【25份合集】2016届高考数学（文科人教A版）大一轮课时作业（第6-10章）

[25份]2016届高考数学（文科人教A版）

大一轮课时作业

（第6-10章）

目录

2。16届高考数学（文科人教城）大一轮课时作业：6.1不等关系与不等式

2016届高考数学（文科人教城）大一轮课时作业：6.2一元二次不等式及其解法

2016届高考数学（文科人教城）大一轮课时作业：6.3二元一次不等式（蛆）与简单的线性规

2016届高考数学（文科人教城）大一轮课时作业：6.4基本不等式

2016届高考数学（文科人教斓）大一轮课时作业：6.5合情推理与演绎推理

2016届高考数学（文科人教斓）大一轮课时作业：6.6直接证明与间接证明

2016届高考数学（文科人教城）大一轮课时作业：7.1空间几何体的结构及其三视图和直观图

2016届高考数学（文科人教斓）大一轮课时作业：7.2空间几何体的表面积与体积

2016届高考数学（文科人教峨）大一轮课时作业：7.3空间点、直线、平面之间的位置关系

2016届高考数学（文科人教斓）大一轮课时作业：7,4直线、平面平行的判定及其性质

2016届高考数学（文科人教斓）大一轮课时作业：7.5直线、平面垂直的判定及其性质

2016届高考数学（文科人教城）大一轮课时作业：8.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程

2016届高考数学（文科人教斓）大一轮课时作业：8.2直线的交点坐标与距寓公式

2016届高考数学（文科人教城）大一轮课时作业：8.3圆的方程

2016届高考数学（文科人教城）大一轮课时作业：8.4直线与圆、圆与圆的位置关系

2016届高考数学（文科人教斓）大一轮课时作业：8.5椭圆

2。16届高考数学（文科人教城）大一轮课时作业：8.6双曲线

2016届高考数学（文科人教城）大一轮课时作业：8.7抛物线

2016届高考数学（文科人教城）大一轮课时作业：9.1算法与程序框图、基本算法语句

2”6届高考数学（文科人教城）大一轮课时作业：9.2随机抽样

2016届高考数学（文科人教城）大一轮课时作业：9.3用样本估计总体

2016届高考数学（文科人教斓）大一轮课时作业：9.4变量间的相关关系与统计案例

2D16届高考数学（文科人教斓）大一轮课时作业：10.1随机事件的概率

2016届高考数学（文科人数峨）大一轮课时作业：10.2古典概型

2016届高考数学（文科人教城）大一轮课时作业：10.3几何概型

课时提升作业（三十二）

不等关系与不等式

触基础达标练,（25分钟60分）

一、选择题（每小题5分，共25分）

1.（2015•济南模拟）已知a,b为非零实数,且a<b,则下列不等式一定

成立的

是（）

A.a2<b-B.abJ>a~b

C—<—D-<-

at>2a2bab

选C.若a<b<0,则a2>b2,故A错;若0<a<b,则2>巴,故D错;若ab<0,即

ab

a<0,b>0,则a2b>ab［故B错.

2.（2015•福州模拟）已知0<a<b〈l,则（）

11

C.(Iga)2<(lgb)D—>—

IgaIgb

【解题提示】利用不等式的基本性质和指数函数、对数函数的单调性

即可得出.

11自f

选D.因为0<a<b<l,所以---=—<0,可得

baab

K包>针;（lga）2>（lgb）2;

lga<lgb<0,可得^—>r--.

igalyo

综上可知，只有D正确.

【加固训练】（2015・富阳模拟）如果a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么

下列选项中不一定成立的是（）

A.ab>acB.bc>ac

C.cb2<abJD.ac(a-c)<0

选C.因为c<b<a,且ac<0,所以a>0,c<0.

所以ab-ac=a(b-c)>0,bc-ac=(b-a)c>0,ac(a-c)<0,所以A,B,D均正

确.

因为b可能等于0,也可能不等于0.所以cb2<ab2不一定成立.

3.某同学拿50元钱买纪念邮票,票面8角的每套5张，票面2元的每

套4张,如果每种邮票至少买两套,则买票面8角的x套与票面2元的

y套用不等式表示

为()

'X>2,2£GN,x<2,

A.y>2,yGN,B.y<2,

,0.8X5x4-2X4y<50,0.8X5x-I-2X4y<50

「fx>2,

D.0.8X5x+2X4yW50

(y>2

选A.根据题意直接列出相应的不等式,组成不等式组即可.

