重难点02不等式-2023年高考数学专练（原卷版）

重难点02不等式一、不等式及其解法以理解不等式的性质和解一元二次不等式为主，在高考中主要以客观题形式考查不等式的性质和一元二次不等式的解法；以主观题形式考查不等式与其他知识的综合.1.不等式的性质．2．比较大小．3．一元二次不等式的解法.快审题1.看到有关不等式的命题或结论的判定，想到不等式的性质．2．看到解不等式，想到求解不等式的方法步骤准解题1.明确解不等式的策略(1)一元二次不等式：先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解．2．掌握不等式恒成立问题的解题方法(1)f(x)>a对一切x∈I恒成立⇔f(x)min>a；f(x)<a对一切x∈I恒成立⇔f(x)max<a.(2)f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立⇔f(x)的图象在g(x)的图象的上方．(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等避误区解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0进行讨论一、填空题1．（2022·上海黄浦·模拟预测）不等式的解集为___________.2．（2021·上海青浦·一模）不等式的解集是__________.3．（2021·上海·模拟预测）已知集合，，则__________.4．（2017·上海中学模拟预测）若关于的不等式的解是,试求的最小值为_____.5．（2016·上海青浦·一模）设函数，若，则实数的取值范围是__________．6．（2017·上海浦东新·一模）若关于的不等式在区间内恒成立，则实数的取值范围为____．7．（2020·上海·复旦附中模拟预测）若命题：“存在整数使不等式成立”是假命题，则实数的取值范围是____________.8．（2010·上海·二模（文））若不等式对于一切恒成立，则实数的最大值为___．9．（2021·上海市青浦高级中学模拟预测）设函数f(x)=x,对任意x恒成立，则实数m的取值范围是________10．（2021·上海市青浦高级中学模拟预测）已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为.11．（2021·上海上海·一模）已知平面向量满足，向量()，且对任意，总有成立，则实数的取值范围是___________.12．（2016·上海长宁·一模）定义：关于的两个不等式和的解集分别为和，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式与不等式为对偶不等式，且，则______．二、单选题13．（2017·上海中学模拟预测）设x，y为正实数，且xy－(x＋y)＝1，则（

）A．x＋y≥2(＋1) B．xy≤＋1C．x＋y≤(＋1)2 D．xy≥2(＋1)14．（2019·上海·华师大二附中三模）若集合，，则“”是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又不必要条件15．（2018·上海杨浦·二模）设A、B是非空集合，定义：且．已知，，则等于（

）A． B． C． D．16．（2017·上海浦东新·二模）已知等比数列满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．17．（2020·上海·复旦附中模拟预测）设集合，，，，其中，下列说法正确的是A．对任意，是的子集，对任意，不是的子集B．对任意，是的子集，存在，使得是的子集C．对任意，使得不是的子集，对任意，不是的子集D．对任意，使得不是的子集，存在，使得不是的子集简单线性规划以画二元一次不等式(组)表示的平面区域、目标函数最值的求法为主，兼顾由最优解(可行域)情况确定参数的范围，以及简单线性规划问题的实际应用，加强直观想象素养．本节内容在高考中以选择、填空题的形式进行考查，难度为中、低档.1.求目标函数的最值(截距型、斜率型、距离型)．2.求参数的值(参数在约束条件中、参数在目标函数中)．3.线性规划的实际应用.快审题1.看到最优解求参数，想到由最值列方程(组)求解．2．看到形如z＝(x－a)2＋(y－b)2和形如z＝eq\f(y－b,x－a)，想到其几何意义．3．看到最优解型的实际应用题，想到线性规划问题，想到确定实际意义准解题记牢三种常见的目标函数及其求法(1)截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)，通过求直线的截距eq\f(z,b)的最值从而求出z的最值．(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝|PM|2.(3)斜率型：形如z＝eq\f(y－b,x－a)，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝kPM避误区1.忽视目标函数中y的系数的正负，而由直线截距的最值确定目标函数的最值．2．求解含参数的线性规划问题，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值一、填空题1．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）若实数满足约束条件，则目标函数的取值范围是__________.2．（2022·上海奉贤·二模）满足线性约束条件的目标函数的最大值是________.3．（2022·上海·复旦附中模拟预测）当、满足时，恒成立，则实数的取值范围是______．4．（2019·上海市大同中学三模）设实数、满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的值为________5．（2021·上海普陀·模拟预测）已知实数m>1，实数x､y满足不等式组，若目标函数z=x+my的最大值等于10，则m=___________.6．（2020·上海闵行·二模）若x、y满足，且，则的最大值为__________．7．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知为圆的一条直径，点的坐标满足不等式组，则的取值范围是___________.8．（2020·上海长宁·三模）已知点为不等式所表示的可行域内任意一点，点，为坐标原点，则的最大值为________9．（2019·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足，由点集所表示的区域的面积是__________．10．（2021·上海徐汇·二模）已知实数a、b使得不等式|ax2+bx+a|≤x对任意x∈[1，2]都成立，在平面直角坐标系xOy中，点（a，b）形成的区域记为Ω．若圆x2+y2＝r2上的任一点都在Ω中，则r的最大值为_____．二、单选题11．（2021·上海·模拟预测）实数x、y满足约束条件，则目标函数最大值是(

)A．1 B．2 C．3 D．412．（2019·上海杨浦·二模）若、满足，则目标函数的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．413．（2016·上海黄浦·一模（理））已知Р为直线上一动点，若点P与原点均在直线的同侧，则k、b满足的条件分别为（

