数学（文科）总复习演练提升同步测评几何概型

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精A组专项基础训练(时间：30分钟)1．（2017·宁波一模）已知实数a满足－3＜a＜4，函数f（x）＝lg(x2＋ax＋1)的值域为R的概率为P1,定义域为R的概率为P2，则（）A．P1＞P2B．P1＝P2C．P1＜P2D．P1与P2的大小不确定【解析】若f(x)的值域为R,则Δ＝a2－4≥0,得a≤－2或a≥2，故P1＝eq\f(－2－(－3)，4－（－3））＋eq\f(4－2,4－(－3）)＝eq\f(3,7).若f（x)的定义域为R，则Δ＝a2－4＜0，得－2＜a＜2，故P2＝eq\f(2－（－2），4－（－3））＝eq\f(4,7），所以P1＜P2.【答案】C2．(2017·石家庄一模)在区间［0，1]上任取两个数，则这两个数之和小于eq\f(6,5)的概率是(）A.eq\f（12，25）B。eq\f（16，25）C。eq\f（17,25）D.eq\f（18,25)【解析】设这两个数分别是x,y，则总的基本事件构成的区域是eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（0≤x≤1，,0≤y≤1））确定的平面区域，所求事件包含的基本事件构成的区域是eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（0≤x≤1,,0≤y≤1,，x＋y＜\f（6，5）））确定的平面区域，如图所示,阴影部分的面积是1－eq\f(1,2)×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（4,5）））eq\s\up12(2）＝eq\f(17,25）,所以这两个数之和小于eq\f（6，5）的概率是eq\f(17，25）。【答案】C3．（2017·山西四校联考）在面积为S的△ABC内部任取一点P，则△PBC的面积大于eq\f（S，4)的概率为(）A。eq\f(1，4）B.eq\f(3,4)C。eq\f(4，9）D。eq\f(9,16）【解析】设AB,AC上分别有点D,E满足AD＝eq\f（3,4)AB且AE＝eq\f(3,4）AC，则△ADE∽△ABC,DE∥BC且DE＝eq\f(3，4）BC.∵点A到DE的距离等于点A到BC的距离的eq\f（3，4），∴DE到BC的距离等于△ABC高的eq\f（1,4）.当动点P在△ADE内时，P到BC的距离大于DE到BC的距离，∴当P在△ADE内部运动时，△PBC的面积大于eq\f（S,4)，∴所求概率为eq\f（S△ADE，S△ABC）＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(3，4)））eq\s\up12(2)＝eq\f（9,16)。【答案】D4．(2017·石家庄模拟)已知O，A,B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A，B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过eq\r(3）km的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（)A.eq\f（1,2)B.eq\f（\r(2），2)C．1－eq\f(\r（3),2）D．1－eq\f(\r（2),2）【解析】由题意知在等腰直角三角形OAB中,以O为圆心，eq\r(3）为半径的圆截AB所得的线段长为2，而|AB|＝2eq\r(2)，故该测绘队员能够得到准确数据的概率是1－eq\f（2,2\r（2)）＝1－eq\f（\r（2）,2)。【答案】D5．（2017·广州摸底)由不等式组eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x≤0，，y≥0，,y－x－2≤0））确定的平面区域记为Ω1，不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＋y≤1，，x＋y≥－2）)确定的平面区域记为Ω2,在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（)A。eq\f(1，8)B。eq\f(1,4)C。eq\f（3，4）D。eq\f（7，8)【解析】平面区域Ω1的面积为eq\f(1，2）×2×2＝2,平面区域Ω2为一个条形区域，画出图形如图所示，其中C（0,1）．由eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（y－x－2＝0，,x＋y＝1,）)解得eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)，,y＝\f（3，2），）)即Deq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(1,2)，\f（3，2）)），则△ACD的面积为S＝eq\f（1，2)×1×eq\f（1,2)＝eq\f（1，4），则四边形BDCO的面积S＝S△OAB－S△ACD＝2－eq\f(1，4)＝eq\f（7，4）.在Ω1中随机取一点,则该点恰好在Ω2内的概率为eq\f（\f(7，4)，2)＝eq\f（7,8）.【答案】D6．(2017·鞍山调查）一只昆虫在边分别为5,12，13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为________．【解析】如图所示,该三角形为直角三角形，其面积为eq\f(1,2)×5×12＝30，阴影部分的面积为eq\f(1,2）×π×22＝2π，所以所求概率为eq\f（2π，30）＝eq\f(π,15）。【答案】eq\f(π,15)7．(2017·湖北七市联考)AB是半径为1的圆的直径，M为直径AB上任意一点,过点M作垂直于直径AB的弦，则弦长大于eq\r(3）的概率是________．