2024年北京平谷区五中高二（上）期中数学试题及答案

2024北京平谷五中高二（上）期中数学一、单项选择题（共小题，每小题4分，共40分），B=−，则（）A={x|xA1.已知集合−−A.B.C.D.D.2.已知a1,1b1,2-1，则a与b的夹角为（=(−),=(,)）A.B.60C.1503.下列命题中，正确的是（）.aba=baba=bA.若ab，则C.若a=b，则B.若D.若，则ab，则a=b4.从甲、乙、丙、丁四人中任选两人参加问卷调查，则甲被选中的概率是（）12132334A.B.C.D.5.2020年，全市义务教育阶段学生体质健康合格率达到98%，基础教育阶段学生优秀率达到15%以上．某学校现有小学和初中学生共2000人，为了解学生的体质健康合格情况，决定采用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为400的样本，其中被抽到的初中学生人数为180，那么这所学校的初中学生人数为（）A.800B.900C.1000D.,n，两个不同的平面,6.已知两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A.若//,m,nm⊥,n⊥m，则n/B.若，则m//nm⊥C.若⊥,=n,n⊥mD.若=n,m,m//，则m//n，则7.甲、乙两人射击，甲的命中率为0.6．乙的命中率为0.5，如果甲、乙两人各射击一次，恰有一人命中的概率为（）A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6ABCD−ABCDE,FAB,CD1上的动点，那么三棱锥F−CDE8.如图，正方体的棱长为1，分别为棱11111的体积为（）1613A.C.B.D.12239.有6个相同的球，分别标有数字，2，345，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A.甲与丙相互独立C.乙与丙相互独立B.甲与丁相互独立D.丙与丁相互独立10.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.如图，已知一个正八面体的棱长为2，M，N分别为棱，的中点，则直线BN和FM夹角的余弦值为（）511A.C.B.D.6666二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分）函数f(x)=x+3的定义域为________.12.复数1的虚部为________.−13.已知空间向量a(2,，b=(−2,x)，且a与b是共线向量，则实数x的值为_______．=−14.正四棱锥底面边长为，侧棱长为，则其体积为_____；mn是两条不同的直线，mn.则“//是两个不同平面，，”是“m//n”的______15.若条件.，，16.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.530]，样本数据分组为[17.520)，[20，22.5)[22.525)[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是_________.217.已知实验女排和育才女排两队进行比赛，在一局比赛中实验女排获胜的概率是，没有平局．若采用三3局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则实验女排获胜的概率为____．ABCD−ABCDAE上的动点且不与B重合，F为线段118.如图，在棱长为1的正方体的中点.给出下列四个命题：中，E为棱BC11111A−1AB⊥AE△F−ABB1A是正四1①三棱锥的体积为；②2；③ADF的面积为定值；④四棱锥11棱锥.其中所有正确命题的序号是________.三、解答题（共5小题，共70分）19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，PA平面⊥ABCD，E为PD的中点.（1）求证：BD平面⊥PAC；（2）求证：PB//平面.中，AB=BC=CA=PB=1，平面20.如图，三棱锥P−PAB⊥平面，点是棱的中E点，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.（1）求平面与平面ACB的夹角的余弦值.（2）求点E到面ACP的距离.6条件①：PC=；2条件②：直线与平面PAB所成角为.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.21.如图，四棱锥PABCD−的底面是直角梯形，⊥CD，AD//BC，PD⊥平面ABCD，E是的中点，与平面ADE交于点F，===2=2.（1）求证：F是的中点；（2）若M为棱PD上一点，且直线PA与平面EFM所成的角的正弦值为，求4的值.522.某球员在8场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场1主场2主场3主场42215222314128客场1客场2客场3客场4181321186571715（1）从上述比赛中随机选择一场，求该球员在本场比赛中投篮命中率超过0.5的概率；（2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求该球员的投篮命中率一场超过0.5，另一场不超过0.5的概率；（3）记x是表中8场命中率的平均数，x是表中4个主场命中率的平均数，x是表中4个客场命中率的12平均数，比较x,1,x223.手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间.