数学（文科）总复习演练提升同步测评椭圆

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精A组专项基础训练(时间:40分钟）1．(2017·辽宁沈阳一模）△ABC的两个顶点为A（－4,0），B(4，0），△ABC的周长为18，则C点的轨迹方程为（）A.eq\f(x2,16)＋eq\f（y2，9)＝1（y≠0)B.eq\f(y2，25)＋eq\f（x2,9)＝1(y≠0）C.eq\f(y2，16）＋eq\f（x2，9)＝1（y≠0）D。eq\f(x2，25）＋eq\f（y2，9）＝1（y≠0）【解析】∵△ABC的两顶点为A(－4，0）,B(4，0），周长为18，∴AB＝8，BC＋AC＝10.∵10＞8，∴点C到两个定点A,B的距离之和等于定值，且满足椭圆的定义，∴点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，2a＝10，2c＝8,∴b＝3。∴椭圆的标准方程是eq\f(x2，25）＋eq\f(y2，9)＝1(y≠0）．故选D。【答案】D2．(2017·山西忻州模拟）设椭圆eq\f（x2,a2）＋eq\f（y2,b2)＝1(a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2,点P(a，b）满足｜F1F2｜＝|PF2｜,设直线PF2与椭圆交于M，N两点．若｜MN|＝16，则椭圆的方程为()A.eq\f(x2,144)＋eq\f(y2,108）＝1B.eq\f（x2，100)＋eq\f（y2,75)＝1C。eq\f(x2,36)＋eq\f（y2,27）＝1D。eq\f（x2，16)＋eq\f(y2，12）＝1【解析】因为点P(a，b)满足|F1F2｜＝｜PF2｜，所以eq\r(（a－c)2＋b2）＝2c.整理得2e2＋e－1＝0，解得e＝eq\f(1，2）。所以a＝2c，b＝eq\r(3)c，椭圆的方程为3x2＋4y2＝12c2。直线PF2的方程为y＝eq\r(3）（x－c），将直线方程代入椭圆方程，整理得5x2－8cx＝0,解得x＝0或eq\f（8,5）c，所以M(0，－eq\r（3)c)，Neq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(8，5)c，\f(3\r(3)，5）c）），因此|MN｜＝eq\f(16，5)c＝16，所以c＝5，所以椭圆的方程为eq\f（x2,100)＋eq\f（y2,75)＝1，故选B。【答案】B3．（2017·江西南昌模拟)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，焦距为4。若P为椭圆C上一点,且△PF1F2的周长为14，则椭圆C的离心率e为（)A.eq\f（1，5）B.eq\f（2,5）C.eq\f(4,5）D。eq\f(\r（21），5)【解析】∵焦距为4，∴c＝2.∵P为椭圆C上一点，且△PF1F2的周长为14，∴2a＋2c＝14,∴a＝5，∴椭圆C的离心率e＝eq\f（c，a）＝eq\f(2，5）。故选B.【答案】B4．(2017·河南郑州一模）已知椭圆eq\f（x2，a2）＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1,F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点．若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为（）A。eq\f(\r(2）,2)B．2－eq\r(3)C.eq\r（5)－2D.eq\r(6）－eq\r（3)【解析】如图，设｜F1F2|＝2c,|AF1｜＝m。若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则｜AB|＝|AF1｜＝m，|BF1｜＝eq\r（2）m.由椭圆的定义，得△ABF1的周长为4a，即4a＝2m＋eq\r(2）m，∴m＝2（2－eq\r(2)）a。∴｜AF2|＝2a－m＝2(eq\r（2)－1)a.在Rt△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1｜2＋|AF2｜2，即4c2＝4(2－eq\r（2）)2a2＋4(eq\r(2)－1）2a2，∴c2＝3(eq\r(2)－1)2a2，e＝eq\r（6)－eq\r（3），故选D。【答案】D5．（2016·长沙模拟）设椭圆eq\f(x2,4）＋eq\f（y2,3）＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上的一动点,若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为(）A．3B．3或eq\f(3,2）C.eq\f（3,2）D．