2024-2025学年北京市房山区高三上学期期中考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市房山区高三上学期期中考试数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x|x<0或x>4，集合B=x−2≤x≤3，则A∩B为A.x−2≤x≤0 B.x|x≤3或 x≥4

C.x−2≤x<0 2.下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递减的是(

)A.y=x ​−2

B.y=|lnx|

C.y=2−3.函数fx=tanx+A.π3 B.π2 C.π 4.已知两条不同的直线l，m和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的是(

)A.若l//m，m⊂α，则l//α B.若l//α，m⊂α，则l//m

C.若α⊥β，l⊂α，则l⊥β D.若l//α，l⊥β，则α⊥β5.设a=sin2,b=log3a,c=4A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b6.已知函数y=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移tt>0个单位长度，得到函数y=f(x)的图象.若函数y=f(x)A.π12 B.π6 C.π47.已知a>0，b>0，则“a+b≤2”是“ab≤1”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知函数fx=ln1+x1−x，下列说法A.fx的定义域为−1,1 B.fx的图象关于y轴对称

C.fx的图象关于原点对称 D.f9.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成.这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度(ℎ)的23(细管长度忽略不计).假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高ℎ的比值为(

)

A.827 B.49 C.2310.对于函数fx﹐若集合xx>0,fx=f−x中恰有k个元素，则称函数fx是“k阶准偶函数”.若函数f(x)=1A.(−∞,0) B.0,2 C.0,4 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.函数f(x)=lnx−1的定义域为

12.已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点P的纵坐标为12，则cosα=

．13.已知命题p：若α，β为第二象限角，且α>β，则tanα<tanβ.能说明p为假命题的一组α，β的值为α=

，β=

14.已知函数fx=2x,x≥2x−13,x<2，若关于x的方程15.如图，在边长为1的正方体ABCD−A1B1C1①三棱锥B1②存在点E，使得B1D⊥平面③对每一个点E，在棱DC上总存在一点P，使得AP//平面BED④M是线段BC1上的一个动点，过点A1的截面α垂直于DM，则截面α其中所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)在▵ABC中，a=3，c−b=2，C=2(1)求b，c的值和▵ABC的面积S；(2)求sinB−C的值．17.(本小题12分)已知函数fx=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5(1)x(2)a，b，c的值；(3)函数fx在区间−1,3上的最大值和最小值．18.(本小题12分)已知函数fx=Asin(1)求fx(2)设gx=fx−2cos条件①：fπ条件②：fx条件③：fx的最大值为1条件④：fx图象的相邻两条对称轴之间的距离为π注：如果选择的条件不符合要求，此题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．19.(本小题12分)如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面ADD(1)求证：D1B//平面(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个条件作为已知，使二面角D−C(i)求二面角D−C(ii)判断直线A1E是否在平面条件①：C1条件②：D1条件③：AD⊥C注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．20.(本小题12分)已知函数fx(1)当k=2时，求曲线y=fx在点1,f(2)求fx(3)当k=12时，求证：x>0时，fx>xe21.(本小题12分)已知{an}是由正整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，最小值记为Bn，令bn(Ⅰ)若an=2n(n=1，2，3，…)，写出b1，b2，(Ⅱ)证明：bn+1≥bn(n=1，2，3(Ⅲ)若{bn}是等比数列，证明：存在正整数n0，当n≥n0时，an，an+1，a参考答案1.C

2.A

3.C

4.D

5.B

6.B

7.A

8.B

9.A

10.B

11.[e,+∞)

12.−13.5π6(答案不唯一

3π4(

14.(0,1)

15.①④

16.(1)由余弦定理可得c2注意到a=3，c−b=2，C=2所以b+22=9+b2−2⋅3⋅b⋅进一步c=b+2=7,S=1(2)由余弦定理可得，cosB=a2所以sinB=1−从而sinB−C

