝eq\f(1,3)，P(eq\x\to(MN))＝eq\f(5,6)，则M，N为相互独立事件答案：ABD解析：若P(M)＝eq\f(1,2)，P(N)＝eq\f(1,3)，P(MN)＝eq\f(1,6).则由相互独立事件乘法公式知M，N为相互独立事件，故A正确；若P(eq\o(M,\s\up10(－)))＝eq\f(1,2)，P(N)＝eq\f(1,3)，P(MN)＝eq\f(1,6)，则P(M)＝1－P(eq\o(M,\s\up10(－)))＝eq\f(1,2)，P(MN)＝P(M)·P(N)，由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M，N为相互独立事件，故B正确；若P(M)＝eq\f(1,2)，P(eq\o(N,\s\up10(－)))＝eq\f(1,3)，P(MN)＝eq\f(1,6)，当M，N为相互独立事件时，P(N)＝1－P(eq\o(N,\s\up10(－)))＝eq\f(2,3)，P(MN)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，故C错误；若P(M)＝eq\f(1,2)，P(N)＝eq\f(1,3)，P(eq\x\to(MN))＝eq\f(5,6)，则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知，D正确．10．(5分)为了估计水库中鱼的尾数，可以先从水库中捕出2000尾鱼，给每尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合，再从水库中捕出500尾鱼，其中有40尾带有记号的鱼．根据上述数据，估计水库中鱼的尾数为________.答案：25000解析：设水库中鱼的尾数是n，则从水库中任捕1尾鱼，得到的是带有记号的鱼的概率为eq\f(2000,n).从水库中捕出500尾鱼，其中带记号的有40尾，由此可知从混合后的水库中捕出1尾鱼，得到的是有记号的鱼的概率约为eq\f(40,500)，即eq\f(2000,n)≈eq\f(40,500)，解得n≈25000，所以估计水库中有25000尾鱼．11．(5分)如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B.转盘A被平均分成3等份，分别标上1，2，3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3，4，5，6四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏，规则如下：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏规则________(填“公平”或“不公平”)；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方公平？________．(答案不唯一)答案：不公平“和是6或7，则甲胜，否则乙胜”解析：列表如下：BA3456145672567836789由表可知，样本空间包含12个样本点，两个数字和为6包含的样本点有3个．因为P(和为6)＝eq\f(3,12)＝eq\f(1,4)，所以甲、乙获胜的概率不相等，所以这个游戏规则不公平．如果将游戏规则改为“和是6或7，则甲胜，否则乙胜”，那么此时游戏规则是公平的．12．(10分)某医院门诊部关于病人等待挂号的时间记录如下：等待时间/min[0，5)[5，10)[10，15)[15，20)[20，25]频数48521(1)试用上述分组资料来求病人平均等待时间的估计值eq\o(x,\s\up10(－))及平均等待时间标准差的估计值s；(2)为更好地服务病人，提高效率，医院应如何规定病人等待的时间范围？解析：(1)易知eq\o(x,\s\up10(－))＝eq\f(1,20)eq\i\su(i＝1,5,)xipi，s2＝eq\f(1,20)eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\o(x,\s\up10(－)))2pi，其中xi为组中值，pi为相应的频数．eq\o(x,\s\up10(－))＝eq\f(1,20)(2.5×4＋7.5×8＋12.5×5＋17.5×2＋22.5×1)＝9.5(min).s2＝eq\f(1,20)[(2.5－9.5)2×4＋(7.5－9.5)2×8＋(12.5－9.5)2×5＋(17.5－9.5)2×2＋(22.5－9.5)2×1]＝28.5(min2).s＝eq\r(28.5)≈5.34(min).∴病人平均等待时间为9.5min，标准差约为5.34min.(2)由(1)知平均等待时间为9.5min，标准差约为5.34min.∴规定病人等待的时间范围为4.16～14.84min.核心素养升级练13.(13分)流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒的繁殖和传播．科学测定，当空气相对湿度大于65%或小于40%时，病毒繁殖滋生较快，当空气相对湿度在45%～55%，病毒死亡较快．现随机抽取了全国部分城市，获得了它们的空气月平均相对湿度共300个数据，整理得到数据分组及频数分布表，其中为了记录方便，将空气相对湿度在a%～b%时记为区间[a，b).组号12345678分组[15，25)[25，35)[35，45)[45，55)[55，65)[65，75)[75，85)[85，95)频数23153050751205(1)求上述数据中空气相对湿度使病菌死亡较快的频率；(2)从区间[15，35)的数据中任取两个数据，求恰有一个数据位于[25，35)的概率；(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中空气月平均相对湿度的平均数在第几组．(只需写出结论)解析：(1)由已知，当空气相对湿度在45%～55%时，病毒死亡较快．而样本在[45，55)上的频数为30，所以所求频率为eq\f(30,300)＝eq\f(1,10).(2)设事件A为“从区间[15，35)的数据中任取两个数据，恰有一个数据位于[25，35)”．设区间[15，25)中