【中考】2017数学汇编24-特殊平行四边形含解析

专题24：特殊平行四边形

一、选择题

1、（3分）（2017•白银）如图，某小区计划在一块长为32m,宽为20m的矩形空

地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2.若

设道路的宽为xm,则下面所列方程正确的是（）

32M

A.(32-2x)(20-x)=570B.32x+2X20x=32X20-570

C.(32-x)(20-x)=32X20-570D.32x+2X20x-2x2=570

【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm,根据草坪的面

积是570m2,即可列出方程.

【解答】解：设道路的宽为xm,根据题意得：（32-2x）（20-x）=570,

故选：A.

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形

结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程.

2、（3分）（2017•白银）如图①，在边长为4cm的正方形ABCD中，点P以每

秒2cm的速度从点A出发，沿AB-BC的路径运动，到点C停止.过点P作

PQ〃BD,PQ与边AD（或边CD）交于点Q,PQ的长度y（cm）与点P的运动

时间x（秒）的函数图象如图②所示.当点P运动2.5秒时，PQ的长是（）

A.2A/2CITB.3A/2CITC.4A/^CITD.5A/2CIT

【分析】根据运动速度乘以时间，可得PQ的长，根据线段的和差，可得CP的

长，根据勾股定理，可得答案.

【解答】解：点P运动2.5秒时P点运动了5cm,

CP=8-5=3cm,

由勾股定理，得

PQ=V32+3容3料cm,

故选:B.

【点评】本题考查了动点函数图象，利用勾股定理是解题关键.

3、（4分）（2017•兰州）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,Z

ADB=30。，AB=4,则OC=（）

A.5B.4C.3.5D.3

【分析】由矩形的性质得出AC=BD,OA=OC,ZBAD=90°,由直角三角形的性

质得出AC=BD=2AB=8,得出OC=J_AC=4即可.

2

【解答】解：•••四边形ABCD是矩形,

，AC=BD,OA=OC,ZBAD=90°,

VZADB=30°,

；.AC=BD=2AB=8,

:.OC=—AC=4；

2

故选:B.

【点评】此题考查了矩形的性质、含30。角的直角三角形的性质.熟练掌握矩形

的性质，注意掌握数形结合思想的应用.

4.(4分)(2017•兰州)王叔叔从市场上买了一块长80cm,宽70cm的矩形铁

皮，准备制作一个工具箱.如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm

的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方形工具

箱，根据题意列方程为()

A.(80-x)(70-x)=3000B.80X70-4x2=3000

C.(80-2x)(70-2x)=3000D.80X70-4x2-(70+80)x=3000

【分析】根据题意可知裁剪后的底面的长为(80-2x)cm,宽为(70-2x)cm,

从而可以列出相应的方程，本题得以解决.

【解答】解：由题意可得，

(80-2x)(70-2x)=3000,

故选C.

【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意,

找出题目中的等量关系，列出相应的方程.

5.(4分)(2017•兰州)如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD

上，DE=2,将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60。，得到正方形DEFG，，此时

点G，在AC上，连接CE',则CE，+CG，=()

A.V2+V6B.V3+IC.V3+V2D.V3+V6

【分析】解法一：作G，I，CD于I,GRLBC于R,EH_LBC交BC的延长线于

H.连接RF，.则四边形RCIG是正方形.首先证明点P在线段BC上，再证明

CH=HE即可解决问题.

解法二：首先证明CG，+CE，=AC,作G，M，AD于M.解直角三角形求出DM,

AM,AD即可；

【解答】解法一：作GTLCD于I,GRLBC于R,E，H_LBC交BC的延长线于

H.连接RF.则四边形RCIG，是正方形.

,,

VZDGF=ZIGR=90°>

.,.ZDG,I=ZRG,F,,

在aGID和△G，RF中，

'G'D=G'F

<NDG'=NRG'F'，

.G'厂G'R

/.△GTO^AGW,

.,.ZG,ID=ZG,RF,=90°,

...点F在线段BC上，

在RtZ\EFH中,VET(=2,NE'F'H=30°,

.,.EH=^EF=1,PH=«,

易证ARGF四△HF'E',

.•.RF'=E'H,RG'RC=F'H,

/.CH=RF,=E,H,

：.CE'=42,

•：RG'=W=4S，

:.CG=信G'=娓,

：.CE'+CG'=^4e>.

故选A.

解法二：作G，M，AD于M.

易证ADAG'段△口©£',

/.AG'=CE',

，CG，+CE，=AC,

在RtaDMG，中，'：X)G'=2,NMDG，=30。,

，MG，=1,DM=V3，

•.•/MAG，=45。，/AMG，=90。，

，NMAG'=NMG，A=45。，

，AM=MG'=1,

/.AD=l+«,

VAC=V2AD,

故选A.

