开封市祥符区2024-2025学年九年级上学期期中质量调研数学试卷（带答案）

第1页/共1页开封市祥符区2024—2025学年第一学期九年级期中质量调研数学试卷注意事项：本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）1.如图，点A所表示的数的绝对值是（）A.﹣2 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据负数的绝对值是其相反数解答即可．【详解】解：|-2|=2，故选B．【点睛】本题考查了数轴上的点，绝对值，解题的关键在于根据负数的绝对值是其相反数．2.记者从河南省文化和旅游厅获悉，2024年清明假期三天，全省接待国内游客1906.9万人次．其中数据1906.9万用科学记数法表示应为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．【详解】解：数据1906.9万用科学计数法表示应为；故选D3.已知5x=6y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，根据两内项之积等于两外项之积可得答案．【详解】A．，则5y=6x，故此选项错误；B．，则xy=30，故此选项错误；C．，则5y=6x，故此选项错误；D．，则5x=6y，故此选项正确；故选：D．【点睛】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握两内项之积等于两外项之积．4.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A.对角线相等 B.对角线互相平分C.对角线互相垂直 D.对角线平分对角【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了矩形、菱形、正方形关于对角线的性质，理解矩形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线都平分一组内角；正方形的对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线都平分一组内角．利用矩形、菱形、正方形关于对角线的性质逐项判断即可．【详解】解：A，矩形、正方形具有对角线相等的性质，而菱形不具有，不符合题意；B，矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分，符合题意；C，菱形、正方形具有对角线互相垂直，而矩形不具有，不符合题意；D，菱形、正方形具有对角线平分对角，而矩形不具有，不符合题意．故选：B．5.用配方法解方程时，配方后正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上，即可求解．【详解】解：移项得，两边同时加上，即∴，故选：C．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．6.一元二次方程的根的情况是（）A.没有实数根 B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根 D.只有一个实数根【答案】C【解析】【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出结论．【详解】∵，，，∴＞0，∴方程有两个不相等的实数根.故选C．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是牢记“当＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根”．7.如图，，则下列各式中，不能说明的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定，根据，可知，因此只要添加一组角相等，或与的对应边的比相等即可．【详解】解：，，添加后，两组对角相等，可证，故A选项不合题意；添加后，两组对角相等，可证，故B选项不合题意；添加后，两组对应边的比相等且相应的夹角相等，可证，故C选项不合题意；添加后，对应边成比例但无法证明其夹角相等，不能说明，故D选项符合题意；故选：D．8.如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠ACE＝（）A.20.5° B.30.5° C.21.5° D.22.5°【答案】D【解析】【分析】由正方形的性质知：∠EOC＝90°，∠1＝∠2＝45°；根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠3＝∠ECB＝67.5°；最后在直角△EOC中求∠ACE的度数.【详解】解：设AC与BD交于点O，在四边形ABCD中，∠EOC＝90°，∠1＝∠2＝45°．∵BE＝BC，∴∠3＝∠ECB＝67.5°．∴∠ACE＝∠OCE＝90°﹣∠3＝90°﹣67.5°＝22.5°.故选：D.【点睛】此题考查正方形的性质，等腰三角形等边对等角的性质，三角形的内角和定理，正确掌握正方形的性质是解题的关键.9.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设CE=x，则BE=3-x由折叠性质可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=5，所以AF=4，BF=AB-AF=5-4=1，在Rt△BEF中，由勾股定理得(3-x)2+12=x2，解得x的值即可．【详解】解：设CE=x，则BE=3-x，由折叠性质可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=5在Rt△DAF中，AD=3，DF=5，∴AF=，∴BF=AB-AF=5-4=1，在Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2，即(3-x)2+12=x2，解得x=，故选：D．【点睛】本题考查了与矩形有关的折叠问题，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键．10.为庆祝国庆，市总工会组织了篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了28场比赛，设有个代表队参加比赛，则可列方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】此题设有个代表队参加比赛，则每个队都与另外一个队进行一场比赛，每队参加场比赛，而任何两队设都只赛一场，因而共举行场比赛，根据题意列出一元二次方程求得．【详解】解：设这次有个队参加比赛；由题意得，，故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，应加强培养对应用题的理解能力，判断出题干信息，列出一元二次方程求解．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（共5题，每题3分，共15分）11.方程的根为______．【答案】【解析】【分析】本题考查一元二次方程解法中的因式分解法，移项后再因式分解求得两根即可．【详解】解：，，，或,解得，故答案为：．12.一元二次方程的二次项系数是5，常数项为，则一次项系数是_______．【答案】【解析】【分析】首先移项，把等号右边化为0，然后再化简，进而可得答案．【详解】解：∵，∴二次项系数是5，一次项系数为，常数项为，故答案为：．