2025年春九年级数学下册 期末综合测试卷（北师山西版）

年春九年级数学下册期末综合测试卷（北师山西版）一、选择题(每题3分，共30分)题序12345678910答案1.[教材P4习题T1变式]如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tanA的值是()A.eq\f(3,5)B.eq\f(3,4)C.eq\f(5,3)D.eq\f(4,3)2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，∠ACB＝18°，D为eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点，则∠DAC的度数是()A．36°B．44°C．52°D．55°3．小明在探究圆周角和圆心角之间的数量关系时，按照圆周角与圆心角的不同位置关系作出了如图所示的三个图进行探究．小明的探究过程体现的数学思想是()A．类比思想B．分类讨论思想C．函数思想D．建模思想4．[2024运城期末]如图，一艘轮船航行至O点时，测得某灯塔A位于它的北偏东40°方向，且它与灯塔A相距13海里，继续沿正东方向航行，航行至点B处时，测得灯塔A恰好在它的正北方向，则AB的距离可表示为()A．13cos40°海里B．13sin40°海里C.eq\f(13,sin50°)海里D.eq\f(13,cos50°)海里5．将二次函数y＝x2＋6x－1化为y＝a(x－h)2＋k的形式为()A．y＝(x－3)2－8B．y＝(x＋3)2－8C．y＝(x－3)2－10D．y＝(x＋3)2－106．[2024运城期末]将抛物线y＝x2－2x＋3向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的表达式为()A．y＝(x＋2)2＋4B．y＝(x－4)2＋4C．y＝(x＋2)2D．y＝(x－4)2＋67．已知⊙O内有一点P，过点P的所有弦中，最长的为10，最短的为8，则OP的长为()A．6B．5C．4D．38．如图，⊙A过O，D，C，B四点，连接CO，CD，若∠DCO＝30°，点B的坐标为(4，0)，则点D的坐标为()A．(0，2)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4\r(3),3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(8\r(3),3)))D．(0，3)9.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C，D，O都在格点(小正方形的顶点)上，若eq\o(AB,\s\up8(︵))和eq\o(CD,\s\up8(︵))所在圆的圆心均为点O，则阴影部分的面积为()A．2π－2B．π－2C．2πD．π10．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，其对称轴是直线x＝－1，且过点(－3，0)，下列结论：①abc<0；②2a－b＝0；③方程ax2＋bx＋c－1＝0有两个相等的实数根；④a＋c<0；⑤若(－2，y1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，y2))是图象上的两点，则y1>y2.其中正确的是()A．①②④B．②③④C．③④⑤D．①③⑤二、填空题(每小题3分，共15分)11.[教材P39例1变式]抛物线y＝2x2－4x＋3的对称轴是____________．12．如图，P是⊙O外一点，过P引⊙O的切线PA，PB，若∠APB＝48°，则∠AOB＝________°.13．[2024阳泉期末]如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中eq\o(AB,\s\up8(︵))的长为________cm(结果保留π)．14．如图，△ABC内接于⊙O，连接OA，OB.若∠OAB＝65°，则∠ACB的度数为________．15.太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i＝5∶12(i为铅直高度与水平宽度的比)．王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为________米．三、解答题(本大题共8个小题，共75分)16．(5分)计算：(1)|－3|＋eq\r(3)·tan30°－38－(2025－π)0；(2)tan260°－2sin30°－2cos45°.17．(8分)如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，∠ACD＝45°，∠DCB＝60°，CD＝40，求AB的长．