为了解，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：手机编号12345A型待机时间（h）120125122124124B型待机时间（h）a123127120已知A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等.a（1）求的值；（2）从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台，求至少有1台的待机时间超过122小时的概率.参考答案一、单项选择题（共小题，每小题4分，共40分）1.【答案】C【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解即得.A={x|xB=−AB=.，，所以【详解】集合故选：C2.【答案】C【分析】利用空间向量夹角的坐标运算公式计算即可.−2−13a,b==−【详解】解：，1+11+4+12ab0,180a,b又，a,b=150.故选：C.3.【答案】C【分析】根据向量模长的定义以及向量的定义即可逐一判断.【详解】对于A;比如a=(0,0,1),b0),=a,b不相等，但a=b，故A错误；对于B;向量的模长可以有大小之分，但是向量不可以比较大小，所以B错误；对于C;向量相等，则其模长相等，方向相同，故C正确；对于D；若ab(1,0,0)，=a=b，但a,b不相等，故D错误；故选：C4.【答案】A4321C24==6中情况，甲被选中的情况点三种，故甲被选中的概率【详解】从四人中任选两人共有3612P==．故本题答案选A．5.【答案】B【分析】根据分层抽样直接得出.2000400【详解】所学校的初中学生人数为180=900，故选：B.6.【答案】D【分析】由点线面位置关系、定理及性质即可判断.【详解】对于A，如图，若//,m,n，则m//n或mn与异面，故A错误；⊥n，则由线面垂直定义n⊥m，故B错误；对于B，m，若对于C，如图，⊥,=n,n⊥m，此时m，故C错误；对于D，若=n,m,m//，则由线面平行性质定理m//n，故D正确.故选：D.7.【答案】C【分析】甲乙相互独立，而甲、乙两人中恰好有一人击中目标即为事件：AB+AB，由相互独立事件的概率乘法公式可求．【详解】设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B由题意可得，P(A)=PB=0.5()且甲乙相互独立甲、乙两人中恰好有一人击中目标即为事件：AB+AB，P(AB+AB)=0.40.5+0.60.5=0.5故选：C8.【答案】ACD//平面CDECD1F−CDE的高为正方体的棱长1，【分析】由，F在上知，三棱锥上，1111再利用棱锥的体积公式即可求解．【详解】平面CDE，F在CD1所以三棱锥F−CDE的高为正方体的棱长1，又因为E在AB上，所以以CD为底边，高为正方形的边长1，111CC=111=16由三棱锥的体积公式得F−CDE=S，1332故选：A．9.【答案】B【分析】根据独立事件概率关系逐一判断11561【详解】푃(甲)=，푃(乙)=，푃(丙)=，푃(丁)==，，66363661푃(甲丙)=0≠푃(甲)푃(丙)，푃(甲丁)==푃(甲)푃(丁)，361푃(乙丙)=故选：B≠푃(乙)푃(丙)，푃(丙丁)=0≠푃(丁)푃(丙)，36,BP()P(B)=P(AB)是否成立【点睛】判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断10.【答案】D1BN=AC−ABFM=−AD−AB，【分析】根据题意得到，然后由向量的数量积公式分别求出22BN,,，结合向量的夹角运算公式，即可求解.【详解】如图所示：由题意，可得BNANAB=−=−FM=FD+=BA+=−AD−ABACAB，，22又由正八面体的棱长都是2，且各个面都是等边三角形，在△ABD中，由AB=AD=BD=22，可得2+=BD2，所以⊥，所以2FMBN=−−AB−AB221=−ADAC+ADAB−ABAC+AB412211115=−22+0−22+22=−−1+4=；4BN=122222AC−AB=AC−ACAB+AB241=22−22+22=1−2+4=3；42FM=−AD−AB=AD+ADAB+AB2414=22+0+22=1+0+4=5；52156所以cosFM,BN==，FMBN536即直线BN和FM夹角的余弦值为.故选：D.【点睛】关键点点睛：选取适当的基底向量AB,AC,AD，由已知条件可以求出它们的模以及两两之间的夹角，所以只需把FM,BN分解，然后由向量的夹角公式即可求解.二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分）【答案】−)【分析】由题可得函数定义域.【详解】由题x+30x−3，则函数定义域为−).故答案为：−)12.【答案】2−【分析】由复数虚部定义可得答案.【详解】由题可得1的虚部为−2.故答案为：2−13.【答案】6−【分析】根据向量共线得到a=b，列出方程组，求出答案.2=1=−1=3=【详解】设a=b，则，解得：2.x=−6故答案为：614.【答案】3【分析】由正四棱锥的底面边长求出底面中心到一个顶点的距离，结合棱长，求出正四棱锥的高，然后利用体积公式进行求解．【详解】如图，正四棱锥P-ABCD中，AB=4，，设正四棱锥的高为PO，连接AO，则在直角三角形113163=1，所以V=S161=中，PO=PA2−AO2=32−(22)2，故答案为P−3．3【点睛】本题考查正棱锥的性质及棱锥的体积公式，解题的关键是熟悉正棱锥的几何性质，属基础题15.