《2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式》学习任务单

《2.1.2平面直角坐标系中的基本公式》学习任务单一、学习目标1、能理解两点间距离公式的推导过程，记住这个公式。2、会用两点间距离公式解决简单的平面内两点间距离问题。3、能够在实际问题中灵活运用这个公式，体会数学与生活的联系。二、重难点1、重点两点间距离公式的推导。运用两点间距离公式进行计算。2、难点两点间距离公式在复杂几何问题和实际问题中的应用。三、学习内容分解与学习步骤（一）两点间距离公式的推导1、回忆数轴上两点间的距离我们先来看数轴上的情况。如果有两个点A和B，它们在数轴上对应的数分别是\（x_1\）和\（x_2\），那A和B两点间的距离\（d(A,B)＼）怎么求呢？（大家可以先自己想一想，然后再看下面哦。）答案是\（d(A,B)＝＼vertx_2x_1\vert\）。比如说，点A对应的数是1，点B对应的数是4，那么\（d(A,B)＝＼vert41\vert＝3\）。2、探究平面直角坐标系中两点间距离现在我们把情况变得复杂一点，到平面直角坐标系里啦。有两个点\（P_1(x_1,y_1)＼）和\（P_2(x_2,y_2)＼），我们怎么求它们之间的距离呢？我们可以过\（P_1\）和\（P_2\）分别向x轴和y轴作垂线，这样就构成了一个直角三角形。这个直角三角形的两条直角边的长度分别是\（＼vertx_2x_1\vert\）和\（＼verty_2y_1\vert\）。根据勾股定理\（a^｛2}＋b^｛2}＝c^｛2}＼）（这里\（a=＼vertx_2x_1\vert\），＼（b＝＼verty_2y_1\vert\），＼（c\）就是我们要求的两点间距离\（d(P_1,P_2)＼）），我们就可以得到两点间距离公式\（d(P_1,P_2)＝＼sqrt{（x_2x_1)＾｛2}＋（y_2y_1)＾｛2}｝＼）。（二）两点间距离公式的应用1、简单计算例1：已知点\（A(1,2)＼）和点\（B(4,6)＼），求\（d(A,B)＼）。我们直接把\（x_1＝1\），＼（y_1＝2\），＼（x_2＝4\），＼（y_2＝6\）代入两点间距离公式\（d(A,B)＝＼sqrt{（41)＾｛2}＋（62)＾｛2}｝＝＼sqrt{3^｛2}＋4^｛2}｝＝＼sqrt{9＋16}＝＼sqrt{25}＝5\）。大家自己来做一道类似的题吧。已知点\（C(1,3)＼）和点\（D(2,1)＼），求\（d(C,D)＼）。（做完后可以和旁边的同学对一下答案哦。）2、几何图形中的应用例2：在三角形\（ABC\）中，＼（A(1,1)＼），＼（B(4,5)＼），＼（C(1,3)＼），判断三角形\（ABC\）是什么三角形。首先我们要分别求出三角形三条边的长度。＼（d(A,B)＝＼sqrt{（41)＾｛2}＋（51)＾｛2}｝＝＼sqrt{3^｛2}＋4^｛2}｝＝＼sqrt{9＋16}＝＼sqrt{25}＝5\）；＼（d(A,C)＝＼sqrt{（11)＾｛2}＋（31)＾｛2}｝＝＼sqrt{（2)＾｛2}＋2^｛2}｝＝＼sqrt{4＋4}＝＼sqrt{8}＝2\sqrt{2}＼）；＼（d(B,C)＝＼sqrt{（14)＾｛2}＋（35)＾｛2}｝＝＼sqrt{（5)＾｛2}＋（2)＾｛2}｝＝＼sqrt{25＋4}＝＼sqrt{29}＼）。然后我们根据三条边的长度关系来判断三角形的类型。因为\（（2\sqrt{2}）＾｛2}＋5^｛2}＝8＋25＝33\），＼（（＼sqrt{29}）＾｛2}＝29\），＼（33\neq29\），且\（（2\sqrt{2}）＾｛2}＜5^｛2}＼），所以三角形\（ABC\）是钝角三角形。现在轮到你们啦。在四边形\（ABCD\）中，＼（A(0,0)＼），＼（B(3,4)＼），＼（C(1,7)＼），＼（D(4,3)＼），判断四边形\（ABCD\）是什么四边形。（这题有点挑战哦，可以小组讨论一下。）3、实际问题中的应用例3：有一个城市，东西方向的大街和南北方向的大街互相垂直，相邻两条大街之间的距离都是1千米。一个人从A点\（（3,2)＼）走到B点\（（1,6)＼），如果他只能沿着大街走，他最少要走多少千米？我们先求出\（A\）和\（B\）两点间的距离\（d(A,B)＝＼sqrt{（13)＾｛2}＋（62)＾｛2}｝＝＼sqrt{（4)＾｛2}＋4^｛2}｝＝＼sqrt{16＋16}＝＼sqrt{32}＝4\sqrt{2}＼）千米。因为他只能沿着大街走，所以他最少要走的距离就是\（4＋4＝8\）千米。那大家来做一道类似的实际问题吧。有一个正方形的广场，四个顶点坐标分别为\（（0,0)＼），＼（（10,0)＼），＼（（10,10)＼），＼（（0,10)＼），在广场内有一盏路灯在\（P(3,5)＼）点，一个人在\（Q(8,2)＼）点，这个人要走到路灯下，他最少要走多少米？（假设相邻两点距离为1米）四、学习资源1、教材：高中人教B版必修2课本。2、在线课程平台：可以在一些知名的在线教育平台上搜索“平面直角坐标系中的基本公式”相关课程，进行辅助学习。习题答案1、对于求\（d(C,D)＼），＼（d(C,D)＝＼sqrt{（2-（1)）＾｛2}＋（（1)－3)＾｛2}｝＝＼sqrt{3^｛2}＋（4)＾｛2}｝＝＼sqrt{9＋16}＝＼sqrt{25}＝5\）。2、对于判断四边形\（ABCD\）的类型：＼（d(A,B)＝＼sqrt{（30)＾｛2}＋（40)＾｛2}｝＝＼sqrt{9＋16}＝＼sqrt{25}＝5\）；＼（d(A,C)＝＼sqrt{（10)＾｛2}＋（70)＾｛2}｝＝＼sqrt{1+（7)＾｛2}｝＝＼sqrt{1＋49}＝＼sqrt{50}＝5\sqrt{2}＼）；＼（d(A,D)＝＼sqrt{（40)＾｛2}＋（30)＾｛2}｝＝＼sqrt{16＋9}＝＼sqrt{25}＝5\）；＼（d(B,C)＝＼sqrt{（13)＾｛2}＋（74)＾｛2}｝＝＼sqrt{（4)＾｛2}＋3^｛2}｝＝＼sqrt{16＋9}＝＼sqrt{25}＝5\）；＼（d(B,D)＝＼sqrt{（43)＾｛2}＋（34)＾｛2}｝＝＼sqrt{（7)＾｛2}＋（1)＾｛2}｝＝＼sqrt{49+1}＝＼sqrt{50}＝5\sqrt{2}＼）；＼（d(C,D)＝＼sqrt{（4-（1)）＾｛2}＋（37)＾｛2}｝＝＼sqrt{（3)＾｛2}＋（4)＾｛2}｝＝＼sqrt{9＋16}＝＼sqrt{25}＝5\）。因为\（AB＝CD＝5\），＼（AD＝BC＝5\），＼（AC＝BD＝5\sqrt{2}＼），所以四边形\（ABCD\）是矩形。3、对于求从\（Q\）点到\（P