数学（文科）总复习演练提升同步测评古典概型

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精A组专项基础训练(时间：35分钟）1．(2015·全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）A.eq\f(3,10)B.eq\f(1，5)C。eq\f（1，10)D。eq\f（1，20）【解析】从1，2,3，4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：（1,2,3),(1，2，4），(1,2,5），（1,3，4），(1，3，5），(1,4，5）,(2,3，4），（2，3，5），(2，4，5),（3，4，5),其中勾股数只有（3，4，5）,所以概率为eq\f（1,10).【答案】C2．(2016·浙江金丽衢十二校二联)4张卡片上分别写有数字1,2，3，4,从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率为（)A。eq\f(1,2）B。eq\f（1,3）C.eq\f（2，3)D.eq\f（3，4)【解析】因为从四张卡片中任取出两张的情况为（1，2），(1,3)，(1，4），（2,3)，（2,4）,（3,4)，共6种．其中两张卡片上数字和为偶数的情况为(1，3),(2,4)共2种，所以两张卡片上的数字之和为偶数的概率为eq\f(1,3）。【答案】B3．（2016·课标全国Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M、I、N中的一个字母，第二位是1，2，3，4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（）A。eq\f(8,15)B.eq\f(1,8）C.eq\f(1,15)D。eq\f（1,30）【解析】小敏输入密码的所有可能情况如下:(M,1)，（M，2）,(M,3）,（M，4)，(M，5），(I，1)，(I，2)，（I，3）,(I，4）,（I，5)，(N，1),(N，2），（N，3），（N，4)，(N，5),共15种．而能开机的密码只有一种，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率为eq\f(1,15）.【答案】C4．（2016·北京）从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为()A。eq\f(1,5)B.eq\f（2，5）C。eq\f(8，25）D。eq\f（9，25）【解析】设这5名学生为甲、乙、丙、丁、戊,从中任选2人的所有情况有(甲,乙),（甲，丙），（甲,丁)，（甲,戊)，（乙，丙）,(乙，丁)，(乙，戊）,(丙,丁）,（丙，戊），(丁，戊),共4＋3＋2＋1＝10种．其中甲被选中的情况有（甲，乙)，(甲，丙)，（甲，丁)，（甲，戊），共4种，故甲被选中的概率为eq\f(4,10）＝eq\f（2,5）.故选B。【答案】B5．（2017·太原二模)记连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，向量a＝（m，n)与向量b＝（1，0）的夹角为α，则α∈eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，\f（π,4）))的概率为（）A。eq\f（5,18）B。eq\f(5,12)C。eq\f(1，2)D.eq\f(7，12)【解析】方法一依题意，向量a＝（m，n)共有6×6＝36(个)，其中满足向量a＝（m，n)与向量b＝(1，0)的夹角α∈eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，\f(π，4)）），即n＜m的（m，n)可根据n的具体取值进行分类计数：第一类,当n＝1时，m有5个不同的取值；第二类，当n＝2时，m有4个不同的取值；第三类，当n＝3时，m有3个不同的取值；第四类，当n＝4时,m有2个不同的取值；第五类，当n＝5时，m有1个取值，因此满足向量a＝（m，n）与向量b＝(1，0）的夹角α∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（0，\f(π,4)))的(m，n）共有1＋2＋3＋4＋5＝15(个），所以所求概率为eq\f(15,36)＝eq\f（5,12).方法二依题意可得向量a＝（m，n）共有6×6＝36(个)，其中满足向量a＝（m，n）与向量b＝(1，0)的夹角α∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(0，\f(π，4）))，即n＜m的向量a＝(m,n）有eq\f(36－6,2)＝15（个），所以所求概率为eq\f（15，36)＝eq\f(5，12)。【答案】B6．（2016·四川）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b,则logab为整数的概率是________．【解析】所有的基本事件有（2，3),（2，8)，(2，9），（3，2),（3，8),(3，9)，（8,2），（8，3），（8，9），（9，2),(9,3）,（9，8），共12个．记“logab为整数”为事件A，则事件A包含的基本事件有（2,8）,（3，9），共2个．∴P(A）＝eq\f(2，12）＝eq\f(1，6).【答案】eq\f（1,6）7．（2016·江苏）将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3,4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．【解析】先后抛掷2次骰子，所有可能出现的情况可用数对表示为(1，1），(1，2),（1，3），(1,4），(1，5),(1，6），(2，1)，(2，2)，(2，3)，（2，4)，(2,5)，（2,6），……(5，1），（5，2)，(5,3),（5，4)，（5，5）,（5,6），(6,1）,(6，2)，（6，3),(6，4),(6,5)，（6，6），共36个．其中点数之和不小于10的有(4，6）,(5,5)，(5，6），(6，4)，（6,5）,(6,6）,共6个．从而点数之和小于10的数对共有30个，故所求概率P＝eq\f(30，36)＝eq\f(5，6）。【答案】eq\f(5,6）8．(2017·海淀一模)现有7名数理化成绩优秀者，分别用A1，A2,A3，B1，B2,C1,C2表示,其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀,C1，C2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A1和B1不全被选中的概率为________．【解析】从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所有可能的结果组成的12个基本事件为：（A1，B1，C1），(A1，B1，C2），（A1，B2，C1），(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1），（A2，B1,C2），(A2，B2,C1)，(A2,B2，C2),（A3，B1，C1），(A3，B1，C2)，(A3,B2,C1)，（A3，B2，C2)．设“A1和B1不全被选中”为事件N，则其对立事件N表示“A1和B1全被选中”，由于N＝｛（A1，B1,C1），（A1，B1，C2）}，所以P(N)＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6），由对立事件的概率计算公式得P(N）＝1－P(N）＝1－eq\f(1,6）＝eq\f(5，6)。