数学附解析-函数与导数（练重难） 高考数学二轮复习全程专题训练

专题二函数与导数（练重难）——高考数学二轮复习全程专题训练学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题1．已知函数是幂函数，则函数，且的图象所过定点的坐标是()A. B. C. D.1．答案：A解析：因为函数是幂函数，所以，所以，所以.令，得，此时，所以函数的图象过定点.2．已知函数的定义域为，值域为，则的最大值为()A. B. C. D.22．答案：B解析：由题意得，作出函数的图象，如图所示.令，解得或，则当，时，取得最大值，此时.3．[2024年全国高考真题]已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是()A. B. C. D.3．答案：B解析：因为函数在R上单调递增，且当时，，所以在上单调递增，所以，即；当时，，所以函数在上单调递增.若函数在R上单调递增，则，即.综上，实数a的取值范围是.故选B.4．设正实数a，b，c分别满足，则()A. B. C. D.4．答案：C解析：由，得，，，分别作函数，，，的图象，如图所示，它们与函数图象交点的横坐标分别为a，b，c，由图象可得.5．[2023秋·高一·广东汕尾·期末]若函数恰有3个零点，则实数a的取值范围为()A. B. C. D.5．答案：D解析：由，得令作出函数及的图象，如图所示.由图可知，当时，直线与函数的图象有3个交点，从而函数有3个零点.又对恒成立，即对恒成立，而，所以，所以.6．若函数和的图象上恰好有两对关于x轴对称的点，则函数和为“对偶函数”.已知，是“对偶函数”，则实数a的取值范围为()A. B. C. D.6．答案：A解析：因为，是“对偶函数”，故函数与的图象上恰好有两对关于x轴对称的点，所以，即有两解，则有两解.令，则，所以当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，且，，又，所以，即a的取值范围为.7．[2023春·高二·马鞍山市第二中学·期中]若存在，使得不等式成立，则实数m的最大值为()A.4 B. C. D.7．答案：D解析：存在，不等式存在，，令，，则.当时，，当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增，，，，即.依题意，得，所以实数m的最大值为.故选D.8．已知若关于x的方程有5个不同的实根，则实数k的取值范围为()A. B.C. D.8．答案：A解析：当时，，，令，得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，且，，当时，.当时，，，令，得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，且，当时，.作出在R上的图象，如图所示.令，则关于x的方程有5个不同的实根，可转化为有两个不同的实根，，且.不妨设，则令，则解得.二、多项选择题9．已知，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则下列说法中正确的有()A. B.C. D.若，则9．答案：ACD解析：由函数，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且满足①，可得，即②，由①②可得，.，A正确；，B错误；，，则，C正确；函数是定义在R上的奇函数，且是增函数，所以由，得，有，所以，D正确.10．已知函数.则()A.当时，B.当时，直线与函数的图象相切C.若函数在区间上单调递增，则D.若在区间上恒成立，则10．答案：ABD解析：A√当时，，则，令，得，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，所以.B√当时，，则，设切点为，则过切点的切线方程为，因为切线过原点，所以，解得，此时，所以直线与函数的图象相切.C×由函数，得，因为函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立.令，则，又，所以，函数单调递减，所以，所以.D√在区间上恒成立，等价于在区间上恒成立.当时，不等式恒成立；当时，恒成立，令，则，令，得，因为，所以，函数单调递减，所以，所以.三、填空题11．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若对任意恒成立，则实数a的取值范围为__________.11．答案：解析：当时，由是奇函数，可作出的图象.又对任意恒成立，所以的图象恒在的图象的下方，即将的图象向右平移1个单位长度后得到的图象恒在的图象的下方，如图所示，所以，解得.12．已知函数是幂函数，对任意的，，且，满足，若a，，且，则______0（填“>”“＝”或“<”）.12．答案：<解析：因为函数为幂函数，所以，即，解得或.当时，；当时，.因为函数对任意的，，且，满足，所以函数在上单调递增，所以，又，所以函数是奇函数，且为增函数，因为，所以，所以，即.故答案为：<.13．已知，若对于任意的，不等式恒成立，则实数a的最小值为__________.13．答案：解析：因为，所以可化为.令，则且等号不恒成立，所以在上单调递增.因为，，所以，，，所以可化为，则，即在上恒成立，即.令，则，令，则，令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即实数a的最小值为.四、解答题14．[2023届·四川·模拟考试]已知函数.（1）若是的极小值点，且，求实数m的取值范围；（2）若有且仅有两个零点，求实数m的取值范围.14．答案：（1）（2）解析：（1）的定义域为，由，可得.令，则，则在上单调递增，函数在上单调递减，在上单调递增，满足是的极小值点，因为，所以，可得，则，即实数m的取值范围是.（2）令，有且仅有两个零点，故有且仅有两个零点.，设，则，则为增函数.当x趋近0时，趋近，又，所以在内存在唯一的零点t，且，则，即，则.函数为增函数，所以，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.当x趋近0时，趋近，当x趋近时，趋近，因此即，因此只需满足，得，故实数m的取值范围为.15．[2024春·高一·重庆·月考]已知函数.（1）若，讨论的单调性；（2）若，求在上的最小值，并判断方程的实数根个数.15．答案：（1）在和上单调递减，在和上单调递增（2）方程只有1个实数根解析：（1）若，则.当时，，则，所以当时，，单调递减，当和时，，单调递增.当时，，则，所以在上单调递减.综上，在和上单调递减，在和上单调递增.（2）由得，若，则当时，.若，则当时，，，所以在上单调递增，所以当时，.若，则当时，，，当时，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，，，，当时，，