【点评】本题考查旋转变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定

理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全

等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

6.（4分）（2017•兰州）如图1,在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿AB—BC

方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E做FELAE,交CD于F点，设

点E运动路程为x,FC=y,如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，

当点E在BC上运动时，FC的最大长度是2,则矩形ABCD的面积是（）

A-fB-5D'f

【分析】易证△CFES^BEA,可得男生，根据二次函数图象对称性可得E

BEAB

在BC中点时，CF有最大值，列出方程式即可解题.

【解答】解：若点E在BC上时，如图

DFC

VZEFC+ZAEB=90°,ZFEC+ZEFC=90°,

，ZCFE=ZAEB,V^ACFE和aBEA中,ZCFE=ZAEB,.-.ACFE^ABEA,

ZC=ZB=90°

由二次函数图象对称性可得E在BC中点时，CF有最大值，此时空=%,

BEAB

5

BE=CE=x-反，即J,

25A

22

2

.,.丫=2G至），当y=2时，代入方程式解得：xi=S（舍去），X2=—,

5'21522

/.BE=CE=1,/.BC=2,AB=n,

2

•••矩形ABCD的面积为2X§=5；

2

故选B.

【点评】本题考查了二次函数顶点问题，考查了相似三角形的判定和性质，考查

了矩形面积的计算，本题中由图象得出E为BC中点是解题的关键.

7.（3分）（2017•广州）如图，将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针

旋转90。后，得到的图形为（）

【分析】根据旋转的性质即可得到结论.

【解答】解：由旋转的性质得，将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针

旋转90。后，得到的图形为A,

故选A.

【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键

8.（3分）（2017•贵港）如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交

点，M是BC边上的动点（点M不与B,C重合），CN±DM,CN与AB交于

点N,连接OM,ON,MN.下列五个结论：©ACNB^ADMC；②△CONg

△DOM；③△0MNs/\0AD；@AN2+CM2=MN2；⑤若AB=2,贝US^OMN的最

小值是工，其中正确结论的个数是（）

2

A.2B.3C.4D.5

【分析】根据正方形的性质，依次判定4CNB四△DMC,AOCM^AOBN,△

CON丝△DOM,AOMN^AOAD,根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计

算即可得出结论.

【解答】解：•.•正方形ABCD中，CD=BC,NBCD=90。，

.•.NBCN+NDCN=90°,

又YCNLDM,

.,.ZCDM+ZDCN=90°,

/.ZBCN=ZCDM,

又；ZCBN=ZDCM=90°,

/.△CNB^ADMC(ASA),故①正确；

根据ACNB之△DMC,可得CM=BN,

又•.♦NOCM=NOBN=45。，OC=OB,

.,.△OCM^AOBN(SAS),

.•.OM=ON,ZCOM=ZBON,

:.ZDOC+ZCOM=ZCOB+ZBPN,即ZDOM=ZCON,

XVDO=CO,

/.△CON^ADOM(SAS),故②正确；

*/ZBON+ZBOM=ZCOM+ZBOM=90°,

...ZMON=90°,即△MON是等腰直角三角形，

又•••AAOD是等腰直角三角形，

.,.△OMN^AOAD,故③正确；

VAB=BC,CM=BN,

，BM=AN,

又•.•n△BMN中，BM2+BN2=MN2,

/.AN2+CM2=MN2,故④正确;

VAOCM^AOBN,

二四边形BMON的面积=aBOC的面积=1,即四边形BMON的面积是定值1,

...当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，

设BN=x=CM,则BM=2-x,

AMNB的面积=LC（2-x）=--x2+x,

22

...当x=l时，Z\MNB的面积有最大值L,

2

此时Sz\OMN的最小值是1--=—>故⑤正确；

22

综上所述，正确结论的个数是5个，

故选：D.

【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定

与性质，相似三角形的判定以及勾股定理的综合应用，解题时注意二次函数的最

值的运用.

9、（3分）（2017•玉林）如图，在矩形ABCD中，AB>BC,点E,F,G,H分

别是边DA,AB,BC,CD的中点，连接EG,HF,则图中矩形的个数共有（）

A.5个B.8个C.9个D.11个

【分析】根据矩形的判定定理解答.

【解答】解：•••£,G分别是边DA,BC的中点，四边形ABCD是矩形,

二四边形DEGC、AEGB是矩形，

同理四边形ADHF、BCHF是矩形，

则图中四个小四边形是矩形，

故图中矩形的个数共有9个，

故选：C.

【点评】本题考查的是中点四边形的性质、矩形的判定，掌握矩形的判定定理、

中点四边形的性质是解题的关键.

10、（3分）（2017•安顺）如图，矩形纸片ABCD中，AD=4cm,把纸片沿直线

AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O,若AO=5cm,则AB的长为（）

A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm

【分析】根据折叠前后角相等可证AO=CO,在直角三角形ADO中，运用勾股

定理求得DO,再根据线段的和差关系求解即可.

