沈阳市第一二六中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷（带答案）

第1页/共1页沈阳市第一二六中学教育集团2024-2025学年度上学期九年级期中数学学科作业检查检查时长：120分钟作业满分：120分一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1.已知一个几何体如图所示，则该几何体的俯视图是（）A.B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三视图进行判断即可，注意看得见的部分用实线，看不见的部分用虚线表示．【详解】解：从上面可看，是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线，实线的两侧分别有一条纵向的虚线．故选：A．【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看到的视图．2.在反比例函数图象上的点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数解析式逐一进行判断，即可得到答案．【详解】解：A、，该点不在反比例函数图象上，不符合题意，选项错误；B、，该点在反比例函数图象上，符合题意，选项正确；C、，该点不在反比例函数图象上，不符合题意，选项错误；D、，该点不在反比例函数图象上，不符合题意，选项错误；故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数图象上，则点的坐标一定满足函数解析式；反之，只要点的坐标满足函数解析式，则点就一定在函数图象上．3.下列命题中，真命题是（）A.一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线垂直的四边形是菱形D.对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了判断命题真假，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定，熟知菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理是解题的关键．【详解】解：A、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意；B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，原命题是假命题，不符合题意；C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；D、对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，原命题是真命题，符合题意；故选：D．4.已知，则的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】∵，∴设b=5k，得出a=13k，把a，b的值代入，得：．故选：D．5.以下说法合理的是（）A.小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是B.某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖C.某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是D.小明做了3次掷均匀硬币实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是【答案】D【解析】【分析】直接利用概率的意义分别分析得出答案．【详解】解：A、小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是是错误的，3次试验不能总结出概率，故选项A错误，不符合题意；B、某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票可能有5张中奖，但不一定有5张中奖，故选项B错误，不符合题意；C、某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是不正确，中靶与不中靶不是等可能事件，故选项C错误，不符合题意；D、小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的可能性是，故选项D正确，符合题意．故选：D．【点睛】此题主要考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题关键．6.用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，利用配方法直接求解即可得到答案，熟记配方法解一元二次方程是解决问题的关键．【详解】解：，配方可得，故选：A．7.有两根等高电线杆在地面上形成了各自的影子，若以电线杆与其影子分别作为三角形的两边，可以得到两全等三角形，则这种投影现象为（）A.平行投影 B.中心投影C.既不是平行投影也不是中心投影 D.可能是平行投影也可能是中心投影【答案】D【解析】【分析】本题合考查了平行投影和中心投影的特点和规律，平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．根据平行投影和中心投影的特点和规律，结合题意可得平行投影和中心投影都可能出现这种情况．【详解】解：根据题意只知道电线杆与其影子分别作为三角形的两边，可以得到两全等三角形，平行投影和中心投影都可能出现这种情况，所以可能是平行投影也可能是中心投影．故选：D．8.如图，∽，：：，其中，的长为（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用相似三角形的性质求解即可．【详解】解：：：，：：，∽，，，．故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．9.如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，cm，杯中水面与的交点为E，当水杯底面与水平面的夹角为时，杯中水的最大深度为（）cmA.9 B.15 C. D.【答案】D【解析】【分析】过点B作于点F，如图，则的长即为杯中水的最大深度，然后根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可.【详解】解：过点B作于点F，如图，则，∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∵cm，∴cm，∴cm，即杯中水的最大深度为cm；故选：D.