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式．13.如图，在中，，D是的中点，则______．【答案】##35度【解析】【分析】本题考查斜边上的中线，三角形的内角和定理，根据斜边上的中线结合等边对等角，进行求解即可．【详解】解：∵，∴，∵D是的中点，∴，∴；故答案为：．14.如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，则菱形ABCD的面积为_________．【答案】2【解析】【详解】解：如图，∵菱形ABCD，∴AD=AB，OD=OB，OA=OC，∵∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD=AB=2，∴OD=1，在Rt△AOD中，根据勾股定理得：AO=，∴AC=2，则S菱形ABCD=AC•BD=2，故答案为2．15.如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在x轴的负半轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为，点P在矩形的内部，点E在边上，且满足，当是等腰三角形时，点P的坐标为______________________．【答案】或【解析】【分析】连接，由点E在边上，，可知在线段上，当是等腰三角形时，分，，三种情况求解．①当时，作轴，交于，证明，则，设，则，由勾股定理得，，则，求得，进而可求；②当时，作交于点F，可证，进而可求；③当时，此情况不符合题意；然后作答即可．【详解】解：∵矩形，，∴，，∴．如图，∵点E在边上，，∴，，∴在线段上，当是等腰三角形时，分，，三种情况求解．①当时，如图，作轴交于，∴，∴，即，设，则，由勾股定理得，，∴，解得，，∴，，，∴；②当时，作交于点F，∴在线段的垂直平分线上，∴，，∴，∴，∴，∴，∴；③当时，点P矩形的外部，此情况不符合题意；综上所述，点P的坐标为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识．熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质并分类讨论是解题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16.解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；（1）先对方程左边进行因式分解，然后问题可求解；（2）先移项，然后根据因式分解法可求解方程．【小问1详解】解：原方程可化为：∴或∴，；【小问2详解】解：原方程可化为：∴或∴，．17.如图，，，，，求的长．【答案】【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．【详解】解：∵，∴，即：，∴，∴18.已知关于x的方程（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【答案】（1），；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可；（2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可．【详解】解：（1）设方程的另一根为x1，∵该方程的一个根为1，∴，解得．∴a的值为，该方程的另一根为．（2）∵，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2，x1•x2，要记牢公式，灵活运用．19.如图，在矩形中，是对角线．（1）作线段的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；（2）设的垂直平分线交于点E，交于点F，连接，．试判断四边形的形状，并说明理由．【答案】（1）见解析（2）四边形是菱形，理由见解析【解析】【分析】（1）按照垂直平分线作法作图即可；（2）由垂直平分得到，，，由矩形的性质得到，则，得到，则，即可得到，结论得证．【小问1详解】解：如图，直线就是线段的垂直平分线，【小问2详解】四边形菱形，理由如下：∵垂直平分，∴，，，∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴四边形是菱形；【点睛】此题考查了垂直平分线的作图和性质、矩形的性质、菱形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．20.如图，四边形的对角线相交于点O，，．若四边形是菱形；（1）求证：四边形是矩形．（2）若，，求四边形的面积．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意易得四边形是平行四边形，，则有，然后问题可求证；（2）由题意易得，，则有，然后可得，，进而根据勾股定理可进行求解．【小问1详解】证明：∵四边形菱形，∴，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，，∴，∴平行四边形是矩形；【小问2详解】解：∵四边形是菱形，∴，，∴是等边三角形，∴，∵四边形是矩形，∴，，∴，∴．【点睛】本题主要考查菱形的性质、矩形的性质与判定、等边三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握菱形的性质、矩形的性质与判定、等边三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键21.某景区的门票价格为每人80元，每天最多能接待2500名游客，在旅游旺季平均每天能售出1000张门票．为了吸引更多的游客，提高景区知名度，景区决定适当降低门票价格．经过调查发现，当票价每降低2元时，在旅游旺季每天可以多卖出100张票．（1）设每张门票降低元，则每天可售出_______张门票；（2）若景区想每天获得12万元的门票收入，则每张门票应降低多少元？【答案】（1）（2）每张门票应降低元【解析】【分析】（1）根据题意“当票价每降低2元时，在旅游旺季每天可以多卖出100张票”，列出代数式；（2）根据题意列出一元二次方程，解方程，然后根据每天最多能接待2500名游客，取舍的值，即可求解．【小问1详解】解：设每张门票降低元，则每天可售出张门票；故答案为：．【小问2详解】解：依题意得：，整理得：，解得：，当时，，符合题意；当时，，不符合题意，舍去．答：每张门票应降低元．【点睛】本题考查了一元二次方程应用，列代数式，根据题意列出方程是解题的关键．22.如图，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=20cm，两只小虫P和Q同时分别从A、B出发沿AB、BC向终点B、C方向前进，小虫P每秒走1cm，小虫Q每秒走2cm。请问：它们同时出发多少秒时，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、B、C为顶点的三角形相似？【答案】2秒或者5【解析】【分析】由题意可知要使以P、B、Q为顶点的三角形与以A、B、C为顶点的三角形相似，则要分两种情况进行分析从而解得所需的时间．【详解】解：设他们行走的时间为x秒由题意得：AP=xcm,BQ=2x,BP=(10-x)因为∠PBQ=∠ABC,分两种情况：当时，，解得，当时，，解得，答：出发2秒或者5秒时相似.【点睛】本题考查相似三角形的判定及矩形的性质等知识点的综合运用，运用