【解答】解：根据折叠前后角相等可知NBAC=NEAC,

•..四边形ABCD是矩形，

，AB〃CD,

.•.ZBAC=ZACD,

.,.ZEAC=ZACD,

/.AO=CO=5cm,

在直角三角形ADO中，DO=JAC）2_AD之3cm,

AB=CD=DO+CO=3+5=8cm.

故选：C.

【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它

属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折

叠前后角相等.

11、（4分）（2017•安顺）如图所示，正方形ABCD的边长为6,4ABE是等边

三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最

小，则这个最小值为6.

K

【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD,交AC于P点.此时PD+PE

的最小值=8£,而BE是等边aABE的边，BE=AB,由正方形ABCD的边长为

6,可求出AB的长，从而得出结果.

【解答】解：设BE与AC交于点P,连接BD,

•.•点B与D关于AC对称，

.*.PD=PB,

.,.PD+PE=PB+PE=BE最小.

即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；

•.•正方形ABCD的边长为6,

AB=6.

又•••△ABE是等边三角形,

，BE=AB=6.

故所求最小值为6.

故答案为：6.

【点评】此题主要考查轴对称--最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问

题.

12、（3分）（2017•毕节市）如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在BC,CD

上，且NEAF=45。，将4ABE绕点A顺时针旋转90。，使点E落在点E处，则

下列判断不正确的是（）

A.aAEE，是等腰直角三角形B.AF垂直平分EE

C.AETC^AAFDD.AAET是等腰三角形

【分析】由旋转的性质得到AE，=AE,ZE,AE=90°,于是得到AAEE，是等腰直角

三角形，故A正确；由旋转的性质得到NE，AD=NBAE,由正方形的性质得到/

DAB=90。，推出NE，AF=NEAF,于是得到AF垂直平分EE',故B正确；根据

余角的性质得到/FE，E=NDAF,于是得到△E'ECS^AFD,故C正确；由于

ADLEF但NE，AD不一定等于NDAE,于是得到AAEF不一定是等腰三角形,

故D错误.

【解答】解：•••将4ABE绕点A顺时针旋转90°,使点E落在点E，处，

.•.AE'=AE,NE'AE=90°,

.••△AEE，是等腰直角三角形，故A正确;

VWAABE绕点A顺时针旋转90°,使点E落在点E，处,

，NE，AD=NBAE,

•••四边形ABCD是正方形，

/.ZDAB=90o,

VZEAF=45°,

，NBAE+NDAF=45。，

，ZE,AD+ZFAD=45°,

，ZEfAF=ZEAF,

VAE^AE,

，AF垂直平分EE,故B正确；

VAF±E,E,NADF=90°,

ZFET+ZAFD=ZAFD+ZDAF,

NFEE=NDAF,

.•.△EECS^AFD,故C正确；

VAD1ET,但/E，AD不一定等于NDAE，,

...△AET不一定是等腰三角形，故D错误;

故选D.

【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定，等腰直角

三角形的判定，线段垂直平分线的判定，正确的识别图形是解题的关键.

13、（4分）（2017•黔东南州）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE1AB,

AF=2AE,FC交BD于O,则NDOC的度数为（）

AD

A.60°B.67.5°C.75°D.54°

【分析】如图，连接DF、BF.如图，连接DF、BF.首先证明NFDB=L/FAB=30。,

2

再证明4FAD之△FBC,推出NADF=NFCB=15。，由此即可解决问题.

【解答】解：如图，连接DF、BF.

VFE±AB,AE=EB,

，FA=FB,

VAF=2AE,

；.AF=AB=FB,

.,.△AFB是等边三角形，

,:AF=AD=AB,

.•.点A是4DBF的外接圆的圆心,

.•.ZFDB=1ZFAB=3O°,

2

•••四边形ABCD是正方形，

，AD=BC,ZDAB=ZABC=90°,ZADB=ZDBC=45°,

，NFAD=NFBC,

.'.△FAD丝△FBC,

.".ZADF=ZFCB=15°,

:.ZDOC=ZOBC+ZOCB=60°.

故选A.

解法二：连接BF.易知NFCB=15。，ZDOC=ZOBC+ZFCB=450+15°=60°

【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、圆等知识，解题的

关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考选择题

中的压轴题.

14、（3分）（2017•随州）如图，在矩形ABCD中，ABVBC,E为CD边的中点,

将4ADE绕点E顺时针旋转180。，点D的对应点为C,点A的对应点为F,过

点E作MELAF交BC于点M,连接AM、BD交于点N,现有下列结论：

①AM=AD+MC；②AM=DE+BM；（3）DE2=AD«CM；④点N为AABM的外心.其

中正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据全等三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，即可得出

AM=MC+AD；根据当AB=BC时，四边形ABCD为正方形进行判断，即可得出

当ABVBC时，AM=DE+BM不成立；根据MEJ_FF,EC_LMF,运用射影定理

即可得出EC2=CMXCF,据此可得DE2=AD«CM成立；根据N不是AM的中点，

可得点N不是△ABM的外心.