【点睛】本题考查了矩形的性质、含30度角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，正确理解题意、掌握解答的方法是关键.10.如图，四边形和都是平行四边形，点F在边上，且，连接分别交，于点G，H，设与面积的比为k，则k的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握“相似三角形的面积比等于相似比的平方”是解本题的关键．如图，连接，证明，可得，设，则，可得，设，则，，从而可得答案．【详解】解：如图，连接，四边形和都是平行四边形，，，，设，则，，，，设，则，，，由，，，，故选：B．二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11.在一个不透明的袋子里有红球、黄球共15个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中黄球的个数可能是________个．【答案】9【解析】【分析】本题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．根据红球在总数中所占比例与实验所得频率应该相等，列式解答即可求出答案．【详解】解：设袋中红球有x个，根据题意，可得：，解得：，则黄球的个数为（个），故答案为：9．12.若为锐角，且，则的值为________．【答案】【解析】【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值求出的值，继而可求得的值．【详解】解：，，为锐角，，解得：，则．故答案为：．13.AOB三个顶点的坐标分别为A(5，0)，O(0，0)，B(3，6)，以原点O为位似中心，相似比为，将AOB缩小，则点B的对应点的坐标是___．【答案】（1，2）或（-1，-2）##（-1，-2）或（1，2）【解析】【分析】根据位似变换的性质解答即可．【详解】解：∵△AOB顶点B的坐标为（3，6），以原点O为位似中心，相似比为，将△AOB缩小，∴点B的对应点B′的坐标为（3×，6×）或，即（1，2）或（-1，-2），故答案为：（1，2）或（-1，-2）．【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．14.如图，点A在反比例函数的图象上，点C在x轴正半轴上，直线交y轴于点B，若，的面积为3，则k的值为________．【答案】【解析】【分析】本题考查反比例函数的k的几何意义的应用，相似三角形的性质与判定．关键是正确作出辅助线构造相似三角形．过点作轴于轴于，可证，由线段关系求得的面积，再根据反比例函数的的几何意义即得结果．【详解】解：如图，过点作轴于轴于，，，，，∵的面积为，则，，，，，由图可知，，故答案为：．15.如图，，，，，，，，求________．【答案】【解析】【分析】过点作于点，过点作于点，在上截取，连接，证明四边形是矩形，则，得到，则，证明，则，在中，设，则，得到，则，证明，则，得到，即可求出的长．【详解】解：过点作于点，过点作于点，在上截取，连接，，，，∴四边形是矩形，，，，，，∴垂直平分，，，在中，设，则，，，，，，，，，，，，，，，解得：，经检验，是分式方程的解且符合题意，即的长为，故答案为：．【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、矩形的判定和性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，添加辅助线构造矩形和相似三角形是解题的关键．三、解答题（本题共8道小题，共75分）16.（1）计算：．（2）解方程：．【答案】（1）；（2），【解析】【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，解一元二次方程，正确计算是解题的关键．（1）先求出对应特殊角的三角函数值，再根据二次根式的混合计算法则求解即可；（2）利用公式法解方程即可．【详解】解：（1）原式．（2），，，，解得：，．17.某校一年级开设人数相同的四个班级，分别是1班，2班，3班，4班，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班．（1）“学生甲分到1班”的概率是________；（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两名新生分到相邻两个班级的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】此题考查了列表法与树状图法，以及概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．（1）所有等可能的情况数有4种，甲恰好被分在1班的情况有1种，求出甲恰好被分在1班的概率即可；（2）列表得出所有等可能的情况数，找出甲、乙被分在班号相邻的两个班级的情况数，求出甲、乙被分在班号相邻的两个班级的概率即可．【小问1详解】解：∵所有等可能的情况数有4种，甲恰好被分在1班的情况有1种，∴甲恰好被分在1班概率为，故答案为：；【小问2详解】解：列表如下：

12341234所有等可能的情况有16种，其中甲、乙被分到相邻两个班级的情况数有6种，分别为，，则（甲、乙被分在相邻两个班级）．18.如图，中，点E是的中点，连接并延长交的延长线于点F．（1）求证：；（2）点G是线段上一点，满足，交于点H，若，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，证明，推出，即可解答；（2）通过平行四边形的性质证明，再通过（1）中的结论得到，最后证明，利用对应线段比相等，列方程即可解答．【小问1详解】证明：四边形是平行四边形，，，，是的中点，，，，∴，；【小问2详解】解：四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，设,则，可得方程，解得，即的长为．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用上述性质证明三角形相似是解题的关键．19.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出不等式的解集________；（3）若P是x轴上一点，且满足是直角三角形，直接写出点P的坐标________．【答案】（1），（2）或（3），，，【解析】【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，以及勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．（1）可先把代入反比例函数解析式，求得的值，进而求得的值，把两点分别代入一次函数解析式即可．（2）利用图象法解决问题即可；（3）设，表示出，分为当时，当时，当时，分别列方程求解即可．