4.若a>b>c,a+b+c=0,下列不等式恒成立的是（）

A.ac>bcB.ab>ac

C.a|b|>c|b|D.a2>b2>c2

选B.由a>b>c,a+b+c=0,得a>0,c<0,

因为b>c,所以ab>ac.

5.若3a<BJ则a-B一定不属于的区间是()

A.(-…)B.(一箫)

C.(0,JI)D.(-Ji,0)

【解题提示】由』<a<Bd可得p<-,从而有-冗<a-B<0.

2222

选C.因为三<a<6<:所以一%-B〈二所以一冗<a-0<0,

2222

结合选项可知选项C一定不可能,故选C.

二、填空题（每小题5分，共15分）

6.（2015•蚌埠模拟）已知a+b>0,则言+?与工+：的大小关系

b2a2ab

是

且+M+D3U

b2a2\ab/b2a2

文闽6一去卜

因为a+b>0,(a-b)2>0,

空丝纪丈4与LL

a2bz，b2ab

口禾a2^a匕

7.(2015・临沂模拟)用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形

菜园，墙长18m,要求菜园的面积不小于216m2,靠墙的一边长为xm,其

中的不等关系可用不等式(组)表示为.

矩形的另一边长为;(30-x)=15-；x,矩形面积为x,5—gx)且0<x<18,

则不等式组为卜。5一2之216,

(,0<x<18.

答案:卜(15-9”216,

(0<x<18

8.已知f(x)=ax?+b,若lWf(l)W2,2Wf(2)W3,则f(3)的范围

为.

令f⑶=9a+b=m(a+b)+n(4a+b)=(m+4n)a+(m+n)b,贝H：上"1'解

即f⑶=/(a+b)+^(4a+b).

33

因为1<a+b<2,2<4a+b<3,

所以24f(3)q,即f⑶的范围是[2,y

答案:[2高

【一题多解】本题还可有以下解法:

巧妙换元：令a+b=x,4a+b=y,

则a=(,bl<x<2,2<y<3.

因为f(3)=9a+b型史,6<8y-5x<19,

3

所以24f(3)《争即f⑶的范围是,揖

【加固训练】(2015・盐城模拟)若-l<a+b<3,2〈a-b<4,则2a+3b的取

值范围为

设2a+3b=x(a+b)+y(a-b),则

x=9

二口解得

又因为英(a+b)<2,-2<-l(a-b)<-1,

所以g(a+b)-；(a-b)喙

g

即--<2a+3b<—

晨:(-泮)

三、解答题(每小题10分,共20分)

9,若a>b>0,c〈d〈0,e〈0.求证:仁。2>由①七、

【证明】因为c〈d〈0,所以-c>-d>0.

又因为a>b>0,所以a-c>b-d>0.

所以(a-c)2>(b-d)2>0,

T1

所以卜万不〈万布.

又因为e<°，所以色>彘？

10.三个正数a,b,c满足aWb+cW2a,bWa+cW2b,求2的取值范围.

a

因为a>0,故两个不等式同时除以a,

（1<--h-<2,fl

a

得八c2b-2b""C-b-

kaaakaaa

①+②得1——C--1C2上，

aaa

解之得三C-C

3a2

京⑧组.能力提升练,；（20分钟40分）

1.（5分）（2015•合肥模拟）已知a,b为实数，贝是“二?〈三”

a-1D-l

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

11

选A.由a>b>l=>a-l>b-l>0=>—<--,

a-lb-1

11

当a=0,b=2时,——,但a>b>l不成工，

a—1D—1

所以--<--a>b>l,故选A.

a-lb-1

2.（5分）（2015•烟台模拟）已知T<a<0,A=l+a2,B=l-a：C=--,比较

1+a

A,B,C的大小结果为（）

A.A<B<CB.B<A<C

C.A<C<BD.B<C<A

A

选B.方法一：不妨设a=-；,则4C=2,由此得B<A<C,选B.

方法二：由-l<a<0得l+a>0,

A-B=(1+a23)-(1-a2)=2a2>0得A>B,

一（】+「）.曾

>0,得C>A,所以B<A<C.

r+a

3.（5分）（2015・漳州模拟）已知下列结论:

①若a>|b|,则a3?;②若a>b,则

ab

③若a>b,则a：'>b';④若a<0,-Kb<0,则ab2>a.

其中正确的是(只填序号即可).

对于①，因为a>|b|为0,所以a2>b2,即①正确；

对于②，当a=2,b=-l时，显然不正确；

对于③，显然正确；对于④，因为a<0,-l<b<0,

ab2-a=a(t/T)>0,所以ab2>a,即④正确.

