数学附解析-函数与导数（练基础） 高考数学二轮复习全程专题训练

专题二函数与导数（练基础）——高考数学二轮复习全程专题训练学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题1．函数的定义域为()A. B. C. D.1．答案：C解析：由题意知解得且.2．设，，，则a，b，c的大小关系为()A. B. C. D.2．答案：D解析：因为，，，所以.3．设函数若，则实数a的取值范围是()A. B. C. D.3．答案：C解析：函数的大致图象如图所示，因为，所以.当时，令，得.由函数图象可知.故选C.4．已知幂函数为偶函数，若函数在上单调，则实数a的取值范围为()A. B.C. D.4．答案：B解析：依题意有，解得或.又函数为偶函数，故为偶数，则，所以，，若单调递增，则，若单调递减，则，故或，解得或.故选：B.5．[2023春·高一·湖北孝感·开学考试]已知定义在R上的奇函数，当时，则函数的所有零点之和为()A. B. C. D.5．答案：D解析：画出函数和的大致图象，如图所示.由图可知两函数的图象共有5个交点.设其交点的横坐标从左至右分别为，，，，，则，，所以.又，，且是奇函数，所以，所以，所以，故选D.6．已知，过点可作曲线的三条切线，则实数m的取值范围是()A. B. C. D.6．答案：D解析：设切点为.，则切线方程为，整理得.把代入整理，得①.因为过点A可作三条切线，所以①有三个解.记，则.当时，，单调递减；当或时，，单调递增.所以在处取得极大值，在处取得极小值.要使有三个零点，只需且，即.7．为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要()（参考数据：，）A.15次 B.16次 C.17次 D.18次7．答案：B解析：由题意知，当时，，故，，故，由得，即，则，而，故，故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要16次，故选：B.8．已知函数，若对恒成立，则实数a的取值范围为()A. B. C. D.8．答案：A解析：由题意，函数的定义域为R，且满足，所以函数为奇函数，且，所以函数为R上的增函数.若对恒成立，则对恒成立，即对恒成立，即对恒成立.设，，可得，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即实数a的取值范围为.故选A.二、多项选择题9．将正数x用科学记数法表示为，，，则，我们把m，分别称为的首数和尾数.若将的首数记为，尾数记为，则下列说法正确的是()A. B.是周期函数C.若，则 D.若，则9．答案：AC解析：对于A，因为，所以，故A正确.对于B，若且，必有，不可能存在非零常数T，使得恒成立，不符合周期函数的定义，故B错误.设，（，）.对于C，有，，.若，则；若，则，此时，所以，故C正确.对于D，有，，；若，则；若，则，此时，所以，故D错误.10．已知函数（a为常数），则下列说法正确的是()A.若有3个零点，则B.当时，是的极值点C.当时，有唯一零点，且D.当时，恒成立10．答案：AC解析：令，则.记，则，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，所以当时，，当时，.若有3个零点，则，故A正确.当时，，令，则，所以，即在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最小值0，即，所以在R上单调递增，无极值点，故B错误.当时，，，令，则，所以，即在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最小值1，即，所以在R上单调递增，又，，所以由零点存在定理可知C正确.当时，，，故D错误.三、填空题11．已知定义在R上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为__________.11．答案：解析：由函数为偶函数，知函数的图象关于直线对称.又函数在上单调递增，知函数在上单调递减，由，知，作出函数的大致图象如图所示.因为或所以结合图象可知的解集为.12．若关于x的不等式有且只有3个正整数解，则实数a的取值范围是__________.12．答案：解析：由，不等式可化为.设，则，当时，，单调递增，当或时，，单调递减，当时，，时，.为过定点的动直线，在同一平面直角坐标系内作出函数的大致图象，如图.不等式有且只有3个正整数解，结合图像可知，只需满足解得，即当时，有且只有3个正整数解1，2，3.13．已知集合M是具有以下性质的函数的全体：对于任意s，都有，且.给出下列四个结论：①函数属于M；②函数属于M；③若，则在区间上单调递增；④若，则对任意给定的正数s，一定存在某个正数t，使得当时，恒有.其中所有正确结论的序号是________________.13．答案：②③④解析：对于①，，则，所以不属于M，所以①错误，对于②，，则当，时，，，，因为，，所以，，所以，所以，所以属于M，所以②正确，对于③，因为，所以对于任意s，都有，，且，所以，因为，所以在区间上单调递增，所以③正确，对于④，对给定的正数s，若，则取，使得当时，由③单调性恒有.若，因为对于任意s，都有，，且.所以，，同理可得，，…，，所以存在，，则取，使得当时，由③单调性恒有.综上可得④正确，故答案为：②③④四、解答题14．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若存在，使得成立，求实数m的取值范围.14．答案：（1）若，则在上单调递减，在上单调递增；若，则在上单调递减；若，则在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；若，则在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减（2）解析：（1）函数的定义域为..若，则，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增.若，令，得或，若，则对恒成立，且仅有，所以在上单调递减；若，则，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减；若，则，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减.综上，若，则在上单调递减，在上单调递增；若，则在上单调递减；若，则在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；若，则在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.（2）因为，所以，即在上单调递减，所以当时，，，所以，所以，即对恒成立.设，，则，令，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以实数m的取值范围为.15．已知函数.（1）若，求a的取值范围；（2）证明：若有两个零点，，则.15．答案：（1）（2）证明见解析解析：（1）由题意知函数的定义域为.由，可得函数在上单调递减，在上单调递增，所以.又，所以，解得，所以a的取值范围为.（2）方法一：不妨设，则由（1）知，.令，则.