【解析】依题意知,当相应的弦长大于eq\r（3）时，圆心到弦的距离小于eq\r(12－\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(\r（3），2）)）\s\up12（2))＝eq\f（1,2)，因此相应的点M应位于线段AB上与圆心的距离小于eq\f(1,2)的地方,所求的概率等于eq\f（1，2）。【答案】eq\f（1,2)【解析】如图所示,当m＝0时，平面区域E(阴影部分）的面积最大，此时点P落在平面区域E内的概率最大．【答案】09．(2017·湖南衡阳八中月考）随机向边长为5,5,6的三角形中投一点P，则点P到三个顶点的距离都不小于1的概率是________．【解析】由题意作图，如图则点P应落在深色阴影部分，S三角形＝eq\f（1,2)×6×eq\r（52－32)＝12，三个小扇形可合并成一个半圆，故其面积为eq\f（π,2),故点P到三个顶点的距离都不小于1的概率为eq\f(12－\f（π,2），12)＝eq\f(24－π,24)。【答案】eq\f(24－π,24）10．已知向量a＝（2，1),b＝（x,y）．(1）若x∈{－1，0，1，2｝,y∈{－1，0，1｝，求向量a∥b的概率；(2)若x∈［－1，2］,y∈［－1，1]，求向量a,b的夹角是钝角的概率．【解析】(1)设“a∥b”为事件A，由a∥b，得x＝2y.基本事件空间为Ω＝{（－1,－1），（－1，0），(－1，1），(0，－1),（0，0)，（0，1)，(1，－1)，（1,0),（1，1)，（2，－1），（2，0）,(2，1)｝，共包含12个基本事件；其中A＝｛（0，0)，（2，1)}，包含2个基本事件．则P（A）＝eq\f（2，12）＝eq\f(1,6)，即向量a∥b的概率为eq\f（1,6).（2)因为x∈［－1，2]，y∈［－1，1］,则满足条件的所有基本事件所构成的区域如图为矩形ABCD，面积为S1＝3×2＝6.设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a,b的夹角是钝角，可得a·b＜0，即2x＋y＜0，且x≠2y.事件B包含的基本事件所构成的区域为图中四边形AEFD，面积S2＝eq\f（1，2)×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，2)＋\f（3，2））)×2＝2，则P(B)＝eq\f(S2,S1)＝eq\f（2，6）＝eq\f（1，3).即向量a,b的夹角是钝角的概率是eq\f（1,3）.B组专项能力提升（时间：30分钟)11．(2016·课标全国Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为(）A。eq\f（7，10)B。eq\f（5，8)C。eq\f（3,8)D。eq\f（3,10）【解析】此人来到时，正好是红灯,若至少需要等待15秒，说明红灯开始时间小于等于25秒．对应概率P＝eq\f（25,40）＝eq\f（5,8)。故选B。【答案】B12．(2015·湖北）在区间［0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≥eq\f(1,2）"的概率，p2为事件“｜x－y|≤eq\f（1,2）"的概率，p3为事件“xy≤eq\f(1，2）”的概率，则（）A．p1＜p2＜p3B．p2＜p3＜p1C．p3＜p1＜p2D．p3＜p2＜p1【解析】如图，点（x，y）所处的空间为正方形OBCA表示的平面区域(包括其边界),故本题属于几何概型中的“面积比”型．分别画出三个事件对应的图形，根据图形面积的大小估算概率的大小．满足条件的x，y构成的点(x，y)在正方形OBCA及其边界上．事件“x＋y≥eq\f（1,2）”对应的图形为图①所示的阴影部分；事件“|x－y｜≤eq\f(1,2)"对应的图形为图②所示的阴影部分；事件“xy≤eq\f(1,2)”对应的图形为图③所示的阴影部分．对三者的面积进行比较，可得p2＜p3＜p1.【答案】B13．（2016·黑龙江哈尔滨六中期末)设不等式组eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（0≤x≤3,0≤y≤1）），表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离小于2的概率是（)A.eq\f(π,4）B。eq\f(π－\r（3)，6）C。eq\f（\r(3）＋3π，12）D.eq\f（3\r（3)＋2π,18）【解析】区域D：eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（0≤x≤3,0≤y≤1））,表示矩形,面积为3.到坐标原点的距离小于2的点,位于以原点O为圆心、半径为2的圆内,则图中的阴影面积为eq\f（1，2）×1×eq\r(3）＋eq\f(30，360)×π×4＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f（π,3），∴所求概率为P＝eq\f(3\r（3)＋2π，18).故选D。【答案】D14．(2017·山东青岛一模）如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ＝eq\f(π，6）。现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,则飞镖落在小正方形内的概率是________．【解析】易知小正方形的边长为eq\r(3)－1，故小正方形的面积为S1＝(eq\r（3)－1）2＝4－2eq\r(3)，大正方形的面积为S＝2×2＝4，故飞镖落在小正方形内的概率P＝eq\f（S1，S)＝eq\f(4－2\r（3），4)＝eq\f(2－\r(3),2)。【答案】eq\f(2－\r(3）,2)15．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1h，乙船停泊时间为2h,求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．【解析】设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y,记事件A为“两船都不