832独立性检验的具体应用-分层练习-2021-2022学年高二下学期数学（2020）选择性

【学生版】8.3.2独立性检验的具体应用【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容；1、判断下列命题的真假（真命题用：√表示；假命题用：×表示）①分类变量中的变量与函数的变量是同一概念；（）②事件A与B的独立性检验无关，即两个事件互不影响；（）③χ2的大小是判断事件A与B是否相关的统计量；（）④由独立性检验可知，在犯错误的概率不超过1%的前提下认为物理成绩优秀与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀；（）⑤事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2的观测值越大；（）【答案】2、对于χ2，下列说法正确的是()A．χ2越大，“事件A与B有关系”的可信程度越小B．χ2越小，“事件A与B有关系”的可信程度越小C．χ2越接近于0，“事件A与B没有关系”的可信程度越小D．χ2越大，“事件A与B没有关系”的可信程度越大【答案】；【解析】3、某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系，随机抽取了部分工人，得到如下列联表：文化程度与月收入列联表(单位：人)收入文化程度月收入2000元以下月收入2000元及以上总计高中文化以上104555高中文化及以下203050总计3075105由上表中数据计算得χ2＝eq\f(105×(10×30－45×20)2,55×50×30×75)≈6.109.如果认为文化程度与月收入有关系，那么犯错误的概率不会超过（）A．0.01B．0.025C．0.03D．0.05【答案】【解析】4、通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：性别运动男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110下列结论正确的是()A．认为“爱好该项运动与性别有关”，犯错误的概率不超过0.01B．认为“爱好该项运动与性别无关”，犯错误的概率不超过0.01C．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题；5、根据下表计算：不看电视看电视男3785女35143χ2≈__________(保留3位小数)．6、高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班学生的数学成绩优秀和及格统计人数后，得到如下列联表：优秀及格总计甲班113445乙班83745总计197190则随机变量χ2的值约为（保留三位小数）7、某高校教“统计初步”课程的教师随机调查了选该课程的一些学生的情况，具体数据如下表：专业性别非统计专业统计专业男1310女720为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到的观测值≈4.844.因为>3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为________．附表：P(≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.8288、某省进行高中新课程改革已经四年了，为了了解教师对新课程教学模式的使用情况，某一教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查．共调查了50人，其中有老教师20人，青年教师30人．老教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人．（1）根据以上数据建立一个2×2列联表；（2）依据小概率α＝0.001值，能否推断青年教师和老教师在新课程教学模式的使用上有差异？【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。9、针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的eq\f(5,6)，女生喜欢抖音的人数占女生人数的eq\f(2,3)，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能值有临界值表：α0.0500.010xα3.8416.635附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).10、为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表：SO2PM2.5[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710①估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；②根据所给数据，完成下面的2×2列联表：SO2PM2.5[0,150](150,475][0,75](75,115]③根据②中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82811、为了预防疫情蔓延，某校推迟某年的春季线下开学，并采取了“停课不停学”的线上授课措施．为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了该校的100名学生(男生与女生的人数之比为3∶2)对线上课程进行评价打分，若评分不低于80分视为满意，其得分情况的频率分布直方图如图所示，若根据频率分布直方图得到的评分不低于70分的频率为0.85．①估计100名学生对线上课程评分的平均值；(每组数据用该组的区间中点值为代表)②结合频率分布直方图，请完成以下2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”；态度性别满意不满意合计男生女生10合计100χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d．P(χ2＝k0)0.100.050.0250.0100.005k02.7063.8415.0246.6357.87912、某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：锻炼人次空气质量等级[0,200](200,400](400,600]1(优)216252(良)510123(轻度污染)6784(中度污染)720(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率；(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次＞400空气质量好空气质量不好附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【教师版】8.3.2独立性检验的具体应用【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容；1、判断下列命题的真假（真命题用：√表示；假命题用：×表示）①分类变量中的变量与函数的变量是同一概念；（）②事件A与B的独立性检验无关，即两个事件互不影响；（）③χ2的大小是判断事件A与B是否相关的统计量；（）④由独立性检验可知，在犯错误的概率不超过1%的前提下认为物理成绩优秀与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀；（）⑤事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2的观测值越大；（）【答案】①×；②×；③√；④×；⑤√；2、对于χ2，下列说法正确的是()A．χ2越大，“事件A与B有关系”的可信程度越小B．χ2越小，“事件A与B有关系”的可信程度越小C．χ2越接近于0，“事件A与B没有关系”的可信程度越小D．χ2越大，“事件A与B没有关系”的可信程度越大【答案】B；【解析】χ2越大，“事件A与B没有关系”的可信程度越小，则“事件A与B有关系”的可信程度越大；χ2越小，“事件A与B有关系”的可信程度越小．故选B．3、某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系，随机抽取了部分工人，得到如下列联表：文化程度与月收入列联表(单位：人)收入文化程度月收入2000元以下月收入2000元及以上总计高中文化以上104555高中文化及以下203050总计3075105由上表中数据计算得χ2＝eq\f(105×(10×30－45×20)2,55×50×30×75)≈6.109.