沪教版七年级数学上册-公式法-平方差公式(第1课时)

9.14公式法—平方差公式（第1课时）第9章整式七年级上册数学沪教版教学目标：1.理解平方差公式在因式分解中的作用，掌握运用平方差公式分解因式.2.经历分解因式的过程，感悟分解因式的一般步骤.教学重点与难点：理解平方差公式在因式分解中的作用,掌握运用平方差公式分解因式.如何将多项式因式分解？由乘法公式中的平方差公式，反过来，可得.如果一个多项式能写成两个数的平方差的形式，那么就可以运用平方差公式把它因式分解，它等于这两个数的和与这两个数的差的积.对于上面的例子，是否可用平方差公式分解因式？为什么？可以，因为可写为可写为，所以原式可看作两数的平方差，即：（１）公式左边：★多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（）２－（）２的形式。(2)公式右边:★结果是两个底数的和乘以这两个底数的差的形式。))((22bababa-+=-▲▲▲两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.下列多项式能用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解因式：不能能能能不能a2－

b2=(a＋

b)(a－

b)(1)a2+b2(2)a2-b2(3)a2-（-b）2=a2-b2=(a+b)(a-b)=(a+b)(a-b)(5)-a2-b2=b2-a2(4)-a2+b2=(b+a)(b-a)你有什么发现呢？))((22bababa-+=-(a+b)2

-(a-c)2=结论：公式中的a、b可以表示单项式、也可以表示多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解。[(a+b)+(a-c)][(a+b)-(a-c)]=（2a+b-c)(b+c)=（a+b+a-c)(a+b-a+c)分解因式：

(2a+b)2-(2a-b)2在使用平方差公式分解因式时，要

注意：先把要计算的式子与平方差公式对照,

明确哪个相当于a,哪个相当于

b.注意点：1.运用平方差公式分解因式的关键是要把分解的多项式看成两个数的平方差，尤其当系数是分数或小数时，要正确化为两数的平方差。2.公式a²-b²=(a+b)(a-b)中的字母a,b可以是数，也可以是单项式或多项式，要注意“整体”“换元”思想的运用。3.当要分解的多项式是两个多项式的平方时，分解成的两个因式要进行去括号化简，若有同类项，要进行合并，直至分解到不能再分解为止。例题1：分解因式：（1）多项式有何特征，如何分解因式？（1）这是一个二项式，并且可看作是两个数的平方差，可用平方差公式分解因式：典例精析（2）多项式有何特征，如何分解因式？（2）这是一个二项式，并且可看作是两个数的平方差，可用平方差公式分解因式.典例精析（3）多项式有何特征，如何分解因式？（3）如果将分别看作一个整体，这个多项式也可看作两数的平方差，可用公式法分解因式：典例精析1、把下列各式分解因式:(1)36-25x2(1)解:原式=62-(5x)2=(6+5x)(6-5x)(2)16a2-9b2(2)解:原式=(4a)2-(3b)2=(4a+3b)(4a-3b)公式中的a和b表示单项式★在使用平方差公式分解因式时，步骤为：1.变形（明确哪个相当于a,哪个相当于

b.）2.分解练一练例题2：分解因式：（1）结论：如果多项式有公因式，应先提出公因式，再利用平方差公式分解因式。(2)x4-16解:原式=(x2)2-42=(x2+4)(x2-4)★分解因式应分解到各因式都不能再分解为止.=(x2+4)(x+2)(x-2)(3)2x3-18x解：原式=2x(x+3)(x-3)=2x(x2-9)★若多项式中有公因式,应先提取公因式,然后再进一步分解因式,直到不能分解为止.综合运用，分解彻底。例题2、把下列各式分解因式:例3、把多项式9(a+b)2-4(a-b)2因式分解.解：9(a+b)2-4(a-b)2=[3(a+b)]2-[2(a-b)]2=[3(a+b)+2(a-b)][3(a+b)-2(a-b)]=(3a+3b+2a-2b)(3a+3b-2a+2b)=(5a+b)(a+5b)★平方差公式中字母a、b可以表示单项式，

也可以表示多项式。公式中的a和b表示多项式把多项式49(a-b)2-16(a+b)2因式分解.解：49(a-b)2-16(a+b)2=[7(a-b)]2-[4(a+b)]2=[7(a-b)+4(a+b)][7(a-b)-4(a+b)]=(7a-7b+4a+4b)(7a-7b-4a-4b)=(11a-3b)(3a-11b)练一练当堂练习(1)10122-9882

1.利用因式分解计算:解(1)原式=(1012+988)(1012-988)=2000×24=4800(2)9×1222-4×1332

运用因式分解，使运算更简便！(2)原式=(3×122)2-(2×133)2

=3662-2662=(366+266)(366-266)=632×100=63200“数”与“式”的相互变换2.如图，求圆环形绿地的面积S（结果保留π）。解:S=π×352-π×152=π(352-152)=π(35+15)(35-15)=

1000π(m2)

答:圆环形绿地的面积是1000πm2提公因式法运用“平方差”公式3.已知：4m+n=90，2m－3n=10，

求(m+2n)2－(3m－n)2的值。

解：(m+2n)2－(3m－n)2当4m+n=90，2m－3n=10时，原式=90×(-10)=-900因式分解整体代入=[(m+2n)+(3m－n)][(m+2n)-(3m－n)]=(m+2n+3m－n)(m+2n-3m+n)=(4m+n)(3n-2m)解：[(65x+63)+(65x-63)][(65x+63)-(65x-63)]=260(65x+63)2-(65x-63)2=260130x×126=26063x=14.解方程：32-12=9-1=8=8×1；52-32=25-9=16=8×2；72-52=49-25=24=8×3；92-72=81-49=32=8×4；......你能从上式中得出什么结论？说明理由.5.观察下列计算过程：32-12=9-1=8=8×1；52-32=25-9=16=8×2；72-52=49-25=24=8×3；92-72=81-49=32=8×4；......你能从上式中得出什么结论？说明理由.5.观察下列计算过程：解：根据上列各式得出的结论是两个连续奇数的平方差是8的整数倍.设两个连续奇数为2n+1、2n-1(n为正整数)则(2n+1)2-(2n-1)2=...=4n×2=8n故两个连续奇数2n+1、2n-1的平方差是8的整数倍.6.设n为整数，试说明(2n+1)2-25一定能被4整除。

解：(2n+1)2-25=(2n+1+5)(2n+1-5)=(2n+6)(2n-4)运用平方差公式法提公因式法∵n为整数，∴n+3和n-2均为整数，

∴4(n+3)(n-2)是4的倍数，即：(2n+1)2-25一定能被4整除=2(n+3)×2(n-2)=4(n+3)(n-2)因式分解概念形式：a2