答案:①③④

4.(12分)已知函数f(x)=ax，bx+c满足f(1)=0,且a>b>c,求士的取值

a

范围.

【解题提示】用a+c把b表示出来代入a>b>c,利用放缩法求解.

因为f(1)=0,所以a+b+c=0,

所以b=-(a+c).又a>b>c,

所以a>-(a+c)>c,且a>0,c<0,

所以即i>-i-E>3

aaaa

—<—1.

所以：'解得-

弓>-2,a2

5.(13分)(能力挑战题)某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.

甲车队说：“如领队买全票一张,其余人可享受7.5折优惠”，乙车队

说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”.这两车队的原价、车型都

是一样的,试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠.

设该单位职工有n人(n6N.),全票价为x元，坐甲车需花yi元，坐乙车

需花丫2元,

3*134

则yi=x+-x•(n-1)=-x~nx,y=-nx.

44425

因B为Ly-y2=-1x+3-nx-4-nx

445

=-1x-1nx=1-xli--n-\J,

42。4X5/

当n=5时，yi=y2;

当n>5时，yi<y2；

当n<5时，yi>y2.

因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时,选甲车

队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠.

课时提升作业(三十三)

一元二次不等式及其解法

”基础达标练,(25分钟60分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1.不等式(x-1)(2-x)20的解集为()

A.{x|lWxW2}B.{x|xWl或x22}

C.{x|l<x<2}D.{x|x<l或x>2}

选A.因为(x-1)(2-x)>0,

所以(x-2)(x-1)<0,

所以结合二次函数的性质可得14X42.

故选A.

1

2.(2015•潍坊模拟)函数f(x)=的定义域是(

ln(-x244x-3)

A.(-8,1)U(3,+8)B.(1,3)

C.(一8,2)U(2,+8)D.(1,2)U(2,3)

—X2+4x-3A0,

选D.由题意知

x2+4x—3黄1,

即1<x<3,

*2,

故函数f(x)的定义域为(1,2)U(2,3).

【加固训练】不等式分W0的解集为()

2x+l

A.(加

B-[-P1]

C.(--T)U[1，+8)

D.(—g,一措]U[1,+°°)

选A.永。等价于不等式组①或心惑②

解①得<1,解②得x€0,

所以原不等式的解集为(一匕4

3.(2015•合肥模拟)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为

{x|x<-1或x)则f(10s)>0的解集为()

A.{x|x〈T或x>lg2}B.(x|-Kx<lg2}

C.{x|x>-lg2}D.{x|x<-lg2}

选c.由题意，得ioy-1,或iox>-,

1OX<-1无解;

由10'>；,得x>lg1,即x>Tg2.

4.关于x的不等式x2-ax+a>0(a£R)在R上恒成立的充分不必要条件

是()

A.a<0或a>4B.0<a<2

C.0<a<4D.0<a<8

选B.本题考查一元二次不等式的解法及充分必要条件的判断.由

x?-ax+a>0(a6R)在R上恒成立可知，△=a2-4a<0,所以0<a<4.当0<a<2

时，

△=a2-4a<0,x2-ax+a>0(aWR)在R上恒成立；反之不成立.故其充分不

必要条件为0<a<2.

5.已知函数f(x)=ax2-x-c,且不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<l},

选B.因为函数f(x)=ax2-x-c,

且不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<l},

所以a<0,方程ax2-x-c=O的两个根为-2和1,

1£〜

-2+1「-2x1=-一，所以a=-l,c=-2,

aa

所以f(x)=ax2-x-c=-x2-x+2,

所以f(-x)=-x?+x+2,其图象开口向下，与x轴交点为(-1,0),(2,0),

故选B.

二、填空题(每小题5分，共15分)

6.(2015・杭州模拟)若x=l满足不等式ax2+2x+l<0,则实数a的取值

范围是.

因为x=l满足不等式ax'+Zx+lVO,

所以a+2+KO,所以a3.

答案：(-8,-3)

7.已知函数f(x)4^[:2,若f(f(1))>3a；则a的取值范围

是.

f⑴=241=3,所以f(f(l))=f⑶=9+6a.

由f(f⑴)>3a?得9+6a>3a；

即a2-2a-3<0,解得-l〈a<3.

答案：(-1,3)

【误区警示】此题是分段函数，代入求值时容易出现因不同的取值而

出现错误,应注意分段函数分段求值，不能代错.

8.(2015•厦门模拟)已知p:x2k,q：2〈l,若p是q的充分不必要条

件,则实数

k的取值范围是.

【解题提示】先解出分式不等式的解集,再利用p是q的充分不必要

条件,可得结果.

