2024-2025学年高中数学第二章平面向量2.3.2-2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算课时素养评价含解析新人教A版必修4

PAGE平面对量的正交分解及坐标表示平面对量的坐标运算(20分钟35分)1.已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量= ()\A.(-7,-4) B.(7,4)C.(-1,4) D.(1,4)【解析】选A.因为=(-3,-1),所以=+=(-7,-4).2.已知向量a=(1,2),2a+b=(3,2),则b= ()A.(1,-2) B.(1,2) C.(5,6) D.(2,0)【解析】选A.b=(3,2)-2a=(3,2)-(2,4)=(1,-2).3.已知=(5,-3),C(-1,3),=2,则点D坐标是 ()A.(11,9) B.(4,0) C.(9,3) D.(9,-3)【解析】选D.设D(x,y),则=(x+1,y-3),由=2,得QUOTE解得QUOTE即D(9,-3).4.已知在▱ABCD中,点A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),则点D的坐标为 ()A.(-2,5) B.(-3,5)C.(5,-5) D.(-3,-5)【解析】选D.设点D的坐标为(x,y),因为四边形ABCD是平行四边形,所以=.又因为=(4,0),=(1-x,-5-y),所以1-x=4且-5-y=0,所以x=-3,y=-5.故点D的坐标为(-3,-5).5.平面上三点分别为A(2,-5),B(3,4),C(-1,-3),D为线段BC中点,则向量的坐标为.

【解析】设O为坐标原点,依题意知=QUOTE(+)=QUOTE(2,1)=QUOTE,则=-=(2,-5)-QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE6.(2024·平顶山高一检测)已知向量a=(2,1),b=(1,-2).若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),求m-n的值.【解析】由题意得ma+nb=(2m,m)+(n,-2n)=(2m+n,m-2n)=(9,-8),即QUOTE解得QUOTE所以m-n=-3.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知A(3,2),B(5,4),C(6,7),则以A,B,C为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标为 ()A.(4,5) B.(4,5)或(8,9)C.(4,5)或(2,-1) D.(4,5)或(8,9)或(2,-1)【解题指南】“求以A,B,C为顶点的平行四边形ABCD的第四个顶点的坐标”与“求以A,B,C为顶点的平行四边形的另一个顶点的坐标”是有区分的.前者的D点位置确定了,四点A,B,C,D是按同一方向(顺时针或逆时针)排列的,后者的D点位置没有确定,应分三种状况进行探讨.【解析】选D.设D点的坐标为D(x,y).若是平行四边形ABCD,则有=,可得(5-3,4-2)=(6-x,7-y),解得x=4,y=5.故所求顶点D的坐标为D(4,5).若是平行四边形ABDC,则有=,可得(5-3,4-2)=(x-6,y-7),解得x=8,y=9.故所求顶点D的坐标为D(8,9).若是平行四边形ACBD,则有=,可得(6-3,7-2)=(5-x,4-y),解得x=2,y=-1.故所求顶点D的坐标为D(2,-1).综上可得,以A,B,C为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标是(4,5)或(8,9)或(2,-1).2.(2024·沈阳高一检测)已知向量a=(m,1),b=(m2,2).若存在λ∈R,使得a+λb=0,则m= ()A.0B.2C.0或2D.0或-2【解析】选C.因为a=(m,1),b=(m2,2),a+λb=0,所以(m+λm2,1+2λ)=(0,0),即QUOTE所以QUOTE3.已知点A(1,2),B(2,4),C(-3,5).若=+m,且点P在y轴上,则m= ()A.-2 B.QUOTE C.-QUOTE D.2【解析】选B.设P(x,y),由题意=m,所以QUOTE所以P(-5m+1,m+2),又点P在y轴上,所以-5m+1=0,m=QUOTE.4.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量d为 ()A.(2,6) B.(-2,6)C.(2,-6) D.(-2,-6)【解析】选D.因为四条有向线段首尾相接构成四边形,则对应向量之和为零向量,即4a+(4b-2c)+2(a-c)+d=0,所以d=-6a-4b+4c=-6(1,-3)-4(-2,4)+4(-1,-2)=(-2,-6).5.在四边形ABCD中,==(1,0),+=,则四边形ABCD的面积是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.为在方向上的单位向量,记为e1=,类似地,设=e2=,=e3=,所以e1+e2=e3,可知四边形BNGM为菱形,且||=||=||,所以∠MBN=120°,从而四边形ABCD也为菱形,||=||=1,所以QUOTE=||·||·sin∠ABC=QUOTE.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2024·鞍山高一检测)若A(3,5),B(4,2),C(0,3),则-2=.