【解答】解：..任为CD边的中点，

，DE=CE,

又•:ZD=ZECF=90°,ZAED=ZFEC,

/.△ADE^AFCE,

，AD=CF,AE=FE,

又•.'MELAF,

，ME垂直平分AF,

，AM=MF=MC+CF,

，AM=MC+AD,故①正确；

当AB=BC时，即四边形ABCD为正方形时，

设DE=EC=1,BM=a,则AB=2,BF=4,AM=FM=4-a,

在Rt^ABM中，22+a2=(4-a)2,

解得a=L5,即BM=1.5,

二由勾股定理可得AM=2.5,

，DE+BM=2.5=AM,

又YABVBC,

，AM=DE+BM不成立，故②错误；

VMEIFF,EC1MF,

.*.EC2=CMXCF,

又•.,EC=DE,AD=CF,

/.DE2=AD«CM,故③正确；

VZABM=90°,

AAM是aABM的外接圆的直径，

VBM<AD,

.,.当BM〃AD时，M=M<1,

ANAD

，N不是AM的中点，

.•.点N不是aABM的外心，故④错误.

综上所述，正确的结论有2个，

故选:B.

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，

矩形的性质以及旋转的性质的综合应用，解决问题的关键是运用全等三角形的对

应边相等以及相似三角形的对应边成比例，解题时注意：三角形外接圆的圆心是

三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，故外心到三角形三个顶点

的距离相等.

15、（3分）（2017•天门）如图，矩形ABCD中，AE_LBD于点E,CF平分NBCD,

交EA的延长线于点F,且BC=4,CD=2,给出下列结论：①NBAE=NCAD；

②NDBC=30。；③AE=&/^；④AF=2代，其中正确结论的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据余角的性质得到NBAE=NADB,等量代换得至i」NBAE=/CAD,

故①正确；根据三角函数的定义得到tan/DBC=2L,于是得到NDBCW30。,

BC2

故②错误；由勾股定理得到BD=而西市=2代，根据相似三角形的性质得到

AE=里灰；故③正确；根据角平分线的定义得到/BCF=45。，求得NACF=45。-

ZACB,推出NEAC=2NACF,根据外角的性质得到NEAONACF+NF,得到

NACF=NF,根据等腰三角形的判定得到AF=AC,于是得到AF=2代，故④正

确.

【解答】解：在矩形ABCD中，VZBAD=90°,

VAE±BD,

/.ZAED=90o,

,ZADE+ZDAE=ZDAE+ZBAE=90°,

.,.ZBAE=ZADB,

■:NCAD=NADB,

.,.ZBAE=ZCAD,故①正确；

VBC=4,CD=2,

，tanNDBC=%L,

BC2

...NDBCW30。，故②错误；

BD=VBC2+CD2=2^

VAB=CD=2,AD=BC=4,

VAABE^ADBA,

•AEAB

••而茄，

即皿=2,

4-2遍

.•.AE=_ly；故③正确；

5

VCF平分NBCD,

/.ZBCF=45°,

AZACF=45°-ZACB,

•.•AD〃BC,

:.ZDAC=ZBAE=ZACB,

ZEAC=90°-2ZACB,

.,.ZEAC=2ZACF,

■:ZEAC=ZACF+ZF,

.*.ZACF=ZF,

，AF=AC,

,.•AC=BD=2代，

；.AF=2j^,故④正确；

故选C.

【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性

质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

16、（4分）（2017•怀化）如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,

ZAOB=60°,AC=6cm,则AB的长是（）

【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OB=OD=OC,由/

AOB=60。，判断出AAOB是等边三角形，根据等边三角形的性质求出AB即可.

【解答】解：•.•四边形ABCD是矩形，

:.OA=OC=OB=OD=3,

VZAOB=60°,

AAOB是等边三角形，

，AB=OA=3,

故选A.

【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并判断出

△AOB是等边三角形是解题的关键.

17、（3分）（2017•邵阳）如图所示，边长为a的正方形中阴影部分的面积为（）

A.a2-it（A）2B.a2-?ra2C.a2-兀aD.a2-2na

2

【分析】根据图形可知阴影部分的面积是正方形的面积减去直径为a的圆的面

积，本题得以解决.

【解答】解：由图可得，

阴影部分的面积为：a2-兀

故选A.

【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式.

18、（3分）（2017•长沙）如图,菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为6cm,

8cm,则这个菱形的周长为（）

A.5cmB.10cmC.14cmD.20cm

【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得ACJ_BD,OA=1AC,OB=1BD,

22

再利用勾股定理列式求出AB,然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解.

【解答】解：•••四边形ABCD是菱形，

/.AC±BD,OA=lAC=lx6=3cm,

22

OB=lBD=lX8=4cm,

22

根据勾股定理得，AB={0R+0B夕y32+4片5cm,

所以，这个菱形的周长=4X5=20cm.