—,-1)U(2,+°°),k€(2,+8).

答案：kC(2,+8)

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=X2-4X,求不等式

f(x)>x的解集.

由于f(x)为R上的奇函数,所以当x=0时，f(0)=0;当x<0时，-x>0,

所以f(-x)=x?+4x=-f(x),即f(x)=-X2-4X,所以

X2—4x,x>0,

f(x)=0,x=0,

-x2-4x,x<0.

由f(X)>x,可得AH或

解得x>5或-5<x<0,

所以原不等式的解集为(-5,0)U(5,+8).

10.设函数f(x)=mx2-mx-l.若对于xG［1,3］,f(x)<-m+5恒成立,求m

的取值范围.

要使f(x)<-m+5在［1,3］上恒成立，

即+|m-6<0在xC［1,3］上恒成立.

有以下两种方法：

方法一:令g(x)=m(x—g)+^m-6,x€［1,3］.

当m>0时，g(x)在［1,3］上是增函数,

所以8⑺他广8⑶=>7m-6<0,

所以m<y,则0<m<7；

当m=0时，-6<0恒成立；

当m<0时，g(x)在［1,3］上是减函数,

所以g(x)max=g(1)=>m-6<0,

所以m<6,所以m<0.

综上所述,m的取值范围是｛m|m<务

方法二：因为x?-x+l=(x—目+御,

又因为ma?-x+l)-6<0,所以m<

因为函数^=-~~之一在［1,3］上的最小值为之所以只需m<g即

77

可.

所以,m的取值范围是｛m|m<务

《⑧纱能力提升练,(20分钟40分)

1.(5分)关于x的不等式x2-(a+l)x+a<0的解集中，恰有3个整数,则

a的取值范围是()

A.(4,5)B.(-3,-2)U(4,5)

C.(4,5]D.[-3,-2)U(4,5]

选D.原不等式可化为(x-1)(x-a)<0,当a>l时得l<x〈a,此时解集中的

整数为2,3,4,则4<a45,当a<l时得a〈x〈l,此时解集中的整数为

-2,-1,0.则-34a<-2,故a£[-3,-2)U(4,5],

【加固训练】(2015•温州模拟)若不等式(x-a)(x-b)〈O的解集为

{x[l<x<2},则a+b的值为()

A.3B.1C.-3D.-1

选A.因为不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x|l<x<2},

所以1和2为方程(x-a)(x-b)=0的两个根,

所以a+b=l+2=3,

即a+b的值为3.

2.(5分)已知函数f(x)=ax2+bx+c,不等式f(x)<0的解集为｛x|x〈-3或

x>l｝,则函数y=f(-x)的图象可以为()

选B.由f(x)<0的解集为｛x|x<-3或x>l｝知a<0,y=f(x)的图象与x轴

交点为(-3,0),(1,0),

所以f(-x)图象开口向下，与x轴交点为(3,0),(-1,0).

3.(5分)(2015•青岛模拟)已知a为正的常数，若不等式VT在2

1+:咨对一切非负实数x恒成立,则a的最大值为_______.

2a

原不等式即士>(*),令+x=t,t>1,则x=JT,所以(*)

a2

即七》iq对t”恒成立，所以空空》1对t

a222a2

>1恒成立，又a为正的常数，所以a4[2(t+1)l,in=8,故a的最大值是

8.

答案：8

【加固训练】(2014媪州模拟)若关于x的不等式4X-2x"-a，0在等2]

上恒成立,则实数a的取值范围为.

因为4x-2x+1-a>0在［1,2］上恒成立,

所以4X-2X+1》a在［1,2］上恒成立.

令y=4x-2x+1=(2>2—2x2X+1-1=(2S-1)2-1.

因为l《x42,所以242*44.

由二次函数的性质可知：当2'=2,即x=l时，y有最小值0,所以a的取

值范围为

(-°°,0］.

答案：(-8,0］

4.(12分)已知函数f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab,当xW(-°°,-3)U(2,+°°)

时,f(x)<0.当x£(-3,2)时，f(x)>0.

⑴求f(x)在［0,1］内的值域.

⑵若ax?+bx+cWO的解集为R,求实数c的取值范围.

【解题提示】(1)由题意得-3,2是方程ax2+(b-8)x-a-ab=0的两根,

j_3+2=_*

故有<_a_L且a<0,解得a和b,然后再根据函数单调性解

(-3X2=^-，

出函数在［0,1］内的值域即可.

⑵在已知a和b的情况下，不等式ax2+bx+c<0的解集为R,列式

I!=…，可解出实数C的取值范围.