18．(8分)[2024大同联考]项目化学习：某校“项目化学习”小组的同学把“测量风力发电叶片长度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并制作了如下活动报告．项目测量风力发电叶片长度调查方式资料查阅、电力部门走访、实地查看了解调查内容目的测量风力发电叶片长度材料测角仪，皮尺等风车安装示意图相关数据及说明：小明首先通过C处的铭牌简介得知风车杆BC的高度为95m，然后沿水平方向走到D处，再沿着斜坡DE走了25m到达E处观察风叶，风叶AB在如图所示的铅垂方向，测得点A的仰角为68°，风叶A′B在如图所示的水平方向，测得点A′的仰角为45°，斜坡DE的坡度i＝1∶0.75，小明身高忽略不计计算结果…展示交流…,请根据活动报告计算：(1)求小明从D到E的过程中上升的竖直高度．(2)求叶片AB的长度．(结果精确到1m．参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48)19．(9分)某商家销售一种发卡一段时间后，发现发卡每天的销售量y(单位：个)和销售单价x(单位：元)满足一次函数关系(如图所示)，其中3≤x≤6.(1)y与x之间的函数关系式为____________________．(2)若该种发卡的成本为每个2元，该商家如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？20．(9分)如图，以AB为直径的⊙O与BC相切于点B，与AC相交于点D.【实践与操作】(1)利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母．(保留作图痕迹，不写作法)①作∠BAC的平分线AE，交⊙O于点E；②连接BE并延长交AC于点F.【探索与发现】(2)试猜想AF与AB有怎样的数量关系，并证明．(3)若AB＝10，sin∠FBC＝eq\f(\r(5),5)，求BF的长．21．(11分)如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上(点D不与点A，B重合)，连接AD并延长交过点B的⊙O的切线于点C，过点D作⊙O的切线DE交BC于点E，连接CO.(1)求证：BE＝CE；(2)若DE∥AB，求sin∠ACO的值．22．(11分)[2024大同期末]阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．三角形外接圆半径公式如图①，⊙O为△ABC的外接圆，△ABC的∠A，∠ABC，∠ACB所对的边分别为a，b，c，⊙O的半径为R，S为△ABC的面积，则有公式：R＝eq\f(abc,4S).下面是该公式的证明过程：证明：如图①，连接CO并延长交⊙O于点D，连接BD.∵CD为直径，∴∠CBD＝90°(依据1).在Rt△CBD中，sinD＝eq\f(BC,CD)＝eq\f(a,2R)，∵eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，∴∠A＝∠D(依据2)，∴sinA＝eq\f(a,2R).过点C作CE⊥AB于点E，则S＝eq\f(1,2)CE·AB.在Rt△ACE中，sinA＝eq\f(CE,AC)，∴CE＝bsinA，∴S＝eq\f(1,2)bcsinA，∴sinA＝eq\f(2S,bc)，∴eq\f(a,2R)＝eq\f(2S,bc)，∴R＝eq\f(abc,4S).由此得出△ABC的外接圆的半径公式为R＝eq\f(abc,4S).任务：(1)填空：材料中的依据1是指____________________，依据2是指____________________．(2)如图②，已知△ABC的面积S＝12，abc＝200，sinB＝eq\f(3,5)，求b的值．23．(14分)[2024朔州期末]综合与探究：如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c与y轴相交于点C(0，3)，与x轴正半轴相交于点B，与x轴负半轴相交于点A(－1，0)．(1)求此抛物线的表达式．(2)如图①，P是第一象限抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足是点D，PD与BC的交点为E，设P(m，n)．①用含m的式子表示：PD＝________，DE＝________．直接用①的结论求解②③：②若PE＝DE，请直接写出点P的坐标．③若PE＝2DE，求点P的坐标．(3)如图②，若点F在该抛物线上，点G在x轴上，当以点B，C，F，G为顶点的四边形是平行四边形时，求点F的坐标．