【小问1详解】解：点在上，，∴反比例函数解析式为；又点在上，，∴点的坐标为，把和两点的坐标代入一次函数得，解得：，∴一次函数的解析为．【小问2详解】解：、，观察图象可知：不等式的解集为或；【小问3详解】解：设，∵、，则，当时，，解得：，故；当时，，解得：，故；当时，，解得：或，故，；综上，，，，．20.如图，在中，，，，动点从点出发沿边向点以的速度移动，同时动点从点出发沿边向点以的速度移动，当运动到点时P，Q两点同时停止运动，设运动时间为．（1）_________；_________；（用含的代数式表示）（2）若是中点，连接、、，当为何值时的面积为？【答案】（1），（2）或【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系．（1）根据速度时间路程，列出代数式即可；（2）如图，过点D作于H，利用三角形中位线定理求得的长度；然后根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可．【小问1详解】根据题意得：，，所以；【小问2详解】如图，过点D作于H，∵，即，∴，∴∴又∵D是的中点，∴∴，，∴∵的面积为∴∴∴整理得，解得：，，∴当或4时，的面积是．21.大连市中山公园原址为一个叫做刘家屯的小山头，1898年沙俄强占旅大期间，将这里改为绿地．日占时期改为圣德公园，圣德公园多次作为我地下党的接头地点，传递了许多抗日情报．大连解放后的1945年11月，大连市政府为纪念孙中山先生，改名中山公园，并历经多年修建了5个小亭，其中敬闲亭位于山头最高处．“勿忘国耻，怀念先烈，吾辈自强”．某中学超越小组的同学们，带着测量工具来到中山公园，为测量敬闲亭设计了如下方案，请你根据以下材料，完成项目任务．项目测量敬闲亭的高度及底面圆的半径测量工具测角仪、皮尺等测量说明：点H为亭底面圆圆心，在A、C处分别测得亭顶端的仰角为、，、测角仪高度，测角仪所在位置与亭底部边缘距离，点B、D、M、H在同一条直线上．参考数据，，，，，最后结果保留．

项目任务（1）求敬闲亭的高度的长．（2）直接写出敬闲亭底面圆的半径的长，约________米．（3）直接写出的距离，约________米．【答案】（1）米；（2）4；（3）22【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角问题，掌握解直角三角形是解题的关键．（1），利用解直角三角形分别得到，再根据得到方程，解方程即可求解；（2）根据线段的和差关系即可求解；（3）根据线段的和差关系即可求解．【详解】解：（1）如图，延长交于，根据题意可得，，设，在中，，即，∴，在中，，即，，，，解得：，，，答：敬闲亭的高度的长为；（2）由（1）可得，，，，，答：敬闲亭底面圆的半径的长为．（3）由（2）得，又，，∴．22.【初识图形】AI（1）如图1，分别为正方形边和边上的点，连接、，且．则______．（2）如图2，矩形中，点分别在边、上，连接、，且，，，求的值．【类比探究】（3）如图3，中，分别为、边上的点，，，为中点，连接，作交于点，交于．直接写出的长为________．【拓展迁移】（4）在矩形中，，，点分别为线段和线段边上的一点，以为折痕，将四边形翻折，得到四边形，直线和直线分别交直线于点和点，且，．①请直接写出线段的长________．②若点分别为线段和线段边上的动点，满足．且直线始终经过一个定点，求的最大值________．【答案】（1）1；（2）；（3）；（4）①或；②【解析】【分析】[初识图形]（1）根据正方形性质，垂直的定义可得，可证，则有，由此即可求解；（2）如图，过点作于点，可得四边形是矩形，可证，求出，由此即可求解；[类比探究]（3）如图所示，过点作于点，运用勾股定理可得，，设，可证，得到，，再证，求出，则，由此即可求解；[拓展迁移]（4）①根据四边形是矩形，翻折的性质可得，分类讨论：第一种情况，如图所示，过点作于点，得到四边形是矩形，求出，可证，得到，由可解；第二种情况，如图所示，设与CD交于点，可证，得到，，再证，得到，由可解；②根据，确定定点，由相似三角形可得，如图所示，以点为坐标原点，为正方向作横轴，方向为纵轴作平面直角坐标系，设，则，由点在线段上运动可得，即，根据两点之间的距离公式可得，令，可得随的增大而增大，当时，有最大值，且最大值为，由此即可求解．【详解】解：[初识图形]（1）∵四边形是正方形，，，，，在和中，，，，，故答案为：1；（2）如图，过点作于点，∵四边形是矩形，，,∴，∴四边形是矩形，，∴，∵于点，，，，，即，∴，，故答案为：；[类比探究]（3）如图所示，过点作于点，∵是直角三角形，，，∴，∵点是的中点，∴，在中，，∴，设，∵，，∴，∴，即，∴，∴，∵∴，∴，又∵，∴，∴，即，∴，∴，故答案为：；[拓展迁移]（4）①∵四边形是矩形，∴，，∵四边形翻折，得到四边形，∴，，，，第一种情况，如图所示，过点作于点，∵，∴，∵，∴，∴四边形是矩形，∴，∵，∴，且，∴，∴，即，∴，∵，，∴；第二种情况，如图所示，设与CD交于点，同理，，，，∴，∵，∴，∴，即，∴，，∴，，∵，∴，∴，即，∴，∵，∴；综上所述，的长为或；②如图所示，∵四边形是矩形，∴，∵，直线始终经过一个定点，∴延长交于点，∴，∴，且，∴，解得，，如图所示，以点为坐标原点，为正方向作横轴，方向为纵轴作平面直角坐标系，∵，∴设，则，∵，∴，即，∴，令，∵，∴函数图象开口向上，随的增大而增大，∴当时，有最大值，且最大值为，∴的最大值为，故答案：．【点睛】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形与折叠的性质，二次函数图象的性质等知识的综合，掌握矩形的性质，构造相似三角形，数形结合分析，分类讨论思想是解题的关键．23.定义：在平面直角坐标系中，点是某函数图象上的一点，作该函数图象中自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象中自变量大于或等于的部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于点的“友好函数”．例如：图是函数的图象，则它关于点0,1的“友好函数”的图象如图所示，且它的“友好函数”的解析式为．（1）直接写出函数关于点0,2的“友好函数”的解析式．（2）如图，点M是函数的图象上的一点，设点的横坐标为，是函数关于点的“友好函数”．当时，若函数的函数值取值范围是，直接写出自变量的取值范围________；如图，当以点、、、为顶点的矩形与函数的图象只有个公共点时，直接写出的取值范围________．（3）当中的函数的图象与矩形有且仅有一个公共点时，在函数上是存在一点，使是以为直角边的直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标________；当中“主题干”中的函数的对称轴左侧图象与中矩形的边所围成的三角形图形中，其面积为时，直接写出点的坐标________．【答案】（1）当时，；当时，（2）①；②（3）①