2024-2025学年高中数学第一章解三角形1.2第2课时测量高度角度问题学案含解析新人教A版必修5

PAGE第2课时测量高度、角度问题内容标准学科素养1.精确理解实际测量中常用的仰角、俯角、方向角等概念．2.驾驭测量高度的常见方法．3.能把方向角等角度条件转化为解三角形的条件，解决航海等角度问题.运用直观想象提升数学运算发展逻辑推理转化数学抽象授课提示：对应学生用书第9页[基础相识]学问点相关术语学问梳理名称术语意义图示仰角与俯角在同一铅直平面内，目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角坡角坡面与水平面的夹角设坡角为α，坡度为i，则i＝eq\f(h,l)＝tan_α坡度坡面的垂直高度h和水平宽度l的比值方位角从正北方向顺时针转到目标方向线的最小正角方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角[自我检测]1．若P在Q的北偏东37°方向上，则Q在P的()A．东偏北53°方向上 B．北偏东37°方向上C．南偏西37°方向上 D．西偏南53°方向上答案：C2．在200m的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，答案：eq\f(400,3)m授课提示：对应学生用书第10页探究一利用仰角测量高度[阅读教材P13的例3]测量器材：测角仪，卷尺方法步骤：(1)选水平基线HG，使H，G，B三点共线，与A点构造一个面内的三角形．(2)测量HG长度，和角度∠ADE＝β，∠ACE＝α，测角仪高度为h.(3)在△ACD中求AC，在△ACE中求AE，进而求AB＝AE＋h.[例1]如图，在坡角为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最终一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最终一排的距离为10eq\r(6)m，则旗杆的高度为________m.[解析]如图，设旗杆高为h，最终一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，则BC＝eq\f(h,sin60°)＝eq\f(2\r(3),3)h.在△ABC中，AB＝10eq\r(6)m，∠CAB＝45°，∠ABC＝105°，∴∠ACB＝30°，由正弦定理，得eq\f(10\r(6),sin30°)＝eq\f(\f(2\r(3),3)h,sin45°)，故h＝30m.[答案]30方法技巧此类题所选基线与建筑物位于同一个平面内，一般要构造两个三角形，基线和建筑物分别是两个三角形的边，通过正、余弦定理求解．跟踪探究1.如图，要在山坡上A，B两处测量与地面垂直的铁塔CD的高，由A，B两处测得塔顶C的仰角分别为60°和45°，AB长为40m，斜坡与水平面成30°角，则铁塔CD的高为________解析：延长CD交过A，B的水平线于E，F，因为∠CAE＝60°，∠CBF＝45°，∠DBF＝30°，所以∠BCF＝45°，∠ACE＝30°，∠BDF＝60°，所以∠BCA＝15°，∠ADC＝120°，∠CBA＝15°，∠CAD＝30°.所以AC＝AB＝40，在△ACD中，由正弦定理得，eq\f(AC,sin∠ADC)＝eq\f(CD,sin∠CAD)，即eq\f(40,\f(\r(3),2))＝eq\f(CD,\f(1,2))，解得CD＝eq\f(40\r(3),3).答案：eq\f(40\r(3),3)[阅读教材P14例5]测量器材：测角仪，卷尺方法步骤：(1)选基线(马路)AB.(2)在A点测山顶D在水平面上的射影点E的方向角．(3)在B点测E的方向角及山顶的仰角．(4)测出AB长度．(5)在空间中运用三角形△ABC和△BCD，求CD.[例2]如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测量点C和D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.[解析]在△BCD中，∠BCD＝α，∠BDC＝β，∴∠CBD＝180°－(α＋β)，∴eq\f(BC,sinβ)＝eq\f(s,sin[180°－α＋β])，即eq\f(BC,sinβ)＝eq\f(s,sinα＋β)，∴BC＝eq\f(sinβ,sinα＋β)·s.在△ABC中，由于∠ABC＝90°，∴eq\f(AB,BC)＝tanθ.∴AB＝BC·tanθ＝eq\f(sinβ·tanθ,sinα＋β)·s.方法技巧对于底部不行到达的建筑物的高度测量问题，我们可选择一条过建筑物底部点的基线，在基线和基线所在的平面上取另外两点，这样四点可以构成两个小三角形．其中，把不含未知高度的那个小三角形作为依托，从中解出相关量，进而应用到含未知高度的三角形中，利用正弦或余弦定理解决即可．跟踪探究2.如图，地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上选一基线AB，AB＝20m，在A点处测得P点仰角∠OAP＝30°，在B点处测得P点的仰角∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°，求旗杆的高度h.(结果保留两个有效数字解析：在Rt△AOP中，∠OAP＝30°，OP＝h.∴OA＝OP·eq\f(1,tan30°)＝eq\r(3)h.在Rt△BOP中，∠OBP＝45°，∴OB＝OP·eq\f(1,tan45°)＝h.在△AOB中，AB＝20，∠AOB＝60°，由余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2·OA·OB·cos60°，即202＝(eq\r(3)h)2＋h2－2×eq\r(3)h×h×eq\f(1,2)，解得h2＝eq\f(400,4－\r(3))≈176.4，∴h≈13m.即旗杆的高度h约为13m.探究二利用俯角测量高度[阅读教材P13－14例4]测量器材：测角仪方法步骤：(1)选基点A.(2)在C处测A的俯角β.(3)在B处测A的俯角α.(4)解三角形，在斜三角形中求AB，在Rt△ABD中求BD或在斜三角形中求AC，在Rt△ADC中求CD.[例3]飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔15000m，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为18°，经过108s后又看到山顶的俯角为78°A．(15－18eq\r(3)sin18°cos78°)kmB．(15－18eq\r(3)sin18°sin78°)kmC．(15－20eq\r(3)sin18°cos78°)kmD．(15－20eq\r(3)sin18°sin78°)km[解析]如图，作CD⊥AD，垂足为点D.