2023-2024学年山东省泰安市高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年山东省泰安市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线x+3y+2=0的倾斜角为A.30° B.60° C.120° D.150°2.在等比数列{an}中，若a5aA.6 B.9 C.±6 D.±93.点P(2,3)关于直线x+y+2=0的对称点的坐标为(

)A.(−3,−2) B.(−2,−3) C.(−5,−4) D.(−4,−5)4.已知直线l的方向向量为u=(1,−2,2)，则向量a=(−1,1,2)在直线l上的投影向量坐标为(

)A.(13,−23,23)5.已知两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn和TnA.35 B.4053 C.11146.已知圆C：x2+y2=4，直线l：y=kx+m，若当k的值发生变化时，直线l被圆C所截得的弦长的最小值为2A.±2 B.±3 C.7.已知A，F分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点和左焦点，B，C是椭圆上关于原点对称的点，若直线A.23 B.12 C.8.已知直线l：y=−x2+m与曲线C：y=12A.(−2,0)∪(0,2) B.[1,二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知直线l：(a2+2a+2)x−y+2=0，a∈R，则下列结论正确的是A.若直线l与直线15ax−3y+2=0平行，则a=2B.直线l倾斜角的范围为[π4,π2)

C.当a=−1时，直线l与直线x+y=0垂直10.已知曲线x24−t+y2t−1A.若t∈(4,+∞)，则该曲线为双曲线

B.若该曲线是椭圆，则1<t<4

C.若该曲线离心率为12，则t=167

D.若该曲线为焦点在11.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AAA.三棱锥A1−PC1D的体积为定值

B.若E为DD1的中点，则直线BD1⊥平面A1C1E

C.异面直线AP与A1D所成角的正弦值的范围是[35,1]

D.直线CA.若m=20，则a9=1

B.若a6=1，则m所有可能取值的集合为{4,5,32}

C.若m=3，则a101=a2024

D.若m=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且满足a4+14.已知空间向量PA，PB，PC的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为π3，点G为△ABC的重心，则|PG|=15.已知抛物线C：y2=2px(p>0)，过其焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线交于A，B两点(A在第一象限)，若|AF|=6，则抛物线C的方程为______．16.已知圆C：(x−1)2+(y−1)2=4，过点M(2,2)的直线l与圆C交于A(x四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知递增等差数列{an}满足a1=1，且a2，a5−1，a7+1成等比数列，bn=1anan+218.(本小题12分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥CB，D为AB的中点，AC=CB=CC1=2．

(1)求证：A19.(本小题12分)

已知动点P(x,y)到直线l：y=−2的距离比到点F(0,1)的距离大1，点P的轨迹为曲线C1，曲线C2是中心在原点，以F(0,1)为焦点的椭圆，且长轴长为4．

(1)求曲线C1、C2的方程；

(2)经过点F的直线l1与曲线C1相交于A、B两点，与曲线C2相交于M、20.(本小题12分)

传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，把按照下图排列规律的数1，5，12，22，…，称为五边形数，记五边形数构成的数列为{an}，数列{bn}的前n项和为Sn，满足Sn=2−bn．

(1)求数列{an}，21.(本小题12分)

如图1，在直角梯形ABCD中，AB//DC，AB⊥BC，∠BAD=45°，AB=6，CD=2，E，F分别为AD，BC的中点，沿EF将平面EFCD折起，使二面角C−EF−B的大小为60°，如图2所示，设M，N分别为AB，BF的中点，P为线段AD上的动点(不包括端点)．

(1)求证：CN⊥AE；

(2)若直线MP与平面ADE所成角的正弦值是35，求APAD．22.(本小题12分)

已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F1(−2,0)，一条渐近线方程为y=33x，过F1作直线l与双曲线左支交于两点M，N，点P(1,0)，延长MP，NP参考答案1.D

2.A

3.C

4.D

5.B

6.C

7.B

8.D

9.BC

10.AD

11.ACD

12.BCD

13.26

14.5315.y216.4

17.解：(1)递增等差数列{an}满足a1=1，且a2，a5−1，a7+1成等比数列，

所以(a5−1)2=a2⋅(a7+1)，整理得(1+4d−1)2=(1+d)(2+6d)，

解得d=118.解：(1)连接BC1交B1C于E，连接DE，

因为侧面BCC1B1为平行四边形，所以E为BC1的中点，

又因为D为AB的中点，所以DE/​/AC1，

因为AC1⊄平面B1CD，DE⊂平面B1CD，

所以AC1/​/平面B1CD；

(2)以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，则

D(1,1,0)，B1(0,2,2)，A1(2,0,2)，

所以CD=(1,1,0),19.(1)解：由题意知，点P到直线y=−1的距离等于|PF|，

所以，点P的轨迹是以F(0,1)为焦点，y=−1为准线的抛物线，故曲线C1的方程为x2=4y．

因为椭圆C2的长轴长2a=4，F(0,1)为椭圆C2的一个焦点，则a=2，c=1，

所以，b=a2−c2=22−12=3，

所以曲线C2的方程为y24+x23=1．

(2)若直线l1的斜率不存在，则直线l1与抛物线x2=4y只有一个公共点，不合题意，

所以，直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y=kx+1，

由y=kx+1x2=4y，整理得x2−4kx−4=0，则Δ1=16k2+16>0，

设A(x1,y1)、B(x220.解：(1)由题意可知an=1n=1an−1+3n−2n≥2，

∴当n≥2时，an−an−1=3n−2；

累加得an=a1+(a2−a1)+(a3−a2)+⋯+(an−an−1)=a1+3(2+3+4+⋯+n)−2(n−1)，

=1+3(n−1)(n+2)2−2(n−1)=1+(n−1)(3n+2)2=3n2−n2(n≥2)，

当n=1时，a1=1满足上式．

∴an=3n2−n21.解：(1)证明：∵E，F分别为AD，BC的中点，∴EF//AB．

∴EF⊥FB，EF⊥FC

∵FB∩FC=F，FB，FC⊂平面BCF

∴EF⊥平面BCF，∵CN⊂平面BCF，∴EF⊥CN，

∵∠CFB是二面角C−EF−B的平面角，∴∠CFB=60°．

∵FC=FB，∴△BCF为等边三角形，

∴CN⊥BF．

∵EF∩BF=F，EF，BF⊂平面ABFE，

∴CN⊥平面ABFE，

又∵AE⊂平面ABFE，∴CN⊥AE．

(2)设AE中点为Q，由(1)知NQ，NB，NC两两垂直，以N为原点，NQ，NB，NC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

∵AB=6，CD=2，∠BAD=45°，∴CF=BF=2，

∴C(0,0,3),A(6,1,0),E(4,−1,0),D(2,0,3),M(3,1,0)，

∴AD=(−4,−1,3),AE=(−2,−2,0),MA=(3,0,0)，

设平面ADE的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅AE=0n⋅AD=0即−2x−2y=0−4x−y+3z=0，

取x=1，则y=−1,z=3∴n=(1,−1,3)，22.解：(1)由题意可知：c=2ba=33c2=a2+b2，

解得a=3,b=1，

∴双曲线E的方程为x23−y2=1．

(2)当