故选D.

【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直

平分，需熟记.

19、（3分）（2017•长沙）如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的

一点H重合（H不与端点C,D重合），折痕交AD于点E,交BC于点F,边

AB折叠后与边BC交于点G.设正方形ABCD的周长为m,ACHG的周长为n,

则旦的值为（）

ID

A.返B.J-

22

C.近工D.随H点位置的变化而变化

2

【分析】设CH=x,DE=y,则DH=JL-x,EH=2L-y,然后利用正方形的性质和

44

折叠可以证明△DEHsaCHG,利用相似三角形的对应边成比例可以把CG,HG

分别用x,y分别表示，ACHG的周长也用x,y表示，然后在Rt^DEH中根据

勾股定理可以得到皿x-x2=Wy,进而求出ACHG的周长.

22

【解答】解：设CH=x,DE=y,则DH=2L-X,EH=^--y,

44

VZEHG=90°,

.•.ZDHE+ZCHG=90°.

VZDHE+ZDEH=90°,

，NDEH=NCHG,

又•.•ND=NC=90°,ADEH^ACHG,

•CG-CH-HG即CG_x_HG

DHDEEHJL_VyJL

44y

mx_2

△CHG的周长为n=CH+CG+HG=^-------

y

在RtADEH中，DH2+DE2=EH2

即（皿-x）2+y2=（四-y）2

44

整理得胆_x2=ny?

22

mx_2叫

，n=CH+HG+CG=_2____——型

yy2

•••n_~~1«

ID2

故选:B.

【点评】本题考查翻折变换及正方形的性质，正方形的有些题目有时用代数的计

算证明比用几何方法简单，甚至几何方法不能解决的用代数方法可以解决.本题

综合考查了相似三角形的应用和正方形性质的应用.

20、（3分）（2017•西宁）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM

〃AB交AD于点M,若OM=3,BC=10,则OB的长为（）

D.V34

【分析】已知OM是AADC的中位线，再结合已知条件则DC的长可求出，所

以利用勾股定理可求出AC的长，由直角三角形斜边上中线的性质则BO的长即

可求出.

【解答】解：•••四边形ABCD是矩形,

.•.ND=90°,

是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM〃AB,

AOM是4ADC的中位线，

VOM=3,

，DC=6,

VAD=BC=10,

,AC=VAD2+CD2=2^4,

.•.BO=1AC=V34»

2

故选D.

【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用，直角三角形斜边上中线的性

质以及三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出AC的长.

21、（3分）（2017•西宁）如图，在正方形ABCD中，AB=3cm,动点M自A点

出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时点N自D点出发沿折线DC-CB

以每秒2cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设4AMN的面积为y（cm2）,

运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（）

【分析】分两部分计算y的关系式：①当点N在CD上时，易得SAAMN的关系

式，SAAMN的面积关系式为一个一次函数；②当点N在CB上时，底边AM不变,

表示出SAAMN的关系式，SAAMN的面积关系式为一个开口向下的二次函数.

【解答】解：•.•点N自D点出发沿折线DC-CB以每秒2cm的速度运动，到达

B点时运动同时停止，

AN到C的时间为：t=3+2=1.5,

分两部分:

①当0WxW1.5时，如图1,此时N在DC上,

SAAMN=y=—AM»AD=—xX3=—x,

222

②当1.5VxW3时，如图2,此时N在BC上,

；.DC+CN=2x,

/.BN=6-2x,

SzsAMN=y=—AM,BN=ix(6-2x)=-x2+3x,

22

故选A.

【点评】本题考查动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相

应的函数关系式是解决本题的关键.

22、（4分）（2017•乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在

BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形

面积为4仃且NAFG=60。，GE=2BG,则折痕EF的长为（）

A.1B.V3C.2D.273

【分析】由折叠的性质可知，DF=GF、HE=CE、GH=DC、NDFE=NGFE,结合

NAFG=60。即可得出NGFE=60。，进而可得出AGEF为等边三角形，在RtAGHE

中，通过解含30度角的直角三角形及勾股定理即可得出GE=2EC、DC=V3EC,

再由GE=2BG结合矩形面积为即可求出EC的长度，根据EF=GE=2EC即

可求出结论.

【解答】解:由折叠的性质可知，DF=GF,HE=CE,GH=DC,ZDFE=ZGFE.

VZGFE+ZDFE=180°-ZAFG=120°,

ZGFE=60°.

VAF//GE,ZAFG=60°,

/.ZFGE=ZAFG=60°,

...△GEF为等边三角形，

.*.EF=GE.

VZFGE=60°,ZFGE+ZHGE=90°,

ZHGE=30°.

在RtAGHE中，ZHGE=30°,

，GE=2HE=CE,

*',GH={GE2-HEi.

VGE=2BG,

:.BC=BG+GE+EC=4EC.

•矩形ABCD的面积为4在,

.•.4EC・V^C=4依，

/.EC=1,EF=GE=2.