6或3【解析】由题意可得该椭圆短轴顶点与两焦点的连线的夹角是60°，所以该点P不可能是直角顶点，则只能是焦点为直角顶点，此时△PF1F2的面积为eq\f(1，2）×2c×eq\f（b2,a）＝eq\f（3,2）.【答案】C6．(2017·安徽黄山一模)已知圆(x－2)2＋y2＝1经过椭圆eq\f(x2,a2）＋eq\f(y2,b2）＝1（a＞b＞0)的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e＝________．【解析】圆（x－2）2＋y2＝1经过椭圆eq\f(x2，a2)＋eq\f（y2，b2)＝1（a＞b＞0）的一个顶点和一个焦点，故椭圆的一个焦点为F(1，0），一个顶点为A(3，0），所以c＝1，a＝3，因此椭圆的离心率为eq\f(1,3)。【答案】eq\f（1,3）7．(2017·海南海口模拟）椭圆eq\f（x2，a2)＋eq\f(y2，b2）＝1(a＞b＞0)的焦距为2eq\r（3），左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为2eq\r(3），则椭圆的标准方程为________．【解析】由题意，得c＝eq\r（3)，∴a2－b2＝c2＝3。∵∠F1PF2＝60°,△PF1F2的面积为2eq\r（3),∴eq\f(1,2)｜PF1|·｜PF2|·sin∠F1PF2＝eq\f(\r(3）,4)|PF1｜·|PF2｜＝2eq\r（3），∴|PF1|·｜PF2｜＝8.又∵｜PF1｜＋|PF2｜＝2a，由余弦定理得4c2＝12＝|PF1|2＋｜PF2|2－2｜PF1｜·|PF2|·cos60°＝（｜PF1｜＋｜PF2|）2－3｜PF1|·|PF2|＝4a2－3×8，解得a2＝9，故b2＝6,因此椭圆的方程为eq\f(x2，9）＋eq\f（y2,6)＝1.【答案】eq\f（x2,9）＋eq\f(y2,6)＝18．(2016·北京东城模拟）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2,0），且长轴长与短轴长的比是2∶eq\r(3），则椭圆C的方程是____________．【解析】设椭圆C的方程为eq\f（x2,a2）＋eq\f(y2,b2）＝1(a＞b＞0)．由题意知eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（a2＝b2＋c2,,a∶b＝2∶\r(3),，c＝2，）)解得a2＝16，b2＝12.所以椭圆C的方程为eq\f(x2，16)＋eq\f（y2,12)＝1。【答案】eq\f（x2,16）＋eq\f(y2,12)＝19．(2016·天津)设椭圆eq\f(x2，a2）＋eq\f（y2,3)＝1（a＞eq\r（3)）的右焦点为F，右顶点为A。已知eq\f（1，｜OF｜）＋eq\f(1，|OA|）＝eq\f(3e，｜FA｜)，其中O为原点，e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；(2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF⊥HF，且∠MOA＝∠MAO，求直线l的斜率．【解析】(1)设F（c,0)，由eq\f(1,｜OF|)＋eq\f(1，|OA｜)＝eq\f（3e,｜FA｜),即eq\f（1,c）＋eq\f(1，a)＝eq\f(3c，a（a－c）)，可得a2－c2＝3c2，又a2－c2＝b2＝3,所以c2＝1，因此a2＝4，所以，椭圆的方程为eq\f（x2，4)＋eq\f(y2，3）＝1。(2）设直线l的斜率为k（k≠0），则直线l的方程为y＝k（x－2）．设B（xB,yB），由方程组eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（\f（x2,4）＋\f（y2，3）＝1，,y＝k（x－2）))消去y,整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0。解得x＝2或x＝eq\f（8k2－6，4k2＋3），由题意得xB＝eq\f（8k2－6,4k2＋3)，从而yB＝eq\f(－12k，4k2＋3）。由(1)知，F(1，0),设H（0，yH），有eq\o（FH,\s\up6(→))＝（－1，yH），eq\o（BF,\s\up6（→))＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（9－4k2，4k2＋3),\f（12k,4k2＋3)）)。由BF⊥HF，得eq\o（BF,\s\up6（→））·eq\o(FH，\s\up6（→）)＝0,所以eq\f(4k2－9,4k2＋3）＋eq\f（12kyH,4k2＋3）＝0，解得yH＝eq\f（9－4k2,12k）。因此直线MH的方程为y＝－eq\f(1，k)x＋eq\f(9－4k2,12k）.