17.(1)由图象可知：在−∞,1上，f′x>0；在1,2上，f′x<0∴fx在−∞,1，2,+∞上单调递增，在1,2∴fx在x=1处取得极大值，∴(2)因为f′x=3ax2+2bx+c且f′得：3a+2b+c=012a+4b+c=0a+b+c=5，解得：a=2，b=−9，(3)由(2)得fx=2x可知：fx在−1,1上单调递增，在1,2上单调递减，在2,3∴fxmax=又f1=5，f3=9，∴fxmax=f

18.(1)因为fx=Asinωxcos选择条件①③：因为函数fx的最大值为1，所以A2=1因为fπ4=1，所以sin选择条件①④：因为函数fx图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以2π2ω所以fx因为fπ4=1，所以A所以fx选择条件③④：因为函数fx图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以2π2ω因为函数fx的最大值为1，所以A2=1所以fx(2)因为gx令2kπ−π2≤2x−π4≤2kπ+π所以函数gx的单调递增区间为kπ−π8当x∈−π4,π所以当2x−π4=π4，即x=

19.(1)在四棱柱ABCD−A1B1C连结OE，在△D1BC中，因为O、E所以OE//D1B，又因为OE⊂平面C1DE所以D1B//平面(2)(i)选择条件①：因为底面ABCD是正方形，所以CD⊥AD，侧面ADD1A1⊥平面ABCD，且侧面ADD1故CD⊥平面ADD1A1，又DD即四边形DCC1D1为矩形，因为与选择条件①：C1D=13等价，故条件C1选择条件②：连结D1A，因为底面ABCD是正方形，所以又因为侧面ADD1A1⊥平面ABCD，且侧面ADD1所以BA⊥平面ADD1A1，又D1在Rt▵D1AB中，因为D1B=在▵D1AD中，因为AD=2，D又AB∩AD=A,AB,AD⊂平面ABCD，所以DD1⊥平面ABCD所以如图建立空间直角坐标系D−xyz，其中D(0,0,0)，C1(0,2,3)，E(1,2,0)，且DC1=(0,2,3)，DE=(1,2,0)，易知设n=x,y,z为平面C1DE面的一个法向量，则不妨设y=−3，则x=6,z=2，可得n=(6,−3,2)，所以cos因为二面角D−C1E−B1所以二面角D−C1E−选择条件③：因为底面ABCD是正方形，所以AD⊥DC，因为AD⊥C1D，且DC∩所以AD⊥平面C1D1DC，因为D1因为侧面ADD1A1⊥平面ABCD，且侧面ADD1所以D1D⊥平面ABCD，又所以如图建立空间直角坐标系D−xyz，(下面同选择条件②)．(ii)如图所示，A1E⊄平面CA1D//B1C，B1C这表明A1,D,C1,E

20.(1)解：当k=2时，fx=ln则f′1=1所以曲线y=f(x)在点1,f(1)处的切线方程为y−ln2=3(2)由题意可知：fx的定义域为−1,+∞，且f′(i)当k=0时，f′x当x>0时，f’(x)<0，当所以fx在(0,+∞)(ⅱ)当k>0时，令f′x=xkx+k−11+x①当1−kk=0，即k=1时，f′x=x②当1−kk>0时，即当0<x<1−kk时，f’(x)<0，当所以fx在0,1−kk上递减，在−1,0③当1−kk<0时，即当1−kk<x<0时，f’(x)<0，当所以fx在1−kk,0上递减，在−1,(3)当k=12时，由(2)可知：fx在(0,1)则fx构建gx=x当0<x<1时，g′x>0；当x>1时，可知gx在(0,1)内单调递增，在(1则gx可得fx>gx，即当x>0

21.解：(Ⅰ)∵an=2n，∴An=2n，Bn=2，

∴bn=AnBn=n．

b1=1，b2=2，b3=3．

(Ⅱ)证明：设an+1=k，bn=AnBn，bn+1=An+1Bn+