）A．， B．，C．， D．，14．（2020·上海·一模）下列结论中错误的是（

）A．存在实数x，y满足，并使得成立B．存在实数x，y满足，并使得成立C．满足，且使得成立的实数x，y不存在D．满足，且使得成立的实数x，y不存在1.利用基本不等式求最值（注意基本不等式成立的条件）．2.基本不等式的应用快审题看到最值问题，想到“积定和最小”，“和定积最大”准解题掌握基本不等式求最值的3种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y＝m＋eq\f(A,gx)＋Bg(x)(A>0，B>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值避误区运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指“正数”；“二定”指应用基本不等式求最值时，和或积为定值；“三相等”是指满足等号成立的条件．若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到一、填空题1．（2016·上海·高考真题（文））设a＞0,b＞0．若关于x,y的方程组无解，则的取值范围是．2．（2014·上海·高考真题（文））若实数x,y满足xy=1,则+的最小值为______________.3．（2021·上海嘉定·一模）已知实数x、y满足，则的最小值为____________.4．（2021·上海青浦·三模）若正实数满足，则的最小值为__________.5．（2021·上海金山·二模）函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中、，则的最小值为____________.6．（2022·上海·二模）已知对，不等式恒成立，则实数的最大值是_________.7．（2022·上海·位育中学模拟预测）已知，且，则的最小值为_____.8．（2020·上海上海·一模）对于任意的正实数，，则的取值范围为___________.9．（2021·上海普陀·模拟预测）已知向量的夹角为锐角，且满足､，若对任意的，都有|x+y|≤1成立，则的最小值为___________.10．（2022·上海市实验学校模拟预测）对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最大值为________．11．（2014·上海虹口·二模（理））设是半径为的球面上的四个不同点,且满足,,,用分别表示△､△､△的面积,则的最大值是___________12．（2017·上海闵行·一模）已知两个不相等的非零向量和，向量组和均由个和个排列而成.记，那么的所有可能取值中的最小值是_______．（用向量表示）二、单选题13．（2011·上海·高考真题（理））若，且，则下列不等式中，恒成立的是A． B． C． D．14．（2017·上海中学模拟预测）设x，y为正实数，且xy－(x＋y)＝1，则（

）A．x＋y≥2(＋1) B．xy≤＋1C．x＋y≤(＋1)2 D．xy≥2(＋1)15．（2016·上海静安·二模（理））下列不等式一定成立的是（

）A．lg(x2＋)>lgx(x>0) B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)C． D．>1(x∈R)16．（2021·上海松江·二模）已知实数､满足，有结论：①若，，则有最大值；②若，，则有最小值；正确的判断是（

）A．①成立，②成立 B．①不成立，②不成立C．①成立，②不成立 D．①不成立，②成立17．（2021·上海闵行·一模）已知实数满足，则三个数中，大于1的个数最多是（

）A．0 B．1 C．2 D．3三、解答题18．（2020·上海青浦·二模）地铁给市民出行带来很多便利．已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，．经测算，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁为满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为．（1）求的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？19．（2019·上海松江·一模）汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车，某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为、、、，当车速为（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数随地面湿滑成都等路面情况而变化，）.阶段0、准备1、人的反应2、系统反应3、制动时间秒秒距离米米（1）请写出报警距离（米）与车速（米/秒）之间的函数关系式，并求时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间（精确到0.1秒）；（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时？20．（2013·上海浦东新·二模（理））已知直角的三边长，满足（1）在之间插入2011个数，使这2013个数构成以为首项的等差数列，且它们的和为，求的最小值；（2）已知均为正整数，且成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列，且，求满足不等式的所有的值；（3）已知成等比数列，若数列满足，证明：数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且是正整数.重难点题型必刷一、填空题1．已知，则__________．（填“＞”“＜”或“＝”）2．已知，，则的取值范围是__________3．已知不等式的解集为（2，3），则不等式的解集为____.4．函数的定义域是，则实数a的取值范围为________．5．若，则的取值范围是_____________．6．不等式的解集是___________.7．已知，，且，则的最小值为______.8．已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____.9．已知p：，q：.若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是___________.10．已知a＞b，关于x的不等式对于一切实数x恒成立，又存在实数，使得成立，则最小值为_________．11．研究问题：“已知关于x的不等式ax2－bx＋c＞0的解集为(1，2)，解关于x的不等式cx2－bx＋a＞0”，有如下解法：由ax2－bx＋c＞0⇒a－b＋c＞0.令y＝，则y∈，所以不等式cx2－bx＋a＞0的解集为.类比上述解法，已知关于x的不等式＋＜0的解集为(－2，－1)∪(2，3)，则关于x的不等式＋＜0的解集为________．12．已知m,n,t均为实数,表示不超过实数u的最大整数,若对任意实数x恒成立,且(),则实数P的最大值为______.二、单选题13．若、均为非零实数，则不等式成立的一个充要条件为（

）．A． B． C． D．14．不等式的解集为,则函数的图像大致为（

）A． B．C． D．15．数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明为（

）A． B．C． D．16．已知，，若，则对此不等式描述正确的是A．若，则至少存在一个以为边长的等边三角形B．若，则对任意满足不等式的都存在以为边长的三角形C．若，则对任意满足不等式的都存在以为边长的三角形D．若，则对满足不等式的不存在以为边长的直角三角形三、解答题17．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;