【答案】eq\f(5,6)9．(2017·兰州双基测试）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a,b，c。（1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c"的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．【解析】(1）由题意,（a，b，c）所有可能的结果为:（1,1,1），（1，1，2），(1，1，3），(1，2，1），(1，2，2),(1，2，3),(1，3,1)，(1,3，2)，(1，3，3)，(2，1，1),(2，1，2），(2，1，3)，(2，2,1）,（2，2，2)，(2,2，3），（2，3,1)，（2，3,2），(2,3，3)，(3，1，1)，(3,1，2)，(3，1，3），(3,2，1)，(3,2，2),(3，2,3)，（3，3，1），（3，3，2)，（3,3，3),共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1，1，2），（1，2,3)，（2,1,3），共3种，所以P(A）＝eq\f（3，27)＝eq\f(1，9)，因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为eq\f（1,9)。(2）设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同"为事件B，则事件B包括(1,1，1），(2,2，2),（3，3，3)，共3种,所以P（B)＝1－P（B)＝1－eq\f(3，27)＝eq\f(8，9），因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为eq\f（8，9).10．(2015·天津高考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．（1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数．（2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．①用所给编号列出所有可能的结果；②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．【解析】（1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1，2.（2）①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为｛A1，A2}，{A1，A3｝,｛A1，A4},{A1，A5}，{A1，A6｝，｛A2，A3}，{A2，A4},｛A2，A5｝，｛A2，A6｝,{A3，A4}，｛A3,A5｝，{A3，A6｝,｛A4，A5}，｛A4，A6},{A5，A6｝，共15种．②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5｝,｛A2，A6｝,｛A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5｝,｛A4，A6}，｛A5,A6}，共9种．因此,事件A发生的概率P(A）＝eq\f（9,15）＝eq\f(3,5)。B组专项能力提升（时间：30分钟）11．（2017·天津红桥区模拟）从自然数1，2，3，4，5中，任意取出两个数组成两位的自然数，再从这些两位自然数中取出一个数，则取出的数恰好能被3整除的概率为(）A.eq\f(2,5）B。eq\f(1，5）C.eq\f（3，10）D.eq\f(1,2）【解析】从自然数1，2，3，4，5中任意取出两个数组成两位的自然数，共有5×4＝20个，从这些两位自然数中取出的数恰好能被3整除有12,21，15,51,24，42，45,54，共8个，故能被3整除的概率为eq\f（8,20）＝eq\f(2，5).【答案】A12．（2016·安徽芜湖、马鞍山第一次教学质量检测)某同学先后投掷一枚骰子两次,第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的概率为（)A.eq\f(1，12）B。eq\f（1，9）C.eq\f(5,36）D.eq\f(1,6)【解析】掷一枚骰子两次不同的点数共有36种，以（x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的点有（1，1）,（2，3），(3，5）．故所求概率为eq\f(1,12），故选A.【答案】A13．（2017·洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆（x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．【解析】依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a,b)有(1，1），（1，2）,（1，3），…，(6，6),共36种,其中满足直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点,即满足eq\f（2a,\r(a2＋b2))≤eq\r(2),a2≤b2的数组(a，b)有(1，1)，(1，2)，(1，3），（1，4），…，(6，6),共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率等于eq\f（21，36)＝eq\f（7,12）。【答案】eq\f（7,12）14．(2017·雅安模拟）甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3,红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽,乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．(1）设(i，j）表示甲、乙抽到的牌的牌面数字（如果甲抽到红桃2，乙抽到红桃3,记为(2，3）），写出甲、乙两人抽到的牌的所有情况；（2)若甲抽到红桃3,则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少？(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜，你认为此游戏是否公平?请说明理由．【解析】（1)方片4用4′表示，则甲、乙两人抽到的牌的所有情况为：(2，3)，(2，4)，（2，4′),(3，2），（3，4),(3，4′)，(4，2），（4，3），（4,4′），(4′，2），(4′,3)，(4′，4)共12种不同的情况．（2)甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4′，因此乙抽到的牌的牌面数字大于3的概率为eq\f（2，3）。（3）甲抽到的牌的牌面数字比乙大，有（3，2)，(4，2）,(4，3)，(4′，2)，(4′，3），共5种情况．甲胜的概率为P1＝eq\f(5，12），乙胜的概率为P2＝eq\f(7，12)。因为eq\f(5，12)＜eq\f(7，12），所以此游戏不公平．15．(2017·山东枣庄八中南校区2月模拟)根据我国颁布的《环境空气质量指数(AQI)技术规定》：空气质量指数划分为0～50、51～100、101~15