第7讲平面向量的奔驰定理与四心问题（原卷版）

第7讲平面向量的奔驰定理与四心问题【考点分析】考点一：三角形重心的概念及向量表示①重心的概念：三角形各边中线的交点叫做重心，重心分中线长度的比为2：1．②重心的向量表示：如图所示在中，为重心证明：，所以③重心坐标公式，设，，，则△ABC的重心坐标为.考点二：三角形垂心的概念及向量表示①垂心的概念：三角形各边上高线的交点叫做垂心．②垂心的向量表示：如图所示在中，为重心证明：因为，所以，所以，同理可得，，所以为重心考点三：三角形内心的概念及向量表示①内心的概念：三角形各角平分线的交点叫做内心，内心也为三角形内切圆的圆心．②内心的向量表示：如图所示在中，为重心且考点四：三角形外心的概念及向量表示①外心的概念：三角形各边中垂线的交点叫做外心，外心也为外接圆的圆心．②外心的向量表示：若为内一点，则为的外心.考点五：奔驰定理奔驰定理：若为内一点，且满足，则、、的面积之比等于考点六：三角形四心与奔驰定理的关系及证明①是的重心：．证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得②是的内心：证明：，，（为内切圆的半径），所以，再由奔驰定理可得③是的外心：．证明：，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，所以（为外接圆的半径），同理可得，，所以，再由奔驰定理可得④是的垂心：证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得【题型目录】题型一：四心的向量表示题型二：奔驰定理的应用【典型例题】题型一：四心的向量表示【例1】已知，，在所在的平面内，且，且，则，，分别是的A．重心外心垂心 B．重心外心内心 C．外心重心垂心 D．外心重心内心【例2】已知点在所在的平面内，满足，则动点的轨迹一定通过的（

）A．内心 B．垂心 C．外心 D．重心【例3】设为的外心，若，则是的（

）A．重心（三条中线交点） B．内心（三条角平分线交点）C．垂心（三条高线交点） D．外心（三边中垂线交点）【例4】已知点是所在平面内的一定点，是平面内一动点，若，则点的轨迹一定经过的（

）A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心【例5】点为所在的平面内，给出下列关系式：①；②且；③.则点依次为的（

）A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心 C．重心、内心、外心 D．外心、垂心、重心【例6】是所在平面上的一定点，动点满足，，，则点形成的图形一定通过的垂心．（填外心或内心或重心或垂心）【例7】点是平面上一定点，、、是平面上的三个顶点，、分别是边、的对角，以下命题正确的是①②③④⑤（把你认为正确的序号全部写上）．①动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；②动点满足，则的内心一定在满足条件的点集合中；③动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；④动点满足，则的垂心一定在满足条件的点集合中；⑤动点满足，则的外心一定在满足条件的点集合中．【题型专练】1.在中，非零向量、、满足，则点是的（

）A．内心B．外心C．重心D．垂心2.设O是所在平面内一定点,P是平面内一动点,若,则点O是的A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心3．已知O是所在平面上的一点,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，若（其中P是所在平面内任意一点），则O点是的（

）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心4．已知是所在平面内一点，向量满足条件，且，则是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形5．（多选题）已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是的重心，动点P满足，则点P一定不是（

）A．边中线的中点B．边中线的三等分点（非重心）C．的重心D．边的中点6．设O为所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则正确的（

）A．O为的外心B．O为的重心C．O为的垂心D．O为的内心7．已知所在的平面上的动点满足，则直线一定经过的A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心8．（1）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的重心（填“内心”“外心”“重心”或“垂心”．（2）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的．（填“内心”“外心”“重心”或“垂心”题型二：奔驰定理【例1】（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，、、的面积分别为、、，则.若是锐角内的一点，、、是的三个内角，且点满足，则（

）A．为的垂心B．C．D．【例2】设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（

）A． B． C． D．【例3】已知O为所在平面内的一点，且满足，则的面积与的面积的比值为（

）A． B． C． D．【例4】生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．”这就是著名的欧拉线定理，在中，分别是外心、垂心和重心，为边的中点，下列四个结论：（1）；（2）；（3）；（4）正确的个数为A． B． C． D．【例5】已知，为中不同的两点，若，，则为（

）A． B． C． D．【题型专练】1.（多选题）（2022·全国·高三专题练习）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若、是锐角内的点，、、是的三个内角，且满足，，则（

）A．B．C．D．2．已知所在平面内的一点满足，则（

）A．1∶2∶3 B．1∶2∶1 C．2∶1∶1 D．1∶1∶23.已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（

）A． B． C． D．4．（多选题）已知的重心为，过点的直线与边，的交点分别为，，若，且与的面积之比为，则的可能取值为（

）A． B． C． D．35．（多选题）点在所在的平面内，（

）A．若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心B．若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心C．若，，分别表示，的面积，则D．已知三个内角，，的对边分别是，，，若，则点为的内心（内切圆圆心）6.在中，是直线上的点.若，记的面积为，的面积为，则（

）A． B． C． D．7．（多选题）已知点为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（

）A． B．直线必过边的中点C． D．若且，则8．已知为的重心，过点的直线与边分别相交于点，若,则与的面积之比为_____.9.如图，为内任意一点