2024-2025学年上海市虹口区华东师大一附中高三（上）期中数学试卷

2024-2025学年上海市虹口区华东师大一附中高三（上）期中数学试卷一、填空题（共有12题，第1-6题每小题4分，第7-12题每小题4分，满分54分）.1．（4分）已知集合，2，3，4，，，则．2．（4分）直线的倾斜角为．3．（4分）已知，则．4．（4分）双曲线的渐近线方程是．5．（4分）已知的角、、对应边长分别为、、，，，，则．6．（4分）已知二项式的展开式中的系数为15，则．7．（5分）已知实数，满足，则的最小值为．8．（5分）幂函数中，的取值集合是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合．9．（5分）数列中，，，若，则．10．（5分）如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆和半圆的直径均为2.8米，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形，则该帐篷围成几何体的体积为立方米．（精确到0.1立方米）11．（5分）已知，，，，函数和的图像如图所示，其中是这两个函数共同的零点，是其中一个函数的零点，则．12．（5分）若三个正整数，，的位数之和为8，且组成，，的8个数码能排列为2，0，2，5，0，6，0，7，则称，，为“幸运数组”，例如，6，是一个幸运数组．则满足的幸运数组，，的个数为．二、选择题（本大题共4题，满分18分）.13、14题每题4分，15、16题每题5分.13．（4分）给出下列两个命题：：设直线不在平面上，若直线与平面不平行，则平面上不存在与平行的直线；：设，，均为直线，其中，在平面上，则“”是“且”的充分不必要条件．则A．是真命题，是假命题 B．是真命题，是真命题 C．是假命题，是真命题 D．是假命题，是假命题14．（4分）慢走是一种简单又优良的锻炼方式，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等小温从小到大记录了近6周的慢走里程（单位：公里），12，，，20，27，其中这6周的慢走里程的中位数为16，若要使这6周的周慢走里程的标准差最小，则A．14 B．15 C．16 D．1715．（5分）在等比数列中，，则能使不等式成立的最大正整数是A．5 B．6 C．7 D．816．（5分）定义：若抛物线的顶点，抛物线与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线经过点，一组抛物线的顶点，，，，为正整数），依次是直线上的点，这组抛物线与轴正半轴的交点依次是：，，，，，，，，为正整数）．若，当为时，这组抛物线中存在美丽抛物线．A．或 B．或 C．或 D．三、解答题（本大题78分）17．（14分）已知，．（1）若，求函数，的值域；（2）已知，且函数的最小正周期为，若函数在，上恰有3个零点，求实数的取值范围．18．（14分）已知四棱锥中，，，，，是上一点，．（1）若是中点，证明：平面；（2）若平面，求二面角的大小．19．（14分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人302510结算时间（分钟人）11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占．（1）确定，的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；（2）若将这100位顾客分成两类，第一类是购物量不超过8件的人群，第二类为购物量超过8件的人群，现采用分层抽样的方法抽取20位顾客，进行问卷调查，求第二类人群中应抽取的人数；（3）若将频率视为概率，求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．20．（18分）如图所示，由椭圆和椭圆组合而成的曲线，由图形特点，这里称曲线为“猫眼曲线”．特别地，若两个椭圆的离心率相等，则称其为“优美猫眼曲线”．（1）已知猫眼曲线满足，，成等比数列，试判断该曲线是否为“优美猫眼曲线”；（2）在曲线中，若，，，斜率为的直线不经过坐标原点，且与椭圆相交所得弦的中点为，与椭圆相交所得弦的中点为，证明：直线，的斜率之比为定值；（3）在（2）的条件下，若直线的斜率，且与椭圆相切，与椭圆相交于，两点，为椭圆上异于，的任意一点，求△面积的最大值