S=b"—4ac<0

⑴因为当x€(-00,-3)U(2,+8)时,£6)<0,

当x£(-3,2)时，f(x)>0,

所以-3,2是方程ax?+(b-8)x-a-ab=0的两根,

b-e

-3+2=」

所以可得I_a■%所以a-3,b=5,

1-3X2=—^―,

所以f(x)=-3x2-3x+18

2

=-3(x+§+18.75,

函数图象关于x=-0.5对称,且抛物线开口向下，

所以在区间［0,1］上f(x)为减函数,所以函数的最大值为f(0)=18,最

小值为f(1)=12,

故f(x)在［0,1］内的值域为［12,18］,

⑵由⑴知，不等式ax2+bx+c<0化为-3x?+5x+c40,因为二次函数

y=-3x2+5x+c的图象开口向下，要使-3x?+5x+c40的解集为R,只需

(a=—3<0,

(A=b2—4ac<0,

即25+12c<0^c<-—,

12

所以实数C的取值范围为(一叫一胃

【加固训练】1.已知不等式ax,-3x+6>4的解集为｛x|x<l或x>b｝.

(1)求a,b的值.

(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.

2

⑴因为不等式ax-3x+6>4的解集为｛x|x<l或x>b｝，所以Xi=l与x2=b

是方程ax<3x+2=0的两个实数根,b>l且a>0.由根与系数的关系，

得解得Si；：

⑵不等式ax2-(ac+b)x+bc<0,

即x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0.

当c>2时，不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{xI2<x<c};

当c<2时，不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{xIc<x<2};

当c=2时，不等式(X-2)(x-c)<0的解集为。.

所以,当02时，不等式ax2-(ac+b)x+bc<0的解集为{xI2<x<c};

当c<2时，不等式ax2-(ac+b)x+bc<0的解集为{xIc<x<2};

当c=2时，不等式ax?-(ac+b)x+bc<0的解集为0.

2.已知f(x)=-3x?+a(6-a)x+b.

⑴解关于a的不等式f(l)〉0.

⑵若不等式f(x)>0的解集为(-1,3),求实数a,b的值.

⑴因为f⑴>0,所以-3+a(6-a)+b>0,

即a2-6a+3-b<0.

△=(-6)2-4(3-b)=24+4b.

①当△(0,即b4-6时,原不等式的解集为◎

②当△>(),即b>-6时，

方程a2-6a+3-b=0有两根ai=3-\''6+

a2=3+V6-I-b,

所以不等式的解集为(3-V^Tb,3r‘百不

综上所述：当b4-6时，原不等式的解集为。；

当b>-6时，原不等式的解集为(3-后PR3+V6Tb).

⑵由f(x)>0,得-3x?+a(6-a)x+b>0,

即3x2-a(6-a)x-b<0.

因为它的解集为(-1,3),

所以-1与3是方程3x2-a(6-a)x-b=O的两根.

fqIQ_ad

所以「X3二g,‘解得已一8或｛：：；+*

5.(13分)某商品每件成本价为80元,售价为100元，每天售出100件.

若售价降低x成(1成=10%),售出商品数量就增加餐成.要求售价不能

5

低于成本价.

⑴设该商店一天的营业额为y,试求y与x之间的函数关系式y=f(x),

并写出定义域.

⑵若要求该商品一天营业额至少为10260元,求x的取值范围.

⑴由题意得y=l00(1—卷),100^1+

因为售价不能低于成本价，所以100(1—意-80》0.

所以y=f(x)=20(10-x)(50+8x),定义域为［0,2］,

(2)由题意得20(10-x)(50+8x)>10260,

化简得8x2-30x+1340.

解得^《x《学.

所以X的取值范围是［；,2.

课时提升作业(三十四)

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

④组.基础达标练飞(25分钟60分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1.已知点(-3,-1)和点(4,-6)在直线3x-2y-a=0的两侧，则a的取值范

围为

()

A.(-24,7)

B.(-7,24)

C.(-8,—7)u(24,+8)

D.(-8,-24)U(7,+8)

选B.根据题意知(-9+2-a)-(12+12-a)<0,(a+7)(a-24)<0,

解得-7<a<24.

2.若2斗2<4,则点(m,n)必在()

A.直线x+y-2=0的左下方

B.直线x+y-2=0的右上方

C.直线x+2y-2=0的右上方

D.直线x+2y-2=0的左下方

选A.因为242n>2-V2m-2n,

所以4>2V2m-2n,即2ffl+n<4,

所以m+n<2,即m+n-2<0,

所以点(m,n)必在直线x+y-2=0的左下方.