设M（xM，yM)，由方程组eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（y＝k（x－2），,y＝－\f(1，k)x＋\f(9－4k2，12k)））消去y,解得xM＝eq\f（20k2＋9,12（k2＋1）)。在△MAO中，∠MOA＝∠MAO⇔｜MA|＝|MO|，即（xM－2)2＋yeq\o\al（2,M)＝xeq\o\al(2,M)＋yeq\o\al（2，M)，化简得xM＝1，即eq\f（20k2＋9，12（k2＋1）)＝1,解得k＝－eq\f(\r（6)，4），或k＝eq\f（\r(6）,4)。所以，直线l的斜率为－eq\f（\r(6),4）或eq\f(\r（6)，4）。10．(2016·吉林实验中学）如图，已知椭圆eq\f（x2,a2）＋eq\f(y2，b2）＝1（a＞b＞0)的右焦点为F2(1，0）,点Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（2，\f(2\r（10)，3))）在椭圆上．（1）求椭圆的方程;(2)点M在圆x2＋y2＝b2上，且M在第一象限，过M作圆x2＋y2＝b2的切线交椭圆于P，Q两点,求证：△PF2Q的周长是定值．【解析】（1)设椭圆的左焦点为F1，根据已知,椭圆的左右焦点分别是F1(－1，0），F2（1，0），c＝1，∵Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（2，\f（2\r（10）,3))）在椭圆上，∴2a＝|HF1|＋｜HF2|＝eq\r（（2＋1）2＋\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(2\r(10）,3)))\s\up12（2））＋eq\r(（2－1）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(2\r(10),3)））\s\up12(2））＝6，∴a＝3，b＝2eq\r（2)，故椭圆的方程是eq\f（x2，9)＋eq\f(y2,8)＝1。(2）证明设P（x1，y1),Q(x2,y2），则eq\f（xeq\o\al(2，1）,9）＋eq\f（yeq\o\al(2，1）,8）＝1，|PF2｜＝eq\r((x1－1)2＋yeq\o\al（2,1）)＝eq\r(（x1－1）2＋8\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(1－\f（xeq\o\al（2，1），9）））)＝eq\r(\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（x1,3）－3）)\s\up12（2）)，∵0＜x1＜3，∴|PF2｜＝3－eq\f(1，3)x1，在圆中，M是切点,∴｜PM｜＝eq\r(｜OP｜2－｜OM|2）＝eq\r（xeq\o\al（2,1）＋yeq\o\al(2，1）－8)＝eq\r(xeq\o\al（2，1)＋8\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（1－\f（xeq\o\al(2,1）,9）））－8）＝eq\f(1，3）x1,∴|PF2｜＋|PM|＝3－eq\f（1，3)x1＋eq\f(1，3）x1＝3，同理：｜QF2|＋|QM｜＝3，∴|F2P|＋|F2Q｜＋｜PQ|＝3＋3＝6，因此△PF2Q的周长是定值6。B组专项能力提升(时间：30分钟）11．（2017·江西新余模拟）椭圆C的两个焦点分别是F1,F2，若C上的点P满足｜PF1｜＝eq\f（3,2）|F1F2|，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A．e≤eq\f（1，2）B．e≥eq\f（1，4）C。eq\f(1,4)≤e≤eq\f(1,2）D．0＜e≤eq\f（1,4)或eq\f（1，2）≤e＜1【解析】∵椭圆C上的点P满足|PF1|＝eq\f(3,2）｜F1F2|,∴|PF1|＝eq\f(3,2）×2c＝3c。由a－c≤|PF1｜≤a＋c，解得eq\f（1,4）≤eq\f（c,a）≤eq\f(1，2).【答案】C12．(2017·重庆巴蜀中学模拟）已知F1，F2为椭圆C：eq\f(x2，9）＋eq\f(y2，8)＝1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点,eq\o(EF1,\s\up6(→))·eq\o（EF2,\s\up6（→))的最大值、最小值分别为()A．9,7B．8,7C．9,8D．