《1.1导数与函数的单调性》学习任务单

《1.1导数与函数的单调性》学习任务单一、学习目标1、理解导数与函数单调性之间的关系，能够运用导数判断函数的单调性。2、掌握利用导数求函数单调区间的方法。3、通过对函数单调性的研究，提高分析问题和解决问题的能力。二、重难点重点1、导数与函数单调性的关系。2、利用导数求函数单调区间的步骤。难点1、理解导数正负与函数单调性之间的本质联系。2、对含参数函数单调性的讨论。三、学习内容1、导数与函数单调性关系的探究2、求函数单调区间的方法学习，包括不含参数函数和含参数函数。四、学习步骤（一）导入（5分钟）1、同学们，咱们先回忆一下之前学过的函数单调性的定义。比如说，对于函数$y＝x^｛2}＄，咱们怎么判断它在某个区间上是增函数还是减函数呢？（让同学们回答，引导他们说出根据函数值随自变量的变化情况来判断）。2、那今天呢，咱们要学习一种新的、更厉害的判断函数单调性的方法，就是用导数来判断，大家是不是很期待呢？（二）知识讲解（15分钟）1、首先咱们来探究一下导数与函数单调性的关系。老师给大家举个简单的例子，比如函数$y＝3x＋2$，它的导数$y'＝3$。大家看这个导数是个常数，而且是正数，那这个函数的单调性是怎样的呢？（引导同学们回答函数是单调递增的）。2、再看函数$y=－2x＋5$，它的导数$y'＝2$，这个导数是负数，那这个函数的单调性又如何呢？（引导回答函数是单调递减的）。3、总结一下：当函数的导数大于0的时候，函数在相应区间上是单调递增的；当函数的导数小于0的时候，函数在相应区间上是单调递减的。这个关系很重要哦，大家要记好。（三）求函数单调区间的方法学习（20分钟）1、对于不含参数的函数，比如$y＝x^｛3}－3x$。第一步，咱们先求这个函数的导数，＄y'＝3x^｛2}－3$。第二步，令$y'＝0$，也就是$3x^｛2}－3＝0$，解这个方程得到$x=＼pm1$。第三步，根据$x$的值把定义域分成几个区间，这里定义域是$R$，分成$（＼infty,－1)＄，＄（－1,1)＄，＄（1,＋＼infty)＄这几个区间。第四步，在每个区间上取一个测试点，比如在$（＼infty,－1)＄取$x＝2$，代入$y'＄得到$y'＝9>0$，所以函数在$（＼infty,－1)＄上单调递增；在$（－1,1)＄取$x＝0$，代入$y'＄得到$y'＝－3<0$，所以函数在$（－1,1)＄上单调递减；在$（1,＋＼infty)＄取$x＝2$，代入$y'＄得到$y'＝9>0$，所以函数在$（1,＋＼infty)＄上单调递增。2、那对于含参数的函数呢，咱们举个例子，比如$y＝ax^｛2}＋bx＋c(a\neq0)＄。第一步，求导得$y'＝2ax＋b$。第二步，令$y'＝0$，则$2ax＋b＝0$，解出$x＝＼frac{b}｛2a}＄。第三步，这里要根据$a$的正负来讨论函数的单调性。如果$a>0$，当$x<＼frac{b}｛2a}＄时，＄y'＜0$，函数单调递减；当$x>＼frac{b}｛2a}＄时，＄y'＞0$，函数单调递增。如果$a<0$，情况就相反啦。（四）小组讨论与互动（15分钟）1、分成小组，每个小组45个人。2、给每个小组一个函数，比如$y＝x^｛4}－2x^｛2}＋3$，让他们按照刚刚学的方法求这个函数的单调区间。3、每个小组讨论的时候，要互相交流每一步是怎么做的，为什么要这么做。4、讨论结束后，每个小组派一个代表来给大家讲解他们小组的解题过程。其他小组的同学可以提问或者补充。（五）总结与回顾（5分钟）1、咱们一起回顾一下今天学的内容。首先是导数与函数单调性的关系，导数大于0函数单调递增，导数小于0函数单调递减。2、然后是求函数单调区间的方法，对于不含参数的函数和含参数的函数分别怎么做。3、大家在学习过程中有什么问题或者收获都可以分享一下哦。（六）课后作业1、求函数$y＝2x^｛3}－6x^｛2}＋7$的单调区间。2、讨论函数$y＝x^｛3}＋ax^｛2}＋bx＋c(a,b\inR)＄的单调性。五、学习资源1、北师大版选修22教材。2、在线数学学习平台，如作业帮、小猿搜题等（可以用于课后自主查询相关知识点或者观看讲解视频）。六、课后作业答案1、对于函数$y＝2x^｛3}－6x^｛2}＋7$：首先求导，＄y'＝6x^｛2}－12x$。令$y'＝0$，即$6x^｛2}－12x＝0$，因式分解得$6x(x2)＝0$，解得$x＝0$或者$x＝2$。把定义域分成$（＼infty,0)＄，＄（0,2)＄，＄（2,＋＼infty)＄三个区间。在$（＼infty,0)＄取$x=－1$，代入$y'＄得$y'＝18>0$，函数在$（＼infty,0)＄单调递增；在$（0,2)＄取$x＝1$，代入$y'＄得$y'＝－6<0$，函数在$（0,2)＄单调递减；在$（2,＋＼infty)＄取$x＝3$，代入$y'＄得$y'＝18>0$，函数在$（2,＋＼infty)＄单调递增。2、对于函数$y＝x^｛3}＋ax^｛2}＋bx＋c(a,b\inR)＄：求导得$y'＝3x^｛2}＋2ax＋b$。令$y'＝0$，则方程$3x^｛2}＋2ax＋b＝0$的判别式$＼Delta=（2a)＾｛2}－12b＝4(a^｛2}－3b)＄。当$＼Delta\leqslant0$，即$a^｛2}－3b\leqslant0$时，＄y'＼geqslant0$恒成立，函数在$R$上单调递增。当$＼Delta>0$，即$a^｛2}－3b>0$时，方程$3x^｛2}＋2ax＋b＝0$有两个不同的实根$x_{1}＝＼frac{－2a\sqrt{4(a^｛2}－3b)｝｝｛6}＄，＄x_{