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文档简介

函数展开成幂级数一、泰勒级数二、函数展开成幂级数

一、泰勒级数定义如果f(x)在点x0的某邻域内具有任意阶导数，则称幂级数为f(x)在x0的泰勒级数.当x0=0时，泰勒级数为:称之为f(x)的麦克劳林级数.定理1(泰勒中值定理)如果函数f(x)在含点x0的区间(a,b)内，有一阶直到n阶的连续导数，则当x取区间(a,b)内的任何值时，f(x)可以按(x−x0)的方幂展开为：其中：公式(3)称为函数f(x)的泰勒公式，余项(4)称为拉格朗日余项.定理2

设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数，则f(x)在该邻域内可展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式余项Rn(x)当时的极限为零，即：

二、函数展开成幂级数

将函数展开成x的幂级数(也称麦克劳林展开式)的基本法，其一般步骤为：间接展开法利用一些已知的函数展开式、幂级数运算(如四则运算、逐项求导、逐项积分)以及变量代换等，将所给函数展开成幂级数.分别令q=−x、−x2有：将

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