∵A＝18°，∠CBD＝78°，∴∠ACB＝60°，AB＝1000×108×eq\f(1,3600)＝30(km)，∴在△ABC中，BC＝eq\f(30sin18°,sin60°)＝20eq\r(3)sin18°.∵CD⊥AD，∴CD＝BCsin∠CBD＝20eq\r(3)sin18°sin78°(km)，山顶的海拔高度为(15－20eq\r(3)sin18°sin78°)km.故选D.[答案]D方法技巧通过俯角构造三角形，运用正弦定理求解．跟踪探究3.如图，在离地面200m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC＝60°，则山的高度BC为________m.解析：依据题意，可得在Rt△AMD中，∠MAD＝45°，MD＝200，所以AM＝eq\f(MD,sin45°)＝200eq\r(2).因为在△MAC中，∠AMC＝45°＋15°＝60°，∠MAC＝180°－45°－60°＝75°，所以∠MCA＝180°－∠AMC－∠MAC＝45°，由正弦定理，得AC＝eq\f(MAsin∠AMC,sin∠MCA)＝eq\f(200\r(2)×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝200eq\r(3)，在Rt△ABC中，BC＝ACsin∠BAC＝200eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝300m.答案：300探究三测量角度[阅读教材P15－16例6]方法步骤：(1)依据题意画出海轮的行驶方向及位置．(2)解三角形，依据余弦定理求AC，依据正弦定理求角．(3)依据方向角的概念求航向．[例4]某海上养殖基地A接到气象部门通知，位于基地南偏东60°方向，距离基地20(eq\r(3)＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10eq\r(2)海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预料台风中心将从基地东北方向刮过且(eq\r(3)＋1)小时后起先影响基地，持续2小时．求台风移动的方向．[解析]如图所示，设刚接到通知时台风中心为B，起先影响基地时台风中心为C,2小时后，起先不影响基地时台风中心为D，则B，C，D在同始终线上，且AD＝20，AC＝20.由题意知，AB＝20(eq\r(3)＋1)，DC＝20eq\r(2)，BC＝(eq\r(3)＋1)×10eq\r(2).在△ADC中，∵DC2＝AD2＋AC2，∴∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.在△ABC中，由余弦定理得cos∠BAC＝eq\f(AC2＋AB2－BC2,2AC·AB)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠BAC＝30°.又∵B位于A的南偏东60°方向上，且60°＋30°＋90°＝180°，∴D位于A的正北方向．又∵∠ADC＝45°，∴台风移动的方向为北偏西45°方向．方法技巧解决测量角度问题的留意点(1)明确方位角和方向角的含义．(2)分析题意，分清已知与所求，并依据题意画出正确的示意图，这是最关键的一步．(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，留意正、余弦定理的“联袂”运用．跟踪探究4.某沿海四个城市A，B，C，D的位置如图所示，其中∠ABC＝60°，∠BCD＝135°，AB＝80nmile，BC＝(40＋30eq\r(3))nmile，AD＝70eq\r(6)nmile，D位于A的北偏东75°方向．现在有一艘轮船从A动身沿直线航行，一段时间到达D后，轮船收到指令改向城市C直线航行，收到指令时城市C对于轮船的方位角是南偏西θ，则sinθ＝________.解析：连接AC(图略)，在△ABC中，依据余弦定理得AC2＝802＋(40＋30eq\r(3))2－2×80×(40＋30eq\r(3))×cos60°，解得AC＝50eq\r(3)(nmile)．再依据正弦定理eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，得sin∠ACB＝eq\f(4,5)，则cos∠ACB＝eq\f(3,5)，于是sin(135°－∠ACB)＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(3,5)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))×eq\f(4,5)＝eq\f(7\r(2),10).在△ACD中，依据正弦定理eq\f(AC,sinD)＝eq\f(AD,sin135°－∠ACB)，得sinD＝eq\f(1,2)，所以D＝30°，因此依据题意，θ＝75°－30°＝45°，所以sinθ＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)授课提示：对应学生用书第11页[课后小结]测量高度时常见的三种数学模型及其特征(1)有以下三种数学模型底部可到达底部不行到达解直角三角形解直角三角形解一般三角形(2)特征①底部可到达，此类问题可干脆构造直角三角形．②底部不行到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者始终向“目标物”前进．③底部不行到达，且涉及与地面垂直的平面．此类问题中观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”．(3)解三角形应用题的方法步骤解三角形应用题时，通常都要依据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所求三角形的边角的大小，从而得出实际问题的解．这种数学建模思想，从实际问题动身，经过抽象概括，把它转化为详细问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解，用流程图可表示为：[素养培优]方程、不等式思想在三角形实际应用中的呈现据气象台预报，距S岛正东方向300km的A处有一台风中心形成，并以每小时30km的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270km以内的地区将受到台风的影响，问：S岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时S岛起先受到台风的影响？持续时间多久？说明理由．解析：设台风中心经过t小时到达B点，由题意，∠SAB＝90°－30°＝60°，在△SAB中，SA＝300，AB＝30t，∠SAB＝60°，由余弦定理得：