故选C.

【点评】本题考查了翻折变换、矩形的性质、等边三角形的判定及性质以及解含

30度角的直角三角形，根据边角关系及解直角三角形找出BC=4EC、DC=JjEC

是解题的关键.

23、（3分）（2017•呼和浩特）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，E,F

为BD所在直线上的两点，若AE=遥，ZEAF=135°,则下列结论正确的是（）

A.DE=1B.tan/AFO」

3

C.AF=®6D.四边形AFCE的面积为旦

24

【分析】根据正方形的性质求出AO的长，用勾股定理求出EO的长，然后由/

MAN=135。及NBAD=90。可以得到相似三角形，根据相似三角形的性质求出BF

的长，再一一计算即可判断.

【解答】解：•.•四边形ABCD是正方形，

；.AB=CB=CD=AD=1,AC±BD,ZADO=ZABO=45°,

，OD=OB=OA=返，NABF=NADE=135。,

2

在RtAAEO中,EO=7AE2-0A2=^1=f^2,

...DE=&,故A错误.

NEAF=135°,NBAD=90°,

/.ZBAF+ZDAE=45O,

■:ZADO=ZDAE+ZAED=45°,

；.NBAF=NAED,

.,.△ABF^AEDA,

­BF=AB

,•次5r

•BF=1

丁衣’

，BF=返，

2

在RtAAOF中，AF二标方可（孚）2+（加产曰故C正确,

V2

tanZAFO=—=-^-=—,故B错误，

OFV22

••S四边形AECF二工・AC・EF=LX&XW声,故D错误，

2222

故选C.

【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据正方形的性质，运用勾股

定理求出相应线段的长，再根据NEAF=135。和NBAD=90。，得到相似三角形，

用相似三角形的性质求出BF的长，然后根据对称性求出四边形的面积.

24、（3分）（2017•苏州）如图,在菱形ABCD中，ZA=60°,AD=8,F是AB

的中点.过点F作FELAD,垂足为E.将4AEF沿点A到点B的方向平移，

得到△AEF.设P、P分别是EF、EF的中点，当点A，与点B重合时，四边形

PPCD的面积为（）

A.2873B.2473C.32MD.32a-8

【分析】如图，连接BD,DF,DF交PP，于H.首先证明四边形PP，CD是平行

四边形，再证明DF±PP\求出DH即可解决问题.

【解答】解：如图，连接BD,DF,DF交PP，于H.

由题意PP'=AA'=AB=CD,PP'〃AA'〃CD,

/.四边形PP'CD是平行四边形，

•.•四边形ABCD是菱形，ZA=60°,

.•.△ABD是等边三角形，

,:AF=FB,

/.DF±AB,DF±PP\

在RtZ\AEF中，VZAEF=90°,ZA=60°,AF=4,

，AE=2,EF=2我，

：.PE=PF=yj3,

在RtZ\PHF中，•.•/FPH=30。，PF=Vs，

.•.HF=LPF=返，

22

,.•DF=4代，

，DH=46亚3Zl,

,平行四边形PP'CD的面积=Z^X8=28我.

故选A.

【点评】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和

性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角

形解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

25、（3分）（2017•无锡）如图，菱形ABCD的边AB=20,面积为320,ZBAD

<90°,。0与边AB,AD都相切，AO=10,则。O的半径长等于（）

A.5B.6C.2娓D.3加

【分析】如图作DH_LAB于H,连接BD,延长AO交BD于E.利用菱形的面

积公式求出DH,再利用勾股定理求出AH,BD,由△AOFsaDBH,可得怨

BDBH

即可解决问题.

【解答】解：如图作DHJ_AB于H,连接BD,延长AO交BD于E.

•菱形ABCD的边AB=20,面积为320,

/.AB«DH=32O,

/.DH=16,

在Rt^ADH中，AH=^AD2_DH2=12,

，HB=AB-AH=8,

在RCBDH中，8口=近2+8肝8代,

设。0与AB相切于F,连接OF.

VAD=AB,OA平分NDAB,

/.AE±BD,

VZOAF+ZABE=90°,ZABE+ZBDH=90°,

/.ZOAF=ZBDH,VZAFO=ZDHB=90°,

.,.△AOF^ADBH,

­OA=OF

"BDBH，

・10=0F

'Ml"'

，OF=2而

故选C.

【点评】本题考查切线的性质、菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性

质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于

中考常考题型.

26、（3分）（2017•达州）如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向

旋转90。至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90。至图②位置，

以此类推，这样连续旋转2017次.若AB=4,AD=3,则顶点A在整个旋转过程

中所经过的路径总长为（）

A.2017兀B.2034兀C.3024兀D.3026兀

【分析】首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算

即可.