答案一、1.D2.A3.B4.A5.D6.A7.D8.B9.D10.A二、11.直线x＝112.13213.18π14.25°15.eq\f(100,13)三、16.解：(1)原式＝3＋eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)－2－1＝3＋1－2－1＝1.(2)原式＝(eq\r(3))2－2×eq\f(1,2)－2×eq\f(\r(2),2)＝3－1－eq\r(2)＝2－eq\r(2).17．解：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，∵∠ACD＝45°，∴∠A＝180°－90°－45°＝45°，∴∠A＝∠ACD，∴AD＝CD＝40.在Rt△BCD中，∠DCB＝60°，∴BD＝CD·tan∠DCB＝40eq\r(3)，∴AB＝AD＋BD＝40＋40eq\r(3).18．解：(1)如图，过点E作EF⊥CD，垂足为F，∵斜坡DE的坡度i＝1∶0.75，∴eq\f(EF,DF)＝eq\f(1,0.75)＝eq\f(4,3)，∴设EF＝4km，则DF＝3km，由勾股定理，得ED＝eq\r(EF2＋DF2)＝＝5k(m)，∵DE＝25m，∴5k＝25，解得k＝5，∴EF＝20m，∴小明从D到E的过程中上升的竖直高度为20m.(2)如图，过点E作EG⊥AC，垂足为G，过点A′作A′H⊥EG，交EG的延长线于点H，由题易知AB＝A′B＝GH，GC＝EF＝20m，A′H＝BG，∴A′H＝BG＝BC－GC＝95－20＝75(m)，在Rt△A′EH中，∠A′EH＝45°，∴EH＝eq\f(A′H,tan45°)＝eq\f(75,1)＝75(m)．设AB＝A′B＝GH＝xm，则EG＝EH－GH＝(75－x)m，AG＝AB＋BG＝(75＋x)m.在Rt△AEG中，∠AEG＝68°，∴tan68°＝eq\f(AG,EG)＝eq\f(75＋x,75－x)≈2.48，∴x≈32，∴AB≈32m，∴叶片AB的长度约为32m.19．解：(1)y＝－100x＋800(2)设该商家每天获得的利润为w元，则w＝(x－2)(－100x＋800)＝－100x2＋1000x－1600＝－100(x－5)2＋900，∵3≤x≤6，∴当x＝5时，w取得最大值，最大值为900.答：当定价为每个5元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润为900元．20．解：(1)如图所示．(2)AF与AB的数量关系是AF＝AB.证明：∵AB为直径，∴∠AEB＝90°，∴∠AEF＝90°.∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE.在△ABE和△AFE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BAE＝∠FAE，,AE＝AE，,∠AEB＝∠AEF，))∴△ABE≌△AFE.∴AF＝AB.(3)由题意知∠ABC＝90°，∴∠ABE＋∠FBC＝90°.由(2)易知∠ABE＋∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FBC.∵sin∠FBC＝eq\f(\r(5),5)，∴sin∠BAE＝eq\f(eq\r(5),5).在Rt△ABE中，sin∠BAE＝eq\f(BE,AB)＝eq\f(eq\r(5),5)，AB＝10，∴BE＝eq\f(\r(5),5)×10＝2eq\r(5).易知BF＝2BE＝2×2＝4.21．(1)证明：连接OD，如图，∵EB，ED为⊙O的切线，∴EB＝ED，OD⊥DE，AB⊥CB，∴∠ODE＝90°，∠OBE＝90°，∴∠ADO＋∠CDE＝90°，∠A＋∠ACB＝90°.∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∴∠CDE＝∠ACB，∴EC＝ED，∴BE＝CE.(2)解：作OH⊥AD于点H，如图，设⊙O的半径为r，由(1)知∠ODE＝90°，∠OBE＝90°.∵DE∥AB，∴∠DOB＝90°，∴四边形OBED为矩形．∴CE＝BE＝OD＝r，∴BC＝2r.易得△AOD为等腰直角三角形，∴易得OH＝eq\f(eq\r(2),2)r，在Rt△OCB中，OC＝eq\r(BC2+OB2)＝eq\r((2r)2+r2)＝eq\r(5)r，∴在Rt△OCH中，sin∠OCH＝eq\f(OH,OC)＝eq\f(\f(eq\r(2),2)r,eq\r(5)r)＝eq\f(eq\r(10),10)，即sin∠ACO的值为eq\f(eq\r(10),10).22．解：(1)直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等(2)根据阅读材料可得△ABC的外接圆半径R＝eq\f(abc,4S)＝eq