3.若实数x,y满足y三3,则S=2x+y-1的最大值为()

笈+V三，

A.6B.4C.3D.2

选A.作出的可行域将S=2x+y-l变形为y=-2x+S+l,作直线y=-2x平移

至点A(2,3)时，S最大，将x=2,y=3代入S=2x+y-l得S=6.

x—y+1Z0,

4.(2015・福州模拟)已知实数X,y满足约束条件4x-H3y-12<0,

(y-2>o,

则z=［二的最大值为()

X+1

A.-B.-C.—D.-

45162

选B.因为z仝上口=2-色,所以要求z的最大值,只需求z，=丝的

x+1x+1x+1

最小值,画出可行域可得，使z7取得最小值的最优解为A6,2),

X+1\2/

代入z=2'-¥”得,所求为之

X415

x>1,

5.(2015•惠州模拟)已知a>0,x,y满足约束条件x+yM3,若

y>a(x-3),

z=2x+y的最小值为1,则a=()

11

A.-B.-C.1D.2

42

【解题提示】根据线性约束条件画出可行域，再利用目标函数所表示

的几何意义求出a的值.

选B.由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC内部及边界部分，

y

由目标函数z=2x+y的几何意义为直线I:y=-2x+z在y轴上的截距,知

当直线I过可行域内的点B（l,-2a）时，目标函数z=2x+y的最小值为

1,则2-2a=l,a=-.

2

故选B.

二、填空题（每小题5分，共15分）

X—2且Q,

6.（2015•青岛模拟）若点（X,y）在不等式组y-l<0,表示的平

K+2y—23。

面区域内运动,则t=x-y的取值范围是.

'X—2£Q,

先根据约束条件y—1工口，画出可行域,

.X+2y—2之0

由哇丁3=。得B（2，。）,

由仁+£—°£=0得4（°，1），

当直线t=x-y过点A(0,1)时，t最小，t最小是T,

当直线t=x-y过点B(2,0)时，t最大,t最大是2,

则t=x-y的取值范围是[T,2].

答案：[-1,2]

x+y<4,

7.(2015•衡阳模拟)已知点P(t,2)在不等式组yNx,所表示的

□J>1

平面区域内运动,I为过点P和坐标原点0的直线，则/的斜率的取值

范围为，

%+v£4,

由不等式组y>x,

□£>1

可得所表示的可行域，

由图可知：当取点P(1,2)时，

直线/的斜率取得最大值,k：=2.

当取点P(2,2)时，

直线/的斜率取得最小值,k=^=l,故k£[1,2].

答案：[1,2]

”Q,

8.已知实数x,y满足y—x+1<0,若z=y-ax取得最大值时的最优

y-2x-b4>0#

解(x,y)有无数个,则a=.

依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域,如图所

示.要使z=y-ax取得最大值时的最优解(x,y)有无数个，则直线

z=y-ax必平行于直线y-x+l=O,于是有a=l.

答案：1

【误区警示】此题经常出现两种情况:一是找不到解题的思路;二是最

优解有无数个,说明目标函数对应的直线和边界平行,容易把边界判

断错误导致结果不对.

三、解答题(每小题10分,共20分)

yAX,

9.设m>l,在约束条件y下，目标函数z=x+my的最大值小于

X+y£1

2,求m的取值范围.

变换目标函数为y=-2x+J由于m>l,所以工<0,不等式组表示的

mmni

平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义，只有直

线y=-±c+三在y轴上的截距最大时，目标函数取得最大值.显然在点A

mm

处取得最大值，由y=mx,x+y=l,得A卜］；二,所以目标函数的最大

值z=-£一所以m2-2m-l<0,解得l-\i,，2<m<l+V，2,故m的取值范

mxl+m1+m

围是(1,1+-/2).

【加固训I练】1.某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单

位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的

维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白

质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含

64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.

如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元.那么要满足

上述的营养要求，并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位

的午餐和晚餐?

设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花

的费用为z元，

则依题意得：z=2.5x+4y,且x,y满足

x>0,y>0,x>0,y>0,

12x+8y>64,即3x+2y>16,

6x+6y>42,x+y>7,

6x+10y>54,3x+5y>27.

o2345\67\89"1

X3J\2=73x+5产27

3X+2^=16

2.5X+4V=O

作出可行域如图，利用平移法可知z的最小值一定在A,B,C,D四点处

的某一点处取得.

z在可行域的四个顶点A(9,0),B(4,3),C(2,5),D(0,8)处的值分别是

所以f(x)=x3+ax2+bx-l-a-b

=(x-1)[x2+(a+1)x+a+b+1],

从而另两个零点为方程x2+(a+l)x+a+b+l=O的两根,且一根大于1,—

根大于零小于1,

设g(x)=x2+(a+1)x+a+b+1,

由根的分布知识画图可得¥(°)>0，

1g⑴<0，

即1a+b+l>0,

2a+b+3<0,

作出可行域如图所示.