17，8【解析】由题意可知椭圆的左右焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)，设E(x,y)，则eq\o(EF1，\s\up6（→））＝(－1－x，－y)，eq\o（EF2,\s\up6(→)）＝(1－x，－y），eq\o（EF1，\s\up6(→)）·eq\o(EF2,\s\up6（→)）＝x2－1＋y2＝x2－1＋8－eq\f(8，9)x2＝eq\f（1,9)x2＋7（－3≤x≤3）,所以当x＝0时，eq\o（EF1,\s\up6(→)）·eq\o(EF2，\s\up6（→))有最小值7，当x＝±3时，eq\o（EF1，\s\up6（→))·eq\o(EF2，\s\up6(→））有最大值8,故选B.【答案】B13．（2016·江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆eq\f（x2，a2)＋eq\f（y2，b2）＝1(a＞b＞0）的右焦点，直线y＝eq\f（b，2）与椭圆交于B,C两点，且∠BFC＝90°,则该椭圆的离心率是________．【解析】由题意可得Beq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(\r（3），2）a,\f(b，2)）），Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)，2）a,\f（b,2）)），F(c,0)，则由∠BFC＝90°，得eq\o（BF，\s\up6（→))·eq\o（CF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（c＋\f(\r(3）,2)a，－\f(b，2)））·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－\f(\r(3）,2)a，－\f（b，2)）)＝c2－eq\f(3,4）a2＋eq\f（1,4）b2＝0,化简得eq\r(3)c＝eq\r(2）a，则离心率e＝eq\f(c，a)＝eq\f（\r(2），\r(3)）＝eq\f(\r（6）,3）。【答案】eq\f(\r（6)，3)14．(2016·四川）已知椭圆E:eq\f(x2，a2）＋eq\f(y2,b2）＝1（a＞b＞0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点Peq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\r(3)，\f（1,2)))在椭圆E上．（1）求椭圆E的方程；（2）设不过原点O且斜率为eq\f（1,2）的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B,线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：|MA|·|MB｜＝|MC|·|MD|。【解析】(1)由已知，a＝2b.又椭圆eq\f（x2，a2）＋eq\f（y2，b2)＝1(a＞b＞0）过点Peq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\r（3）,\f(1，2））)，故eq\f(3，4b2）＋eq\f(\f（1,4）,b2)＝1，解得b2＝1。所以椭圆E的方程是eq\f(x2,4）＋y2＝1.（2）证明设直线l的方程为y＝eq\f(1，2）x＋m（m≠0)，A（x1，y1），B（x2，y2），由方程组eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（\f（x2，4)＋y2＝1，,y＝\f（1，2）x＋m，))得x2＋2mx＋2m2－2＝0，①方程①的判别式为Δ＝4（2－m2），由Δ＞0，即2－m2＞0，解得－eq\r（2)＜m＜eq\r(2）.由①得x1＋x2＝－2m,x1x2＝2m2－2。所以M点坐标为eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－m，\f（m，2）))，直线OM方程为y＝－eq\f（1，2）x，由方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f（x2，4）＋y2＝1,，y＝－\f(1，2)x，）)得Ceq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\r（2),\f(\r（2),2)）），Deq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\r(2)，－\f（\r(2)，2)）)。所以｜MC｜·｜MD|＝eq\f（\r（5),2)（－m＋eq\r(2）)·eq\f（\r（5），2)(eq\r(2）＋m）＝eq\f（5，4）(2－m2）．又｜MA｜·｜MB|＝eq\f（1，4）｜AB｜2＝eq\f(1，4)[（x1－x2)2＋（y1－y2）2］＝eq\f(5,16）[（x1＋x2）2－4x1x2］＝eq\f（5，16）［4m2－4(2m2－2)］＝eq\f(5,4)(2－m2），所以｜MA｜·｜MB|＝