【解答】解：YAB=4,BC=3,

，AC=BD=5,

转动一次A的路线长是：90兀X4=2兀,

180

转动第二次的路线长是：9°兀*5旦,

1802

转动第三次的路线长是：9°兀X3旦,

1802

转动第四次的路线长是：0,

以此类推，每四次循环，

故顶点A转动四次经过的路线长为：号+&I+27T=6兀，

22

•.•2017+4=504…1,

，顶点A转动四次经过的路线长为：67rx504+271=3026兀，

故选D.

【点评】本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，掌握旋转变换的性质、

灵活运用弧长的计算公式、发现规律是解决问题的关键.

27、（3分）（2017•泸州）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE±

BD,垂足为F,则tanNBDE的值是（）

A.乎B.|C.1D.

【分析】证明△BEFS^DAF,得出EF=LAF,EF=1AE,由矩形的对称性得：

23

AE=DE,得出EF=1DE,设EF=x,则DE=3x,由勾股定理求出

3

DF=7DE2-EF2=2^C,再由三角函数定义即可得出答案.

【解答】解：•••四边形ABCD是矩形，

，AD=BC,AD〃BC,

•.•点E是边BC的中点，

.,.BE=1BC=1AD,

22

/.△BEF^ADAF,

•EFBE=1

AF=ADT

.,.EF=1AF,

2

.•.EF=1AE,

3

•.•点E是边BC的中点，

二由矩形的对称性得：AE=DE,

，EF=n）E,设EF=x,则DE=3x,

3

*',DF='DE2-EF，

tanZBDE=-=―

DF2V2x4

故选:A.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识;

熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键.

28、3分）（2017•绵阳）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,过点

0作BD的垂线分别交AD,BC于E,F两点.若AC=2^,ZAEO=120°,则

FC的长度为（）

A.1B.2C.A/2D.V3

【分析】先根据矩形的性质，推理得到OF=CF,再根据RtABOF求得OF的长,

即可得到CF的长.

【解答】解：VEF1BD,ZAEO=120°,

AZEDO=30°,ZDEO=60°,

•••四边形ABCD是矩形，

.,.ZOBF=ZOCF=30°,NBFO=60°,

/.ZFOC=60°-3O°=3O°,

，OF=CF,

XVRtABOF4'.BO=1.BD=1AC=V3，

22

.•.OF=tan30°XBO=l,

/.CF=1,

故选：A.

【点评】本题主要考查了矩形的性质以及解直角三角形的运用，解决问题的关键

是掌握：矩形的对角线相等且互相平分.

29、（3分）（2017•南充）已知菱形的周长为4遥，两条对角线的和为6,则菱形

的面积为（)

A.2B.V5C.3D.4

【分析】由菱形的性质和勾股定理得出A0+B0=3,AO2+BO2=AB2,(AO+BO)

2=9,求出2Ao・BO=4,即可得出答案.

【解答】解：如图四边形ABCD是菱形，AC+BD=6,

，AB=疾，AC_LBD,AO」AC,BO」BD,

22

.•.A0+B0=3,

.\AO2+BO2=AB2,(AO+BO)2=9,

即AO2+BO2=5,AO2+2AO«BO+BO2=9,

/.2AO«BO=4,

菱形的面积=AAC・BD=2AOBO=4；

2

故选：D.

【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理；解题的关键是记住菱形的面积公式,

记住菱形的对角线互相垂直，属于中考常考题型.

30、（3分）（2017•内江）如图，在矩形AOBC中，O为坐标原点，OA、OB分

别在x轴、y轴上，点B的坐标为（0,3愿），NABO=30。，将^ABC沿AB所

在直线对折后，点C落在点D处，则点D的坐标为（）

【分析】根据翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出对应线段长，进而得出

D点坐标.

【解答】解：•••四边形AOBC是矩形，NABO=30。，点B的坐标为（0,3b）,

.,.AC=OB=3b，NCAB=30。，

BC=AC・tan3（）o=3Cx返=3,

3

•.•将4ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，

，NBAD=30。，AD=3我，

过点D作DM_Lx轴于点M,

,/ZCAB=ZBAD=30°,

ZDAM=30°,

/.DM=1AD=^1,

22

.•.AM=3«Xcos30°=旦，

2

3=W,

22

.•.点D的坐标为（3,也）.

22

故选：A.

【点评】此题主要考查了翻折变换以及矩形的性质和锐角三角函数关系，正确得

出/DAM=30。是解题关键.

31、（3分）（2017•宜宾）如图，在矩形ABCD中BC=8,CD=6,^AABE沿

BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（）

A.3B.誉C.5D.曾

【分析】由ABCD为矩形，得到NBAD为直角，且三角形BEF与三角形BAE

全等，利用全等三角形对应角、对应边相等得到EF_LBD,AE=EF,AB=BF,利

用勾股定理求出BD的长，由BD-BF求出DF的长，在RtZ\EDF中，设EF=x,

表示出ED,利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可

确定出DE的长.