而匕上，表示可行域中的点(a,b)与原点连线的斜率k,直线0A的斜率

aa-Q

kj=~,直线2a+b+3=0的斜率k2=-2,

所以ke(-2,-,即U€(一2,4.

2a2

【方法技巧】线性规划和其他知识的结合

此题利用函数的零点，椭圆和双曲线的离心率来得到a,b的不等

关系，构造约束条件,再结合合的几何意义求得、的范围.

x-2y+5>0,

3.若{(x,y)卜3-x>0,}G{(x,y)|x2+y2^m2(m>0)},求实数m的范围.

x+y>0

x-2y+5>0,

设人=心,丫）卜3-xNO,｝

x+y>0,

B=｛（x,y）|x2+y2<m2（m>0）｝,

则集合A表示的区域为图中阴影部分，集合B表示以坐标原点为圆

心，m为半径的圆及其内部，由ACB得,|P0|,

由尸一2丫+5=0,

[3-x=0,

解得（x=3,即pg4）,

所以IPOI=5,即m>5.

爵⑧纱能力提升餐（20分钟4。分）

1.（5分）（2014•山东高考）已知x,y满足约束条件丫二当

（Zx—y—3

目标函数z=ax+by（a>0,b>0）在该约束条件下取到最小值2次时,a'+b2

的最小值为（）

A.5B.4C.y/5D.2

选B.解方程组将二求得交点为（2,1）,则2a+b=2巡,a2+b?

的最小值即为在直线2a+b=2也上找一点，使得它到原点的距离的平

方最小.即求点。0）到直线2a+b=26的距离的平方为偿『=22=4.

2.（5分）（2015•莆田模拟）已知存在实数x,y满足约束条件

<；:彳+晨?且x,+（y-1）-R2（R>0）,则R的最小值S是.

L

'X>2,

根据约束条件x—2y+430,作出可行域如图中阴影所示.由题意

2x—y—4<0,

得图中阴影部分与以（0,1）为圆心，半径为R的圆有公共部分，因此当

圆与图中阴影部分相切时R最小.由图可知,R的最小值为2.

答案：2

x-4y+3<0,一

3.（5分）已知点P（x,y）满足*x+5y«25,定点为A（2,0）,则|OP|sin

x-l>0,

ZA0P（0为坐标原点）的最大值为.

可行域如图阴影部分所示，

A(2,0)在x正半轴上，

所以l(i|sinNAOP即为P点纵坐标.

当P位于点B时，其纵坐标取得最大值乡.

5

答案

4.(12分)设不等式组f4确定的平面区域为

,X—y+20,

U,x-l-y-2<0,确定的平面区域为V.

y>0

⑴定义坐标为整数的点为“整点”.在区域U内任取一整点Q,求该

点在区域V的概率.

(2)在区域U内任取一点M,求该点在区域V的概率.

【解题提示】⑴由题意知本题是一个古典概型，用列举法求出平面区

域U的整点的个数,平面区域U,V的公共部分的整点个数,即可求出该

点在区域V的概率.

⑵由题意知，该题是一个几何概型，利用所给的约束条件确定面积，

利用面积之比得到概率.

(1)由题意，区域U内共有15个整点，区域U,V的公共部分共有9个整

点，

设点Q在区域V的概率为P(Q),则P(Q)上目

⑵设点M在区域V的概率为P(M),

如图，易知，区域U的长方形的面积为8,

区域V的三角形的面积为4,

41

所以P(M)=-=7-

92

伍-4y+3《0,

5.(13分)(能力挑战题)变量X,y满足辰+5y-25<0,

(x>1.

⑴设z士求Z的最小值.

(2)设z=x?+y2,求z的取值范围.

⑶设z=x2+y"+6x-4y+13,求z的取值范围.

X—4y+35口，

由约束条件3x+5y—25<。，作出(x,y)的可行域如图所示.

由鼠+515=0,解得也高

由仁2+3=。,解得皿)•

由德一金+3："解得B(5,2).

(3x+5y—25=0,

(1)因为z=L匕

xx-0

所以z的值即是可行域中的点与原点0连线的斜率.

2

观祭图形可知zfflin=k01i=-.

