一元二次方程的解集及其根与系数的关系练习 高一上学期数学人教B版2019必修第一册

2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系一、选择题1.用配方法解一元二次方程x2-2x-3=0时,方程变形正确的是 ()A.(x-1)2=2 B.(x-1)2=4C.(x-1)2=1 D.(x-1)2=72.已知关于x的方程x2+x-a=0的一个根为2,则另一个根是 ()A.-3 B.-2C.3 D.63.已知集合A={x|2x2-x-3=0},B={x|ax2-x-3=0},若B⊆A,则实数a的取值集合为 ()A.{2}B.{2,0}C.2D.{2}∪-∞,-4.若关于x的方程x2-6x+2=0的两根分别是x1,x2,则1x12+1x2A.6 B.7 C.8 D.95.关于x的方程(m-1)x2+2mx+m-1=0有两个不相等的实数根的一个充分不必要条件是()A.m>12 B.m<C.m>12且m≠1 D.126.若m,n是方程x2+2023x-1=0的两个实数根,则m2n+mn2-mn= ()A.-2023 B.2023C.-2024 D.20247.设实数m,n分别满足19m2+20m+1=0,n2+20n+19=0且mn≠1,则2mn+3m+2nA.3719 B.-C.319 D.-8.(多选题)已知等腰三角形的三边长分别为a,b,3,且a,b是关于x的方程x2-8x-1+m=0的两根,则m的值可能为 ()A.15 B.16C.17 D.189.(多选题)已知关于x的方程x2-px+q=0的两实根为α,β,且以α2,β2为根的一元二次方程仍是x2-px+q=0,则数对(p,q)可能是 ()A.(0,0) B.(1,0)C.(2,1) D.(-1,1)二、填空题10.已知x+1是多项式x2-mx+3的一个因式,则m=.

11.方程1x2+1+x2+112.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-m2x+n=0的两个实数根,y1,y2是关于y的一元二次方程y2-3my+6=0的两个实数根,其中m,n是常数,且x1+y1=x2+y2=2,则8m+n=.

三、解答题13.若x1,x2是方程x2+2x-2023=0的两个根,试求下列各式的值:(1)x12+(2)1x1+(3)(x1-5)(x2-5);(4)|x1-x2|.14.[2023·上海杨浦高中高一月考](1)已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2-3x+2=0},若A∪B=B,求实数p,q满足的条件.(2)已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-(a2+1)x+a2+a=0的两根都是整数,求满足条件的整数a的值.15.若关于x的方程x2-8x+m=0的两根为x1,x2,且3x1+2x2=18,则m=.