【解答】解：•..矩形ABCD,

/.ZBAD=90o,

由折叠可得4BEF丝ABAE,

AEFIBD,AE=EF,AB=BF,

在RtZ^ABD中，AB=CD=6,BC=AD=8,

根据勾股定理得：BD=10,即FD=10-6=4,

设EF=AE=x,则有ED=8-x,

根据勾股定理得：X2+42=（8-x）2

解得：x=3（负值舍去）,

则DE=8-3=5,

故选C

【点评】此题考查了翻折变换，矩形的性质，以及勾股定理，熟练掌握定理及性

质是解本题的关键.

32、（3分）（2017•舟山）一张矩形纸片ABCD,已知AB=3,AD=2,小明按如

图步骤折叠纸片，则线段DG长为（）

A.&B.242C.1D.2

【分析】首先根据折叠的性质求出DA\CA，和DC的长度，进而求出线段DG

的长度.

【解答】解：VAB=3,AD=2,

.,.DA'=2,CA'=1,

.•.DC=1,

VZD=45°,

，DG=&DC=&,

故选A.

【点评】本题主要考查了翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是求出DC，的长

度.

33、（4分）（2017•宁波）如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边

AB上，BE=4,过点E作EF〃BC,分别交BD,CD于G,F两点.若M,N分

别是DG,CE的中点，则MN的长为（）

A.3B.2A/3C.V13D.4

【分析】作辅助线，构建全等三角形，证明△EMFgACMD,则EM=CM,利

用勾股定理得：BD=j62+62=6&,EC寸42+62=2后,可得4EBG是等腰直

角三角形，分别求EM=CM的长，利用勾股定理的逆定理可得AEMC是等腰直

角三角形，根据直角三角形斜边中线的性质得MN的长.

【解答】解：连接FM、EM、CM,

•.•四边形ABCD为正方形，

AZABC=ZBCD=ZADC=90°,BC=CD,

•.•EF〃BC,

AZGFD=ZBCD=90°,EF=BC,

，EF=BC=DC,

VZBDC=^ZADC=45°,

2

/.△GFD是等腰直角三角形，

•.•M是DG的中点，

，FM=DM=MG,FM±DG,

/.ZGFM=ZCDM=45O,

.,.△EMF^ACMD,

，EM=CM,

过M作MH1CD于H,

由勾股定理得：BD=^62+62=6V2»

EC=J42+62=277^,

VZEBG=45°,

.".△EBG是等腰直角三角形,

，EG=BE=4,

，BG=4心

.\DM=V2

；.MH=DH=1,

/.CH=6-1=5,

•♦CM=EM=112+5冬726,

VCE2=EM2+CM2,

/.ZEMC=90o,

•••N是EC的中点,

.•.MN=1BC=V13；

2

故选C.

【点评】本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形

的性质和判定、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理的逆定理，属于基础题，

本题的关键是证明AEMC是直角三角形

34、（4分）（2017•宁波）一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号

为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中.若知道九个小矩形

中n个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n的最小值是（）

【分析】根据题意结合正方形的性质得出只有表示出矩形的各边长才可以求出面

积，进而得出符合题意的答案.

【解答】解：如图所示：设①的周长为：4x,③的周长为2y,④的周长为2b,

即可得出①的边长以及③和④的邻边和，

设②的周长为：4a,则②的边长为a,可得③和④中都有一条边为a,

则③和④的另一条边长分别为：y-a,b-a,

故大矩形的边长分别为：b-a+x+a=b+x,y-a+x+a=y+x,

故大矩形的面积为：（b+x）（y+x）,其中b,x,y都为己知数，

故n的最小值是3.

【点评】此题主要考查了推理与论证，正确结合正方形面积表示出矩形各边长是

解题关键.

35、（3分）（2017•衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4,BC=6,将ZkABC

沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F,则DF的长等于（）

E

A.3B.aC.工D.”

5334

【分析】根据折叠的性质得到AE=AB,ZE=ZB=90°,易证Rt/XAEF之Rt^CDF,

即可得到结论EF=DF；易得FC=FA,设FA=x,则FC=x,FD=6-x,在RtaCDF

中利用勾股定理得到关于x的方程x2=42+(6-x)2,解方程求出x.

【解答】解：:•矩形ABCD沿对角线AC对折，使aABC落在aACE的位置，

；.AE=AB,ZE=ZB=90°,

又•.•四边形ABCD为矩形，

.*.AB=CD,

，AE=DC,

而/AFE=NDFC,

•在4AEF与4CDF中，

rZAFE=ZCFD

<ZE=ZD，

.AE=CD

AAAEF^ACDF(AAS),

，EF=DF；

•••四边形ABCD为矩形，

，AD=BC=6,CD=AB=4,

VRtAAEF^RtACDF,

，FC=FA,

设FA=x,则FC=x,FD=6-x,

在RtACDF中，CF2=CD2+DF2,即X?=42+(6-x)2,解得x=W,

3

则FD=6-x=旦

3

故选:B.

【点评】本题考查了折叠的性质