(2)z=x?+y2的几何意义是可行域上的点到原点0的距离的平方.结合

图形可知,可行域上的点到原点的距离中，

d„,in=IOCI=v2dmax=IOB|=V^9.

所以2rz《29.

⑶z=x2+y2+6x-4y+13=(x+3)!+(y-2)2的几何意义是可行域上的点到点

(-3,2)的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到(-3,2)的距离

t,dmi„=l-(-3)=4,(U=J(-3—5)2+(2—2)2=8.所以16<z<64.

【加固训练】(2013•江苏高考)抛物线y=x2在x=l处的切线与两坐标

轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部和边界).若点P(x,y)是区

域D内的任意一点,则x+2y的取值范围是.

由y，=2x得抛物线y=x?在x=l处的切线方程为yT=2(x-l),“

y八

即y=2xT,即得可行域如图中阴影目标函数z=x+2y。/

y=」x」z,平移目标函数，经过点A时x+2y最小，经过点B时・・....JB____

220/.：..x

x+2y最大,故x+2y的取值范围是卜,

答案：［-叫

课时提升作业（三十五）

基本不等式

A组•基础达标练》（25分钟

60分）

一、选择题（每小题5分，共25分）

1.下列不等式：①1+l>2a;②鬻W2;③舟备21,其中正确的个数

是（）

A.0B.1C.2D.3

选B.①②不正确，③正确，X?++=（x2+l）TtT>2-1=1.

X2X2+1

2.（2013•福建高考）若才+2，=1,则x+y的取值范围是（）

A.[0,2]B.[-2,0]

C.[—2j1+8）D.（—R,—2]

选D.2衣而《2"+2'=1,所以即2"Y2;所以x+y4-2.

3.（2015•济南模拟）设a>0,b>l,若a+b=2,则三+六的最小值为（）

ab-1

A.3+2调B.6C.4^2D.2^2

选A.由题可知a+b=2,a+b-l=l,所以J—2-=（己H——）（a+b-1）=

ab-1\ab-1/

2出3+_j_+]>3+2代，当且仅当a=277,b=谊时，等号成立，故选

ab-1

A.

4.圆x2+y2+2x-4y+l=0关于直线2ax-by+2=0（a,b£R）对称,则ab的取

值范围是

（）

A.B

X’4」-（。用

O)»(一8怖)

【解题提示】圆关于直线对称，则圆心在直线上,利用此条件可解.

选A.由已知得圆心坐标为(-1,2),

故-2a-2b+2=0,即a+b=l,

故ab《(嗯£

5.若实数x,y,z满足x2+y2+z2=2,则xy+yz+zx的取值范围是()

A.[-1,2]B.[1,2]

C.[-1,1]D.[-2,2]

选A.因为(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2>0,

所以x2+y2+z2>xy+xz+yz,

所以xy+yz+zx<2;

又(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+xz)>0,

所以xy+xz+yz>­(x2+y2+z2)=-l.

2

综上可得:T<xy+xz+yz<2.

故选A.

二、填空题(每小题5分，共15分)

6.(2015•青岛模拟)下列命题中正确的是(填序号).

①y=2-3xf(x>0)的最大值是2-4®;

②y=sir^'x+J的最小值是4;

sin2x

③y=2-3XT(X<0)的最小值是2-4^3.

①正确，因为y=2-3x-^=2-(3x+0<2-2辰.；2-4招.

当且仅当3x=±,即x=^时等号成立.

x3

②不正确，令sii?x=t,则0<t<l,

所以g⑴丑+^,

显然g(t)在(0,1]上单调递减,

故g(t)min=g(1)=1+4=5.

③不正确，因为x<0,所以-x>0,最小值为2+44,而不是『4限.

答案:①

【误区警示】此题容易出现答案为①②，是因为做题时只看到了形式,

而看不到基本不等式成立的条件而造成的.

7.(2013•四川高考)已知函数f(x)=4x+W(x>0,a>0)在x=3时取得最

X

小值,贝I」a=.

由题f(x)=4x+e(x>0,a>0),根据基本不等式4*+色》4寸石，当且仅当

XX

4x=三时取等号，而由题知当x=3时取得最小值，即a=36.

x

答案：36

8.已知x,y为正实数,3x+2y=10,俸的最大值为.

।a+b/[&2^b2

得体+禽<闻(瓯2+(历y

=v2j3x+2y=24好,

当且仅当x=2y=：时取等号.

32

答案：2码

【一题多解】此题还可以这样解：

设W=>/3x+^2y>0,

W=3x+2y+2V