如果认为文化程度与月收入有关系，那么犯错误的概率不会超过（）A．0.01B．0.025C．0.03D．0.05【答案】D；【解析】因为χ2≈6.109>3.841＝x0.05，所以认为文化程度与月收入有关系，那么犯错误的概率不会超过0.05.4、通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：性别运动男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110下列结论正确的是()A．认为“爱好该项运动与性别有关”，犯错误的概率不超过0.01B．认为“爱好该项运动与性别无关”，犯错误的概率不超过0.01C．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【答案】A；【解析】χ2＝eq\f(110×(40×30－20×20)2,60×50×60×50)≈7.8.由χ2≈7.8＞6.635＝x0.01可知，认为“爱好该项运动与性别有关”，犯错误的概率不超过0.01.【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题；5、根据下表计算：不看电视看电视男3785女35143χ2≈__________(保留3位小数)．【答案】4.514；【解析】χ2＝eq\f(300×(37×143－85×35)2,122×178×72×228)≈4.514.6、高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班学生的数学成绩优秀和及格统计人数后，得到如下列联表：优秀及格总计甲班113445乙班83745总计197190则随机变量χ2的值约为（保留三位小数）【答案】0.600；【解析】根据列联表中的数据，可得χ2＝eq\f(90×(11×37－34×8)2,45×45×19×71)≈0.600；7、某高校教“统计初步”课程的教师随机调查了选该课程的一些学生的情况，具体数据如下表：专业性别非统计专业统计专业男1310女720为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到的观测值≈4.844.因为>3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为________．附表：P(≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828【答案】5%；【解析】因为，>3.841，查临界值表，得P(≥3.841)＝0.05，故这种判断出错的可能性为5%.8、某省进行高中新课程改革已经四年了，为了了解教师对新课程教学模式的使用情况，某一教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查．共调查了50人，其中有老教师20人，青年教师30人．老教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人．（1）根据以上数据建立一个2×2列联表；（2）依据小概率α＝0.001值，能否推断青年教师和老教师在新课程教学模式的使用上有差异？【解析】（1）2×2列联表如下所示.赞同不赞同总计老教师101020青年教师24630总计341650（2）假设H0：青年教师和老教师在新课程教学模式的使用上没有差异．由公式得χ2＝eq\f(50×(10×6－24×10)2,34×16×20×30)≈4.963＜10.828＝x0.001，我们推断H0不成立，即认为青年教师和老教师在新课程教学模式的使用上有差异，此推断犯错误的概率不大于0.001；【说明】1、利用χ2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))求出χ2的值．再利用小概率α的值以及对应的临界值来判断有多大的把握判断两个事件有关；2、解题时应注意准确计算，不可错用公式，准确进行比较与判断；【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。9、针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的eq\f(5,6)，女生喜欢抖音的人数占女生人数的eq\f(2,3)，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能值有临界值表：α0.0500.010xα3.8416.635附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).【答案】54，60，66，72，78；【解析】设男生的人数为6n(n∈N*)，根据题意列出2×2列联表如下表所示：男生女生合计喜欢抖音5n4n9n不喜欢抖音n2n3n合计6n6n12n则χ2＝eq\f(12n×5n×2n－4n×n2,6n×6n×9n×3n)＝eq\f(4n,9)，由于有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则3.841≤χ2<6.635，即3.841≤eq\f(4n,9)<6.635，得8.6423≤n<14.929，因为n∈N*，则n的可能取值有9,10,11,12,13，因此，调查人数中男生人数的可能值为54,60,66,72,78；10、为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表：SO2PM2.5[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710①估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；②根据所给数据，完成下面的2×2列联表：SO2PM2.5[0,150](150,475][0,75](75,115]③根据②中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解析】①根据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的天数为32＋18＋6＋8＝64，因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的概率的估计值为eq\f(64,100)＝0.64．②根据抽查数据，可得2×2列联表：SO2PM2.5[0,150](150,475][0,75]6416(75,115]1010③根据②的列联表得χ2＝eq\f(100×64×10－16×102,80×20×74×26)≈7.484．由于7.484＞6.635，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关．11、为了预防疫情蔓延，某校推迟某年的春季线下开学，并采取了“停课不停学”的线上授课措施．为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了该校的100名学生(男生与女生的人数之比为3∶2)对线上课程进行评价打分，若评分不低于80分视为满意，其得分情况的频率分布直方图如图所示，若根据频率分布直方图得到的评分不低于70分的频率为0.85．①估计100名学生对线上课程评分的平均值；(每组数据用该组的区间中点值为代表)②结合频率分布直方图，请完成以下2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”；态度性别满意不满意合计男生女生10合计100χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d．P(χ2＝k0)0.100.050.0250.0100.005k02.7063.8415.0246.6357.879【解析】①由已知得(0.015＋b＋0.03)×10＝0.85，解得b＝0.04，又(0.005＋a)×10＝1－0.85，解得a＝0.01，评分的平均值为55×0.05＋65×0.1＋75×0.3＋85×0.4＋95×0.15＝80．②完成2×2列联表如下表：态度性别满意不满意合计男生253560女生301040合计5545100χ2＝eq\f(100×10×25－35×30,55×45×60×40)≈10.774＞6.635，所以，有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”．【说明】解独立性检验的应用问题的关注点：（1）两个明确：①明确两类主体．②明确研究的两个问题．（2）两个关键：①准确列出2×2列联表：②准确理解K2．注意：查表时不是查最大允许值，而是先根据题目