16.已知x1,x2是关于x的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根.(1)若|x1-x2|=14,求实数k的值(2)是否存在实数k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=-32成立?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由(3)若x1x2+x2x1-2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系1.B[解析]x2-2x-3=0,移项得x2-2x=3,两边都加上1得x2-2x+1=3+1,即(x-1)2=4.故选B.2.A[解析]关于x的方程x2+x-a=0的一个根为2,设方程的另一个根为t,可得2+t=-1,解得t=-3.故选A.3.D[解析]由题得A={x|2x2-x-3=0}=-1,32.若B=∅,则a≠0且Δ=1+12a<0,解得a<-112.若B中只有一个元素,①B中的方程为一元二次方程,则Δ=1+12a=0,a≠0,解得a=-112,此时B={-6},不符合题意;②B中的方程为一元一次方程,则a=0,此时B={-3},不符合题意.当4.C[解析]因为x1,x2是方程x2-6x+2=0的两根,所以x1+x2=6,x1x2=2,所以1x12+1x22=x12+5.D[解析]由m-1≠0,Δ=(2m)2-4(m-1)2>0,解得6.D[解析]因为m,n是方程x2+2023x-1=0的两个实数根,所以m+n=-2023,mn=-1,所以m2n+mn2-mn=mn(m+n-1)=-1×(-2023-1)=2024.故选D.7.B[解析]易知n≠0,由n2+20n+19=0,得191n2+20·1n+1=0,因为19m2+20m+1=0,mn≠1,所以m,1n是方程19x2+20x+1=0的两个根.所以m+1n=-2019,mn=119,所以2mn+3m+2n=2m+2n+3mn=28.BC[解析]若3为等腰三角形的底边长,则a=b,因为a,b是关于x的方程x2-8x-1+m=0的两根,所以a+b=8,解得a=b=4,此时三角形的三边长分别为3,4,4,这样的三角形存在,所以ab=m-1=16,解得m=17.若3为等腰三角形的腰长,则a,b中有一个为3,不妨设a=3,因为a,b是关于x的方程x2-8x-1+m=0的两根,所以a+b=8,所以b=8-3=5,此时三角形的三边长分别为3,3,5,这样的三角形存在,所以ab=m-1=15,解得m=16.综上,m=17或m=16.故选BC.9.ABC[解析]根据题意得,α+β=p①,αβ=q②,α2+β2=p③,α2β2=q④,由②④可得α2β2-αβ=0,解得αβ=1或αβ=0,即q=1或q=0.由①②③及α2+β2=(α+β)2-2αβ得p2-2q=p,即p2-p-2q=0.当q=0时,p2-p=0,解得p=0或p=1,即p=0,q=0或p=1,q=0,代入原方程中可知符合题意;当q=1时,p2-p-2=0,解得p=-1或p=2,即p=2,q=1或10.-4[解析]因为x+1是多项式x2-mx+3的一个因式,所以x=-1是关于x的方程x2-mx+3=0的一个根,代入可得(-1)2+m+3=0,解得m=-4.11.3-52,3+52[解析]∵1x2+1+x2+1x2=103x,∴xx2+1+x2+1x=103.令t=xx2+1,可得t+1t=103,∴3t2-10t+3=0,∴t=3或t=13.由12.2[解析]因为y1,y2是关于y的一元二次方程y2-3my+6=0的两个实数根,所以Δ=9m2-24≥0,y1+y2=3m,y1y2=6,所以m≤-263或m≥263.因为x1,x2是关于x的一元二次方程x2-m2x+n=0的两个实数根,所以Δ=m4-4n≥0,x1+x2=m2,x1x2=n.因为x1+y1=x2+y2=2,所以x1+x2+y1+y2=2+2=4,所以m2+3m=4,解得m=-4或m=1(舍去),所以n=x1x2=(2-y113.解:由题意得x1+x2=-2,x1x2=-2023.(1)x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(-2)2-2×(-(2)1x1+1x2=x1(3)(x1-5)(x2-5)=x1x2-5(x1+x2)+25=-2023-5×(-2)+25=-1988.(4)|x1-x2|=(x1-x2)2=14.解:(1)由x2-3x+2=(x-1)(x-2)=0,解得x=1或x=2,所以B={1,2}.因为A∪B=B,所以A⊆B.若A={1,2},则1+p+q=0,4+2p+q=0,解得解得p=-4,q=4.若A=∅,则(2)由题知a≠1,(a-1)x2-(a2+1)x+a2+a=(x-a)[(a-1)x-(a+1)]=0,解得x=a或x=a+1a-1,因为a+1a-1=a-1+215.12[解析]因为关于x的方程x2-8x+m=0的两根为x1,x2,所以Δ=64-4m≥0,即m≤16,因为x且3x1+2x2=18,所以3x1+2x2=18=2(x1+x2)+x1=16+x1,所以x1=2,x2=6,所以m=x1x2=12.16.解:(1)因为x1,x2是关于x的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根,所以k≠0,(-4k)2-4×4k×(k+1)≥0,解得k<0,则x1x2=k+14k,x1+x2=--4k4k=1.因为|x1-x2|=14,所以(x1-x2)2=116,即(x1+x(2)由(1)知k<0,x1x2=k+14k,x1+x2=1,假设存在实数k,使(2