【答案】既不充分也不必要【分析】由空间中线面关系可得答案.【详解】当//时，直线m与直线n可能平行，也可能异面，则//不能推得m//n；m//n时，平面与平面可能平行也可能相交，则m//n不能推得//.则“//”是“m//n”的既不充分也不必要条件.故答案为：既不充分也不必要.16.【答案】【分析】先计算出30的频率，然后用200乘以这个频率得出所求的人数.2.50.16+0.08+0.04=0.7，故所求人数为()【详解】由图象可知，的频率之和为2000.7=140人.【点睛】本小题主要考查利用频率分布直方图求频率以及频数，考查阅读和理解能力，属于基础题.17.【答案】【分析】实验女排获胜的情况有前两局获胜；前两局胜一局，第三局获胜，这两种情况，求得概率即可.221220+2=33327()2【详解】由题知，实验女排获胜的概率为，3故答案为：18.【答案】②③④【分析】利用锥体的体积公式判断①；利用线面垂直的判定定理判断②；利用平行线的传递性及三角形面积公式判断③；利用正棱锥的定义判断④.111616A−1体积为V=V1−ABE=ABBEAA=BE【详解】对于①，三棱锥，A−11321A−1因此三棱锥体积的最大值为，①错误；6⊥ABBC⊥ABB1AAB1ABB1A平面，1对于②，连接，则，又平面，1111AB1⊥ABAB=B,AB,A1AB1⊥A平面，1则又，而，平面，则111AEAAB⊥AE，因此，②正确；11平面11对于③，设1B，连接，则GF//BE,BE//AD，GF//AD即F和G到AD的距离相等且不变，因此△ADF的面积为定值，③正确；，对于④，由//，知GF⊥平面ABB1A，又ABB1A为正方形，G为其中心，11F−ABB1A因此四棱锥是正四棱锥，④正确.1故答案为：②③④三、解答题（共5小题，共70分）19.1）证明见解析2）证明见解析）根据线面垂直的性质可得，结合线面垂直判定定理即可证明；（2）设AC与BD交于点O，连接OE，则OE//PB，结合线面平行的判定定理即可证明.【小问1⊥因为PA平面又平面ABCD为菱形，所以⊥，PAPAC，⊥ABCD，BD平面ABCD⊥，所以，又平面所以BD平面⊥PAC；【小问2E为PD的中点，设AC与BD交于点O，连接OE，则OE//PB，又OE平面，PB平面，所以PB//平面.31320.1）1315（2）10⊥PAB，选择条件①或条件②都能得到）取AB中点为D，连接CD，PD.可证明CD平面⊥AB，⊥CD，是等边三角形，据此可建立以D为原点的空间直角坐标系.求出平面与平面ACB的法向量，由空间向量知识可得答案；（2）求出平面ACP的法向量，有空间向量知识可得答案.【小问1取AB中点为D，连接CD，PD.由题可得ABC是等边三角形，则⊥，又平面PAB平面⊥，平面PAB平面PD.=，则CD平面PAB，因PD⊥平面PAB，则CD⊥633若选条件①，因PC=，=，结合CD⊥PD，可得=.2221BD=，PB=1，则△PBDPDBCPD，PBD为60.又是以为90oo的直角三角形2若选条件②，因CD平面PAB，则⊥为直线与平面PAB所成角，33因CPD45o，则△CPD为等腰直角三角形，因===，可得，22后同理可得则△PBD是以PDB为90即⊥AB，⊥CD，是等边三角形.如图延长CD，建立以D为原点的空间直角坐标系.o，PBD为60o的直角三角形.312123314A,0,0，B−,0,0，C−,0PE−,0,.则2243AC=−,−,0AE=−,0,，设平面法向量为=(푥,푦,푧)，111122443nAC=−x−1=01122()3,1,3.n1=则，取3nAE=−x+1=01414n=(0,1)2又以上分析可知PD平面ABC，则平面ABC法向量可取⊥，331313则平面与平面ACB的夹角的余弦值【小问2cos==；12133AC=−,−,0AP=−,0,，由（1）可得22223n=−x−3=0z3=01322)，则设平面PAC法向量为n3=(x,y,z，3333n=−x+123233(3,1)，又n=3AE=−,0,，取443AE2则求点E到面ACP的距离15.d==510321.1）证明见解析PMPD1434=（2）或）由线面平行的判定与性质可得//，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法由线面角公式求解即可.【小问1因为AD//BC，AD平面，平面，所以AD//平面.ADEPBC=EF，平面平面，因为AD平面所以//.所以//.ADE因为点E是PB的中点，所以点F是PC的中点.【小问2因为PD平面⊥ABCD，AD,平面ABCD，PD⊥AD,PD⊥CD所以.由⊥CD，如图建立空间直角坐标系D−xyz，则()，(B2,0)，()，()，()，()，A1,0,0C2,0P0,0,2EF→EF→→→=(1,0,0)，PD=(0,0,2)，EP=(−−1)，=1,0,2).→→=(−)，PD2,01设PM=→→→=+=(−−−).所以12→设平面EFM的一个法向量为n=(x,y,z)，−x=−−+(−)=xy12z0.n即则nM→=y=1−=(−)令z1，则，所以n2,1.→→nPA2→→n,PA==所以.→→51−2+()21|n||PA|设直线PA与平面EFM所成的角为，→→24sin=n,PA==则，5(−)+151221434==或.解得：PM1PMPD34==.所以或PD45822.1）0.52）（3）x1xx2）统计8场比赛中的投中率，即可求解，（2）根据独立事件的概率公式即可求解，（3）由平均数的定义即可结合表中数据求解.【小问1根据投篮统计数据，在8场比赛中，该球员投篮命中率超过0.5的有4场，分别是主场1，主场2，主场4，客场4．∴在随机选择的一场比赛中，该球员投篮命中率超过0