【解析】因为A(3,5),B(4,2),C(0,3),所以=(1,-3),BC=(-4,1).所以-2=(1,-3)-2(-4,1)=(1,-3)-(-8,2)=(9,-5).答案:(9,-5)7.已知M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R},N={a|a=(-2,-2)+μ(4,5),μ∈R},则M∩N=.

【解析】由题意得(1,2)+λ(3,4)=(-2,-2)+μ(4,5),即(1+3λ,2+4λ)=(-2+4μ,-2+5μ),所以QUOTE解得λ=-1,μ=0,所以M∩N={(-2,-2)}.答案:{(-2,-2)}8.(2024·商洛高一检测)已知A(2,0),a=(x+3,x-3y-5),O为原点,若a=,则x+2y的值为.

【解析】因为a=(x+3,x-3y-5)=(2,0),所以QUOTE所以QUOTE所以x+2y=-1+2×(-2)=-5.答案:-5三、解答题(每小题10分,共20分)9.以原点O及点A(2QUOTE,-2)为顶点作一个等边△AOB,求点B的坐标及向量的坐标.【解析】因为△AOB为等边三角形,且A(2QUOTE,-2),所以||=||=||=4.因为在0～2π范围内,以Ox为始边,OA为终边的角为QUOTE,当点B在OA的上方时,以OB为终边的角为QUOTE,由三角函数的定义得:=QUOTE=(2QUOTE,2).所以=-=(2QUOTE,2)-(2QUOTE,-2)=(0,4).当点B在OA的下方时,以OB为终边的角为QUOTE,由三角函数的定义得:=(0,-4),所以=-=(0,-4)-(2QUOTE,-2)=(-2QUOTE,-2).综上所述,点B的坐标为(2QUOTE,2),的坐标为(0,4)或点B的坐标为(0,-4),的坐标为(-2QUOTE,-2).10.如图所示,已知△ABC,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M,N,D分别是AB,AC,BC的中点,且MN与AD交于点F,求的坐标.【解析】因为A(7,8),B(3,5),C(4,3),所以=(3-7,5-8)=(-4,-3),=(4-7,3-8)=(-3,-5),又因为D是BC的中点,所以=QUOTE(+)=QUOTE(-4-3,-3-5)=QUOTE(-7,-8)=QUOTE.因为M,N分别为AB,AC的中点,所以F为AD的中点,所以=-=-QUOTE=-QUOTE=QUOTE.1.已知向量p=a+tb,q=c+sd(s,t是随意实数),其中a=(1,2),b=(3,0),c=(1,-1),d=(3,2),则向量p、q交点的坐标是.

【解析】设交点坐标为(m,n),则p=(m,n),q=(m,n),所以p=a+tb=c+sd=q.所以(1,2)+t(3,0)=(1,-1)+s(3,2).即(3t+1,2)=(3s+1,2s-1).所以QUOTE所以QUOTE所以(m,n)=(1,2)+t(3,0)=(3t+1,2)=QUOTE.即向量p、q的交点坐标为QUOTE.答案:QUOTE2.在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),(1)若++=0,求的坐标.(2)若=m+n(m,n∈R),且点P在函数y=x+1的图象上,求m-n.【解析】(1)设点P的坐标为(x,y),因为++=0,又++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y).所以QUOTE解得QUOTE所以点P的坐标